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1、4.11 4.11 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系主要内容主要内容重点：重点：从函数拉氏变换求傅氏变换从函数拉氏变换求傅氏变换难点：难点：判断函数傅氏变换的存在判断函数傅氏变换的存在引言引言从函数拉氏变换求傅氏变换从函数拉氏变换求傅氏变换由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系一、引言一、引言傅氏变换与拉氏变换的区别和联系傅氏变换与拉氏变换的区别和联系1.1.2.2.衰减函数，傅氏变换是衰减函数，傅氏变换是存在存在: : 3.3.例如：例如： 若若收收敛敛坐坐标标0 0=0=0，F(sF(s) )的的收收敛敛域域为为ReRes s0
2、 0，F(sF(s) )的的收收敛敛域域不不包包含含jj轴轴，故故F(sF(s) )在在jj轴轴上上不不收收敛敛。若若令令s=s=jj，则则F(sF(s) )不不等等于于F(jF(j) )。和和虚虚轴轴上上都都有有极极点点，并并且且虚虚轴轴上上的的极极点点为为m m个个一一阶阶极极点点jji i(i(i=1, =1, 2, 2, , , m)m)。将将F(sF(s) )展展开开为为部部分分分分式，表示为式，表示为 式式中中，F Fa a(s(s) )表表示示左左半半平平面面极极点点对对应应的的分分式式。令令F Fa a(s(s) )的的原原函函数数为为f fa a(t(t) )，则，则F(sF
3、(s) )的原函数为的原函数为 的傅里叶变换为的傅里叶变换为由于由于 是是 的原函数，并且的原函数，并且 的极点在左半面，故的极点在左半面，故其中其中根根据据傅傅里里叶叶变变换换的的线线性性性性质质和和频频移移性性质质，并并且且由由于于(t)的的傅傅里里叶变换为叶变换为， 因此得因此得 例例 : :已知已知f(tf(t)=e)=e-2t-2tcos cos t t(t(t) )的单边拉氏变换为的单边拉氏变换为 求求 傅里叶变换傅里叶变换解解 F F（S S）的收敛坐标）的收敛坐标 ，即，即 。因此。因此另一方面，根据傅里叶变换的调制定理，由于另一方面，根据傅里叶变换的调制定理，由于所以有所以有
4、思考题思考题 根据函数拉氏变换，如何判断它的傅氏变根据函数拉氏变换，如何判断它的傅氏变 换是否存在？换是否存在？ 本章小结本章小结例例1 1 即单位阶跃信号的初始值为即单位阶跃信号的初始值为1 BACKBACKBACKBACK例例2 2初值定理证明初值定理证明由原函数微分定理可知由原函数微分定理可知 BACKBACKBACKBACK时移特性例题时移特性例题 BACKBACKBACKBACK【例例1】已知已知【例例2 2】 BACKBACKBACKBACK已知系统的框图如下，请写出此系统的系统函数和已知系统的框图如下，请写出此系统的系统函数和描述此系统的微分方程。描述此系统的微分方程。(1)在零
5、起始状态下，对原方程两端取拉氏变换在零起始状态下，对原方程两端取拉氏变换 BACKBACKBACKBACK(2)例例 题题 BACKBACKBACKBACK当常数当常数k满足什么条件时，系统是稳定的？满足什么条件时，系统是稳定的？ 加法器输出端的信号加法器输出端的信号输出信号输出信号如图所示反馈系统，子系统的系统函数如图所示反馈系统，子系统的系统函数则反馈系统的系统函数为则反馈系统的系统函数为为使极点均在为使极点均在s左半平面，必须左半平面，必须系统稳定性系统稳定性系统稳定性系统稳定性本章小结本章小结 1.1.拉拉普普拉拉斯斯变变换换是是本本课课程程介介绍绍的的第第二二个个对对信信号号的的变变
6、换换方方法法，目目的的是是为为了了解解决决傅傅里里叶叶变变换换在在实实际际应应用用中中面面临临的的一一些些实实际际问问题题，它它的的引引入入是是从从一一些些增增长长型型的的信信号号固固不不满满足足傅傅里里叶叶变变换换存存在在的的条条件件而而不不能能进进行行傅里叶的分析开始的。傅里叶的分析开始的。2.2.拉拉普普拉拉斯斯变变换换中中值值得得我我们们着着重重注注意意的的是是变变换换收收敛敛域域的的概概念念，以以及及拉拉氏氏变变换换与与傅傅氏氏变变换换相相互互之之间间的的关关系系。另另一一方方面面要要了了解解的的是是拉拉氏氏变变换换在在系系统统分分析析中中的的应应用用。就就变变换换的的性性质质而而言言，大大部部分分与与傅傅氏氏变变换换是是相相似似的的（或或本本质质上上是是相相一一致致的的）但但也也有有不不同同的的新新特特点，如初、终值定理。点，如初、终值定理。 3.3.最后一个需在学习中注意的问题是：在本门课最后一个需在学习中注意的问题是：在本门课程中，我们是将拉氏变换作为又一种变换域（程中，我们是将拉氏变换作为又一种变换域（S S域）域）的分析方法，而傅氏变换则是频域（的分析方法，而傅氏变换则是频域（W W域）分析方域）分析方法。可以从这个意义上理解这两种变换间的异同。法。可以从这个意义上理解这两种变换间的异同。
