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1、20102010 届高三数学基础知识复习提纲届高三数学基础知识复习提纲一、集合与简易逻辑：一、集合与简易逻辑：1、 符号的含义：， ，CUA ，N，Z，Q，R2、A B A ；AU B A ；CUAU B U ；CUA B ；CUACUB ； CU(A B)；3、 集合与集合的关系:用，=表示； A 是 B 的子集记为 AB； A 是 B 的真子集记为 A，B。任何一个集合是它本身的子集，记为A 空集是任何集合的子集，记为A； A；空集是任何非空集合的真子集；那么A C.如果A B，同时B A，那么A = B；如果A B，B C，n个元素的子集有 2 个；n个元素的真子集有 2 1 个；n个元
2、素的非空真子集有 2 2个.4、简易逻辑：充要条件的判断，且、或、非；四种命题；（1）命题与逻辑连接词：且、或、非（2）p或q；p且q；p；q的真值表；（3）四种命题关系；原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的；原命题pq若 则互否否命题pq若则nnn互为为互互 逆否逆逆否逆命题q p若 则互否逆否命题qp若则互 逆（4）充要条件：如果pq，则p是q的条件；如果qp，则p是q的条件；如果既有pq，又有qp，记作pq，则p是q的条件。5、量词：（1）全称量词： “任意：” ；存在量词： “存在：”（2）含有全称量词的命题称为；含有存在量词的命题称为（3）含有量词的命题的否定： “”应改为；
3、“”应改为。16、否命题中常见的词语：正面词语否定正面词语否定等于至少有一个大于任意的所有的至多有 n 个任意两个小于是都是至多有一个二、不等式二、不等式（一）均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。a bab（当且仅当a b时取等号）2a b2) ；基本变形：a b ；(2若a,b 0，则a2b2a b2 ()若a,b R，则a b 2ab，2222基本应用：求函数最值：注意：一正二定三取等；积定和小，和定积大。当ab p（常数） ，当且仅当时，；当a b S（常数） ，当且仅当时，；常用的方法为：拆、凑、平方；（二） 、常用的基本不等式：（1）设a,b R，则a 0,(a b
4、) 0（当且仅当时取等号）（2）| a | a（当且仅当时取等号） ；| a | a（当且仅当时取等号）（3）a b,ab 0 221111；abab注意：(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。(2)另外需要特别注意：若 ab0，则11时，有 aba0） ：判别式二次函数方程不等式不等式2 b2 4acy ax bxcax2 bx c 0的根ax2 bx c 0的解集ax2 bx c 0的解集的图象 0 0 0（四）简单的线性规划1、判断二元一次不等式Ax By C 0在平面直角坐标系中表示Ax By C=0 某一侧所有点组成的平面区域。只需在直线某一侧取
5、一个特殊点x0, y0，从Ax0 By0C的正负即可判断Ax By C 0表示直线哪一侧的平面区域。特别地，当 C0 时，通常把原点作为此特殊点。一般地，我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。 当我们在坐标系中画不等式Ax By C 0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线。2、求线性规划问题的步骤是：（1）根据实际问题的约束条件列出不等式；（2）作出可行域，写出目标函数；（3）确定目标函数最优位置，从而获得最优解。三、函数三、函数( (一一) )函数的基本概念：函数的基本概念：1、映射：一般地，设A、B 是两个集合，如果按照某种对应法则发f，对于集合A 中的每一个元
6、素在集合 B 中，这样的单值对应叫做集合A 到集合 B 的映射。32、函数：（1）函数的定义：一般地，设A、B 是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合 A 中的每一个元素x在集合 B 中，这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数。（2）函数的三要素：；。（3）函数的表示方法：；。( (二二) )函数的基本性质：函数的基本性质：1、函数的单调性：一般地，设函数y=f(x)的定义域为 A，区间IA，如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1x2时，都有，则称y=f(x)在区间 I 上是单调增函数。 I 称为区间。当x10 且 a1，xR）的值域为R；对数函数y logax（a0 且
7、a1，x0）的值域为 R；函数 y=sinx,y=cosx (xR)的值域为-1，1；函数 y=tanx,x k、图象的变换（1）平移变换函数y f (x a),(a 0)的图象是把函数y f (x)的图象沿x轴向左平移a个单位得到的；2,的值域为 R；函数y f (x a),(a 0)的图象是把函数y f (x)的图象沿x轴向右平移a个单位得到的；函数y f (x) a,(a 0)的图象是把函数y f (x)的图象沿y轴向上平移a个单位得到的；函数y f (x) a,(a 0)的图象是把函数y f (x)的图象沿y轴向下平移a个单位得到的。5（2）对称变换函数y f (x)与函数y f (x
8、)的图象关于直线 x=0（即 y 轴）对称；函数y f (x)与函数y f (x)的图象关于直线 y=0（即 x 轴）对称；函数y f (x)与函数y f (x)的图象关于坐标原点对称；如果函数y f (x)对于一切x R,都有f (x a) f (x a)，那么y f (x)的图象以T=2a 为周期。函数y f (a x)与函数y f (a x)的图象关于直线x a对称。y f (x)y f (x)y f (x)y f ( x)y f1(x)与y f (x)关于直线y x对称。（3）伸缩变换y af (x),(a 0)的图象，可将y f (x)的图象上的每一点的纵坐标伸长(a 1)或缩短(0
9、 a 1)到原来的a倍。y f (ax),(a 0)的图象，可将y f (x)的图象上的每一点的横坐标伸长(0 a 1)或缩短(a 1)到原来的1倍。a6( (三三) )函数的零点及二分法：函数的零点及二分法：1、对于函数y=f(x)，我们把使使 f(x) =0 的实数的实数x叫做函数 y=f(x)的零点零点。函数 y=f(x)的零点就是方程f(x) =0 的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标。即：方程方程f(x) =0=0 有实数根有实数根函数函数 y=f(x)的图象与的图象与 x x 轴有交点轴有交点函数函数 y=f(x)y=f(x)有零点有零点2、 定理定理：
10、如果函数 y=f(x)在区间a， b上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有 f(a) f(b)0，那么，函数 y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在 c（a,b） ，使得 f(c) =0，这个 c 也就是方程 f(x) =0 的根。3、二分法二分法的定义：对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b) 0 的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x) 的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。4、二分法的步骤： （）（1）确定区间a，b，验证f(a)f(b) 0，给定精确度；（2）求区间的中点x1；（3）计算f(x1)：若f(x1)=0，则x1就是函
11、数的零点；若f(a)f(x1) 0,且a1)，那么数x叫做对数，记作：其中a叫做对数的，N 叫做。以 10 为底的对数叫做；记作：以 e 为底的对数叫做；记作：（3）对数的简单性质：负数和零没有对数；底的对数是 1；logaa 11 的对数是零；loga1 0（4）对数的运算法则： 如果a0,且a1，M0，N0，那么：loga(MN)=logaM+logaNloga(nM)=logaMlogaNNlogaM =nlogaM (n R)logab logcb（a0,且a1，c0,且c1，b0） （对数换底公式）logca对数恒等式：；92、常用的初等函数：（1）一次函数：y ax b(a 0)，
12、当a 0时，是函数；当a 0时，是函数；（2）二次函数：一般式：y ax2bx c(a 0)；对称轴方程是；顶点为；两点式：y a(x x1)(x x2)；对称轴方程是；与x轴的交点为；顶点式：y a(x k)2 h；对称轴方程是；顶点为；一元二次函数的单调性：当a 0时：在上为增函数；在为减函数；当a 0时：在上为增函数；在为减函数；二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为y a(x k)2 h的形式，、若顶点的横坐标在给定的区间，上，则a 0时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；a 0时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；、若顶点的横坐标不在给
13、定的区间，上，则a 0时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；a 0时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；有三个类型题型：(1)顶点固定，区间也固定。如：y x x 1,x1,1(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数y x x 1,xa,a 1二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程f (x) ax bxc 0的两根为x1,x2；则：根的情况222x1 x2 k在区间(k,)上有两根x1 x2 k在区间(,k)
14、上有两根x1 k x2在区间(k,)或等价命题(,k)上有一根充要条件10注意： 若在闭区间m,n讨论方程f (x) 0有实数解的情况， 可先利用在开区间(m,n)上实根分布的情况，得出结果，在令x n和x m检查端点的情况。（3）幂函数：一般地，函数y=x叫做幂函数。其中 x x 是自变量， 是常数。要求：掌握 =1，2，3，定义域值域奇偶性单调性公共点1，1 时的图象。2y=x3y=xy=x2y=x12y=x1图象：（4）指数函数：y ax(a 0,a 1)图象恒过点（0，1） ，单调性与 a 的值有关，在解题中，往往要对a 分 a1 和 0a1 和 0ao,a1)x对数函数y logax
15、(a 0,a 1)a 0a 0a 0a 0（6）注意的几个问题：（1）y ax与y logax的图象关系是；这两个函数互为反函数反函数。（2）比较两个指数式或对数式的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1 比较或与 0 比较。11四、三角函数四、三角函数1、角的概念：角的形成，角的始边,终边，顶点，正角；负角；零角2、终边相同的角：与 角终边相同的角的集合（连同 角在内） ，可以记为|k360 ，kZ、象限角：顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，则终边落在第几象限，就称这个角是第几象限的角.、 （请写出各象限角的集合及各轴线角的集合 ）
16、 ：第一象限角：第二象限角：第三象限角：第四象限角：x 轴上的角：y 轴上的角：、角度制与弧度制的互化：1rad18057.30=5718 10.01745（rad） rad =180180、弧长公式：l |r.11lr |r222y ya a的终边的终边P P（x,yx,y) )r r扇形面积公式：s扇形、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点 P（x,y）,P 与原点的距离为 r，则：o ox xxysiny；cos；tan；rrx、三角函数在各象限中的符号： （一全正，二正弦，三两切，四余弦）、三角函数线y y正弦线：MP;余弦线：OM;正切线： AT.10、 特殊角
17、的三角函数值：弧度0O OP PT TMMA A x x30456090120135150180270360sincostan11、三角函数的图象：12（1）y=sinx (2)y=cosx (3)y=tanx12、同角三角函数的基本关系式sin2cos21，tan=13、正弦、余弦的诱导公式nn(1)2sin,sin() n12(1)2cos,sin，.cosn 为偶数n 为奇数n 为偶数n 为奇数nn(1)2cos,) cos(n12(1)2sin,14、和角与差角公式sin() sincoscossin;cos() coscossinsin;tan tan.tan() 1 tantana
18、sinbcos=a2b2sin()(tan15、二倍角公式sin2 sincos；tan22tan21tanb辅助角所在象限由(a,b)的象限决定)acos2 cos2sin2 2cos2112sin2。16、三角函数的周期公式：函数y sin(x)，xR 及函数y cos(x)，xR(A, ,为常数，且A0，0)的周期T 2； 函数y tan(x)，x k2,k Z(A, ,为常数， 且 A0， 0)的周期T 17、正弦定理18、余弦定理.abc 2R.sin Asin BsinC222222222(1)a b c 2bccos A；b c a 2cacosB；c a b 2abcosC.b
19、2 c2 a2a2 c2b2a2b2c2(2)cos A ；cosB ；cosC 2bc2ac2ab1319、面积定理（1）S （2）S 111ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示 a、b、c 边上的高）.222111absinC bcsin A casin B.22220、 三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则ABC 的重心的坐标是G(x1 x2 x3,y1 y2 y3).33六、平面向量六、平面向量1基本概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。2向量的运算：每一种运算都可以有三
20、种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言加 法 与OA+OB=OC记OA=(x1,y1),OB=(x1,y2)减法 则OAOB=(x1+x2,y1+y2)OB OA=AB OBOA=（x2-x1,y2-y1）OA+AB=OB实 数 与向 量 的乘积两 个 向量 的 数量积3运算律AB=a记a=(x,y)则a=(x,y) R ab abcosa,b记a(x1,y1),b(x2,y2)则ab=x1x2+y1y2加法：ab ba(交换律);(ab)c a(bc)(结合律)实数与向量的乘积：(ab)ab; ()aaa;(a) ()a两个向量的数量积 : ab=b
21、a; (a)b=a(b)= (ab);(a+b)c=ac+bc注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则， 正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(ab) =a 2 a b b2224向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标向量坐标为终点坐标，即若 A(x，y)，则OA=（x,y） ；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点终点坐标减去起点坐标坐标，即若 A（x1,y1） ，B（x2,y2） ，则AB=(x2-x1,y2-y1)145两个向量平行的充要条件符号语言：a/ b a b(b 0)坐标语言为：设非零向量ax
22、1,y1,bx2,y2,则ab(x1,y1)=(x2,y2)，即 x1y2-x2y1=0,6两个向量垂直的充要条件符号语言：a b ab 0坐标语言：设非零向量a x1, y1,b x2,y2，则a b x1x2 y1y2 0 两个向量数量积的重要性质：a | a |即| a | 222a(求线段的长度);a b ab 0(垂直的判断); abcos (求角度)。a bbcos叫做向量b在a方向上的投影（如图）.七、数列七、数列（一）数列的概念（一）数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。 记作an， 在数列第一个位置的项叫第1 项 （或首项）
23、 ，在第二个位置的叫第 2 项，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作an；（2）数列的一般形式：a1，a2，a3，an，简记作an。（3）通项公式的定义：如果数列an的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。说明：an表示数列，an表示数列中的第n项，an=fn表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an=(1)=n1,n2k1(kZ)；1,n2k不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（4）(n 1)S1数列an的前n项和Sn与通项an的关系：anSnSn1(n2)（二）等差数列（二）等差数列1等
24、差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差， 公差通常用字母d表示。用递推公式表示为anan1 d(n 2)或an1an d(n 1)。2等差数列的通项公式：an a1(n1)d；15说明：等差数列的单调性：d 0为递增数列，d 0为常数列，d 0为递减数列。3等差中项的概念：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中abab。a，A，b成等差数列A 。22n(a1an)n(n1) na1d。4等差数列的前n和公式：Sn22A 5等差数列的性质：（1）在等差数列an中，从第 2 项起，
25、每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列，如：a1，a3，a5，a7，；a3，a8，a13，a18，；（3） 在等差数列an中， 对任意m，nN，an am(nm)d，d anam(m n)；nm（4）在等差数列an中，若m，n，p，qN且mn pq，则amanapaq；6、数列最值（1）a10，d 0时，Sn有最大值；a10，d 0时，Sn有最小值；（2）Sn最值的求法：若已知Sn，可用二次函数最值的求法（nN） ；an 0an 0若已知an，则Sn最值时n的值（nN）可如下确定或。a 0a 0n1n1（三）等比数列（三）等比数列1等比数列定义
26、：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q 0)，即：an1：an q(q 0)（注意： “从第二项起” 、 “常数”q、等比数列的公比和项都不为零）2等比数列通项公式为：an a1qn1(a1q 0)。说明： （1）由等比数列的通项公式可以知道： 当公比q时该数列既是等比数列也是等差数列； （2）等比数列的通项公式知：若an为等比数列，则am qmn。an3等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比
27、中项） 。即：a与b的等比中项 GG abG ab4等比数列前 n 项和公式一般地，设等比数列a1,a2,a3,an,的前 n 项和是Sna1a2a3an，2a1(1qn)a anq当q 1时，Sn或Sn1；1q1q当 q=1 时，Sn na1。说明：（1）（2） 注意求和公式中是q，a1,q,n,Sn和a1,an,q,Sn各已知三个可求第四个；通项公式中是qn1n不要混淆； （3）应用求和公式时q 1，必要时应讨论q 1的情况。165等比数列的性质等比数列任意两项间的关系：anamqnm；对于等比数列an，若nm u v，则anam auav若数列an是等比数列，Sn是其前 n 项的和，k
28、N*，那么Sk，S2k Sk，S3k S2k成等比数列。如下图所示：S3k a1 a2 a3 ak ak1 a2k a2k1 a3k SkS2kSkS3kS2k八、算法、概率统计与复数八、算法、概率统计与复数（一）算法与框图（一）算法与框图1、算法的含义：对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法。这种方法能在有限的步骤内完成求解，而每条规则必须是明确定义的、可行的。2、四种基本的程序框：输入输出框；处理框；判断框；起止框3、三种基本逻辑：结构顺序结构 、选择结构、循环结构4、基本算法语句（1） 赋值语句： “XY” ，将 Y 的值赋给 X（2）输入语句：（3）输出语句： Print x，y（
29、4）条件语句：（5）循环语句：5、框图流程图结构图（二）概率与统计：（二）概率与统计：、必然事件 P(A)=1，不可能事件 P(A)=0，随机事件的概率：0P(A)r2222222222点 P(x0,y0)在圆外；2如果 (x0a) +(y0b) r相离d=r相切dr+R两圆相离dr+R两圆相外切|Rr|dr+R两圆相交d|Rr|两圆相内切d|Rr|两圆内含d=0，两圆同心。7两圆相交弦所在直线方程相交弦所在直线方程的求法：圆 C1的方程为：x +y +D1x+E1y+C1=0.圆 C2的方程为：x +y +D2x+E2y+C2=0.把两式相减得相交弦所在直线方程为：(D1-D2)x+(E1-
30、E2)y+(C1-C2)=0十一、圆锥曲线十一、圆锥曲线椭圆及其标准方程（1）椭圆的标准方程椭圆的标准方程：2222x2y2i. 中心在原点，焦点在x x 轴轴上：221(a b 0).ab21y2x2 ii. 中心在原点，焦点在y y 轴轴上：221(a b 0)ab（2）椭圆的性质椭圆的性质顶点：(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b.焦点：(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c).焦距：F1F2 2c,c 离心率：e a2b2.c(0 e 1).a2、双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程x2y2y2x2双曲线标准方程：221(a,b
31、0),221(a,b 0).abab双曲线的性质、 焦点在x x轴轴上：顶点：(a,0),(a,0)焦点：(c,0),(c,0)x2y2xy渐近线方程： 0或22 0abab、焦点在y轴轴上：顶点：(0,a),(0,a).焦点：(0,c),(0,c).y2x2yx渐近线方程： 0或22 0。abab、离心率：e c(e 1)ax2 2 pyy3 抛物线标准方程及其几何性质：y2 2pxy2 2px图形x2 2pyyyyxOxOxOxO焦点准线范围对称轴顶点离心率F(x p,0)2F(0,p)2F(0,y p)2F(p,0)2p2x 0, yRx p2x 0, yRp2xR, y 0y p2xR, y 0x轴y轴（0，0）e12223
