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1、3 相似矩阵相似矩阵定定义：设 A, B 都是都是 n 阶矩矩阵，若有可逆矩若有可逆矩阵 P 满足足P 1AP = B ，则称称 B 为矩矩阵 A 的的相似矩相似矩阵，或称矩，或称矩阵A 和和 B 相似相似对 A 进行运算行运算 P 1AP 称称为对 A 进行行相似相似变换称称可逆矩可逆矩阵 P 为把把 A 变成成 B 的的相似相似变换矩矩阵定理：定理：若若 n 阶矩矩阵 A 和和 B 相似，相似，则 A 和和 B 的特征多的特征多项式相同式相同,从而从而 A 和和 B 的特征的特征值也相同也相同证明：明：根据根据题意，存在意，存在可逆矩可逆矩阵 P ，使得，使得 P 1AP = B 于是于是
2、 | B l lE | = | P 1AP P 1(l lE) P | = | P 1(Al lE ) P | = | P 1| |Al lE | |P | = |Al lE | 定理：定理：若若 n 阶矩矩阵 A 和和 B 相似，相似，则 A 和和 B 的特征多的特征多项式相同式相同,从而从而 A 和和 B 的特征的特征值也相同也相同推推论：若若 n 阶矩矩阵 A 和和 B 相似，相似，则 A 的多的多项式式 j j (A) 和和 B 的的多多项式式 j j (B) 相似相似证明：明：设存在存在可逆矩可逆矩阵 P ，使得，使得 P 1AP = B ，则P 1AkP = Bk . .设j j
3、(x) = cmxm + cm1xm1 + + c1x + c0，那么，那么 P 1 j j (A) P = P 1 ( (cmAm + cm1Am1 + + c1A + c0 E) P = cm P 1 Am P + cm1P 1 A m1 P + + c1 P 1 A P + c0 P 1 EP = cmBm + cm1Bm1 + + c1B + c0 E= j j (B) . .定理：定理：设 n 阶矩矩阵 L L = diag(l l1, l l2, , l ln )，则l l1, l l2, , l ln 就就是是 L L 的的 n 个特征个特征值证明：明：故故 l l1, l l2
4、, , l ln 就是就是 L L 的的 n 个特征个特征值定理：定理：若若 n 阶矩矩阵 A 和和 B 相似，相似，则 A 和和 B 的特征多的特征多项式相同式相同,从而从而 A 和和 B 的特征的特征值也相同也相同推推论：若若 n 阶矩矩阵 A 和和 B 相似，相似，则 A 的多的多项式式 j j (A) 和和 B 的的多多项式式 j j (B) 相似相似若若 n 阶矩矩阵 A 和和 n 阶对角角阵 L L = diag(l l1, l l2, , l ln ) 相似，相似，则从而通从而通过计算算j j (L L) 可方便地可方便地计算算j j (A). .若若j j (l l) = | Al lE |，那么，那么 j j (A) = O（零矩（零矩阵）. .可逆矩阵可逆矩阵 P ，满足，满足 P 1AP = L L （对角阵）（对角阵）AP = PL LApi = l li pi (i = 1, 2, , n)A 的的特征值特征值对应的对应的特征向量特征向量其中其中?P.123定理定理4：n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵和对角阵相似相似当且仅当当且仅当A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量推论：推论：如果如果 A 有有 n 个个不同的特征值，则不同的特征值，则 A 和对角阵和对角阵相似相似
