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1、第九章状态空间分析方法1 1第9章 状态空间分析方法9-1 9-1 状态空间方法基础状态空间方法基础9-2 9-2 线性系统的可控性和可观性线性系统的可控性和可观性9-3 9-3 线性系统的线性变换线性系统的线性变换9-4 线性定常系统地反馈结构及观测器9-5 李雅普诺夫第二方法2 2经典控制理论、现代控制理论比较经典控制理论、现代控制理论比较经典控制理论经典控制理论(50(50年代前年代前) )现代控制理论现代控制理论(50(50年代后年代后) )研究对象研究对象单输入单输出的线性定常单输入单输出的线性定常系统系统可以比较复杂可以比较复杂数学模型数学模型传递函数传递函数( (输入、输出描述输
2、入、输出描述) )状态方程状态方程( (可描述内部行为可描述内部行为) )数学基础数学基础运算微积、复变函数运算微积、复变函数线性代数、矩阵理论线性代数、矩阵理论设计方法的设计方法的特点特点非唯一性、试凑成份多非唯一性、试凑成份多, , 经验起很大作用。主要在经验起很大作用。主要在复数域进行。复数域进行。设计的解析性，与计设计的解析性，与计算机结合，主要在时算机结合，主要在时间域进行。间域进行。3 3基本要求基本要求 掌握由系统输入掌握由系统输入输出的微分方程式、系输出的微分方程式、系统动态结构图、及简单物理模型图建立系统动态结构图、及简单物理模型图建立系统状态空间模型统状态空间模型的方法。的
3、方法。熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由时域和复数域求解状态方程的方法。熟由时域和复数域求解状态方程的方法。熟练掌握由动态方程计算传递函数的公式。练掌握由动态方程计算传递函数的公式。正确理解线性变换正确理解线性变换, , 熟练掌握线性变换前、熟练掌握线性变换前、后动态方程各矩阵的关系。后动态方程各矩阵的关系。正确理解可控性和可观测性的概念，熟练正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和运用可控性判据和可观性判据。掌握和运用可控性判据和可观性判据。 4 4能将可控系统能将可控系统 化为可控标准形。能将不可化为可控标准形。能将不可控系统进行可控性分解。控系统
4、进行可控性分解。熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法, , 熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状态反馈系统态值构成的状态反馈系统, , 可进行闭环极点可进行闭环极点配置和观测器极点配置。配置和观测器极点配置。正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和解法条件和解法, , 能通过解李雅普诺夫方程进行能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。稳定性分析。基本要求基本要求 5 5状态空间方法基础在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析
5、单输入、单输出系统。单输入、单输出系统。在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁明了，为系统的分析研究提供了有力的工具。明了，为系统的分析研究提供了有力的工具。6 6状态状态：动力学系统的状态可以定义为信息的集合。动力学系统的状态可以定义为信息的集合。一、状态空间的基本概念已知已知 时状态，时状态， 时的输入，可确定时的输入，可确定 时任一变量的运动状况。时任一变量的运动状况。状态变量状态变量：确定动力学系统状态的最小一组变量确定动力学系统状态的最小一组变量 。7 7状态空间
6、状态空间：由：由 张成的张成的n n维向量空间。维向量空间。状态向量状态向量：如果完全描述一个给定系：如果完全描述一个给定系统的动态行为需要统的动态行为需要n n个状态变量，那么个状态变量，那么状态向量定义为状态向量定义为X(t)X(t)对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中一对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中一个点，状态随时间的变化过程，构成了状态空间个点，状态随时间的变化过程，构成了状态空间中的一条轨迹。中的一条轨迹。8 89 9例设一RLC网络如图所示。回路方程为选择状态变量1010则有则有写成写成输出输出1111写成若选另一组状态变量则有1212 若给出 (t=0) 时的初值
7、、 、 、 和 时就可确定系统的行为。单输入单输入- -单输出线性定常系统单输出线性定常系统选取状态变量选取状态变量二、系统的状态空间表达式二、系统的状态空间表达式13131414或写成1515系统结构图如图所示1616例输入为输入为 u u ，输出为输出为y y 。试求系统的状态方程和输出方程。试求系统的状态方程和输出方程。考虑用下列常微分方程描述的系统考虑用下列常微分方程描述的系统取状态变量取状态变量状态方程为解：1717线性定常系统状态方程的解式中式中 均为列向量。均为列向量。齐次向量微分方程齐次向量微分方程方程的解为方程的解为1 1、齐次状态方程的解、齐次状态方程的解1818可得可得代
8、入方程代入方程 将将方程两边系数必相等方程两边系数必相等, , 即即1919定义因此，齐次状态方程的解为将 t=0 代入解中得为nn矩阵，称矩阵指数。2020于是齐次状态方程的解为于是齐次状态方程的解为2、用拉氏变换法求解、用拉氏变换法求解0)(xetxAt=2121拉氏反变换后得到2222最终得到最终得到 与前一种解法所得结果一致。式中2323状态转移矩阵具有以下性质：状态转移矩阵具有以下性质：2424例设系统的状态方程为设系统的状态方程为试求状态转移矩阵。试求状态转移矩阵。解：求状态转移矩阵为其中2525可以写出方程解为设系统状态方程为设系统状态方程为试求状态方程的解。试求状态方程的解。解
9、解例例2626状态方程之解为状态方程之解为状态方程之解为状态方程之解为 2727改写为改写为 用用 左乘等式两边左乘等式两边 2 非齐次状态方程的解非齐次方程非齐次方程积分上式得积分上式得用用 乘上式两边乘上式两边2828讨论非齐次状态方程的拉氏变换解法则式可以写成则式可以写成拉氏反变换得拉氏反变换得由于由于由卷积定理有由卷积定理有2929因此因此由于由于最后得到最后得到3030例求下述系统状态的时间响应求下述系统状态的时间响应控制量控制量u u为单位阶跃函数。为单位阶跃函数。解：由状态转移矩阵3131若初始状态为零状态，则若初始状态为零状态，则3232四、传递函数矩阵系统状态方程系统状态方程
10、输出方程输出方程拉氏变换为拉氏变换为 解出定义传递函数矩阵定义传递函数矩阵为为3333所以特征方程为 设系统的动态方程为试求该系统的传递函数矩阵。例3434解：已知已知3535例设系统的状态方程为设系统的状态方程为解：系统的特征方程为系统的特征方程为 特征方程的根为特征方程的根为-1-1、-2-2和和-3-3。矩阵。矩阵A A的特征值也为的特征值也为-1-1、-2-2和和-3-3。两者是一样的。两者是一样的。试求系统的特征方程和特征值。试求系统的特征方程和特征值。3636五、动态方程的线性变换其中 P 是nn 矩阵3737特征多项式特征多项式没有改变。特征多项式没有改变。3838传递函数阵传递
11、函数阵传递函数阵没有改变传递函数阵没有改变3939例系统进行坐标变换，其变换关系为试求变换后系统的特征方程和特征值。4040解：根据题意求变换矩阵代入代入4141特征方程为特征值为-1，-2，-3，与上例结果相同。可得4242 线性系统的可控性和可观测性在状态空间法中，对系统的描述可由状态方程和输出方程来表示。状态方程是描述由输入和初始状态所引起的状态的变化；输出方程则是描述由于状态变化而引起输出的变化可控性和可观测性的概念，就是回答“系统的输入是否能控制状态的变化和“状态的变化能否由输出反映出来这样两个问题。4343一、准备知识设设A A 是 nn 矩阵, x x 是 n1 向量,齐次方程组
12、若 |A|=0, 上式存在非零解；若|A|0, 上式只有零解。Ax=01 1、齐次方程组的非零解、齐次方程组的非零解44442、Cayley-Hamilton定理 Cayley-Hamilton定理指出，矩阵A满足自己的特征多项式。则A满足A的特征多项式4545应用Cayley-Hamilton 定理46463 引理的充分必要条件是：的充分必要条件是：存在存在 使使非奇异。这里非奇异。这里A :nn, b: n1.A :nn, b: n1.4747若对任意状态 ，存在一个有限时刻 和控制量 ，能在 时刻将状态 转移到0，则称此系统的状态完全可控。二、线性系统的可控性二、线性系统的可控性1 1
13、定义定义对于任意时刻 和 ，若存在控制向量 ，能将 的每个初始状态 转移到 时刻的另一任意状态 ,则称此系统的状态完全可控。 等价的定义等价的定义48482 可控性判据其中 A (nn),b (n1), c (1n),d (11) 系统可控的充分必要条件是单变量线性定常系统49493 约当型方程的可控性判据 约当块的一般形式为约当块的一般形式为由前面讨论可知，等价变换不改变可控性。由前面讨论可知，等价变换不改变可控性。5050可控的充分必要条件为同一特征值对应的约当块只有一块，即各约当块的特征值不同。每一约当块最后一行，所对应的b中的元素不为零。这一充分必要条件又称为单输入系统约当形方程的可控
14、性判据。5151例系统状态方程为系统状态方程为试确定系统可控时，试确定系统可控时， 应满足的条件。应满足的条件。5252解：因为A阵有两个若当块，根据判据的(1)应有 ，由判据的(2)，A的第二行所对应的b中的元素b2,b4均不为零，因此系统可控的充要条件为53534、可控标准形则系统一定可控。一个单输入系统，如果具有如下形式5454上式的形式被称为单输入系统的可控标准形 。对于一般的单输入n维动态方程 其中A，b分别为nn,n1的矩阵。成立以下定理： 若n维单输入系统可控，则存在可逆线性变换，将其变换成可控标准形。5555下面给出变换矩阵P的构成方法 计算可控性矩阵计算可控性矩阵S S；计算
15、计算 ，并记，并记 的最后一行为的最后一行为h h。构造矩阵构造矩阵 P P令令 即可求出变换后的系统状态方程。5656例 设系统状态方程为 试将系统状态方程化为可控标准形。解： 先判断可控性，再计算变换矩阵，将状态方程化为可控标准形。故系统可控。一定可将它化为可控标准形。 5757此时标准形中的系统矩阵的最后一行系此时标准形中的系统矩阵的最后一行系数就是数就是A A阵特征式的系数，但符号相反。阵特征式的系数，但符号相反。则变换矩阵为5858可求出5959系统按可控性进行分解 系统可控时，可通过可逆线性变换变换为可控标准形，现在研究不可控的情况，这时应有下面的结果被称为系统按可控性进行分解的定
16、理 6060不可控系统经过线性变换 式中式中 是是n n1 1维向量维向量, , 是是n n2 2维向量，并且维向量，并且6161系统按可控性分解6262从上图可见，控制输入不能直接改变 也不能通过影响间接改变 ，故 这一部分状态分量是不受输入影响的，它是系统中的不可控部分。由图上还可看出系统的传递函数完全由图中虚线以上的部分所决定，即传递函数未能反映系统的不可控部分。 6363例设有系统方程如下 其传递函数为 试进行可控性分解 。6464解：系统的可控性矩阵系统的可控性矩阵由于由于S S的第的第3 3列是第列是第1 1列与第列与第2 2列的线性组合，列的线性组合，系统不可控系统不可控 。选取
17、选取6565计算出计算出 构成构成6666故有因而得因而得6767线性系统的可观测性设n维单变量线性定常系统的动态方程为 如果在有限时间间隔0, t1 内，根据输出值y(t)和输入值u(t)，能够唯一确定系统的初始状态x(0)的每一个分量，则称此系统是完全可观测的，简称可观的。式中A,b,c分别为 矩阵。1 1、 可观测性的定义68682 可观测性判据 可观测的可观测的可观测的可观测的充分必要条件充分必要条件充分必要条件充分必要条件是是是是上式中的矩阵称为可观性矩阵可观性矩阵。并记为V。6969试判断系统的可观测性。试判断系统的可观测性。设系统动态方程为设系统动态方程为例解：系统的可观性矩阵系
18、统的可观性矩阵系统的可观性矩阵系统的可观性矩阵 是奇异的，故系统不可观测。是奇异的，故系统不可观测。是奇异的，故系统不可观测。是奇异的，故系统不可观测。系统可观性矩阵的秩，在对系统作可逆线性变换下保系统可观性矩阵的秩，在对系统作可逆线性变换下保持不变，因而可逆线性变换不改变系统的可观测性。持不变，因而可逆线性变换不改变系统的可观测性。 70703 对偶原理上面两个系统的系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵之间有确定的关系，称系统、是互为 对偶 的系统。 系统系统 7171对偶原理对偶原理 系统的可控性(可观性)等价于系统的可观性(可控性)。只要写出系统的可控性矩阵(可观性矩阵)和系统 的可观性矩阵(可
19、控性矩阵)即可证明以上结论。利用对偶原理，可以将可控性的研究结果应用到可观测性的研究上。因为对对偶系统的可控性研究就相当于对原系统的可观性研究。 72724 可观测标准形 一个单输出系统如果其一个单输出系统如果其A,c A,c 阵有如下的标准形阵有如下的标准形式，它一定是可观测的。式，它一定是可观测的。上式称为单输出系统的可观测标准形。 7373通过对偶原理证明：通过对偶原理证明：给定系统方程如下若有等价变换将其化为可观测标准形7474构造原系统的对偶系统 根据对偶原理，因原系统为可观测，所以其根据对偶原理，因原系统为可观测，所以其对偶系统一定可控。对偶系统一定可控。 化为下列的可控标准形，其
20、变换矩阵为化为下列的可控标准形，其变换矩阵为P.P.7575因此有比较上面两组式子，可知欲求之线性变换矩阵比较上面两组式子，可知欲求之线性变换矩阵它可将系统方程化为可观测标准形。它可将系统方程化为可观测标准形。7676例系统动态方程为将系统动态方程化为可观标准形，并求出变换矩阵。7777解：显然该系统可观测，可以化为可观标准形。写出它的对偶系统的A,b阵，分别为根据A,b阵，按化可控标准形求变换阵的步骤求出P阵：7878计算可控性矩阵S由由(9-128)(9-128)式求出式求出P P阵阵由由(1-60)(1-60)式求出式求出M M阵阵79798080 5 系统按可观性进行分解 系统可观测，
21、则通过等价变换可以化为可观测标准形。现在研究系统不可观的情况，它是系统不可控的对偶结果。 若系统不可观测，且8181则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵P P，将动态方程将动态方程化为化为式中 是n2维向量, 是n-n2维向量，并且8282表明n2维的子系统 (A1 b1 c1 )是可观的； 这部分状态变量是不可观的； (9-138)式表明传递函数未能反映系统的不可观部分。系统按可观性分解的结果系统按可观性分解的结果 这可以用前面证明可观标准形的方法论证。这可以用前面证明可观标准形的方法论证。8383 系统按可观测性分解系统按可观测性分解由图上可以看出传递函数完全由图中虚线以上的部分所决定，即传递函数
22、未能反映系统中不可观测的部分。8484状态反馈与状态观测器本节首先研究用状态变量作反馈的控制方式。系统的动态方程如下令一、一、状态反馈和极点配置问题式中的v 是参考输入，k称为状态反馈增益矩阵，这里它是1n 的向量。8585上图所示的闭环系统的状态空间表达式为式中A-bk为闭环系统的系统矩阵。8686计算闭环系统的可控性矩阵，因为1 1 状态反馈不影响可控性状态反馈不影响可控性8787上式中最后一个矩阵显然是非奇异矩阵，因此有因此有8888 状态反馈可能改变系统的可观测性。即原来可观的系统在某些状态反馈下，闭环可以是不可观的。同样，原来不可观的系统在某些状态反馈下，闭环可以是可观的。状态反馈是
23、否改变系统的可观测性，要进行具体分析。前式表明，若原来系统可控，加上任意的状态反馈后，所得到的闭环系统也可控。若原来系统不可控，不论用什么k 阵作状态反馈，所得到的闭环系统仍然不可控。这一性质称为状态状态反馈不改变系统的可控性。反馈不改变系统的可控性。89892 状态反馈对闭环特征值的影响 闭环方程的系统矩阵A-bk的特征值，一般称为闭环的极点。闭环系统的品质主要由闭环的极点所决定，而稳定性则完全由闭环极点所决定。 通过选取反馈增益阵来改变闭环特征值在复平面上的位置，称为状态反馈进行极点配置问题。9090式中现引入证明：定理：定理：系统矩阵A-bk 的特征值可以由状态反馈增益阵 k 配置到复平
24、面的任意位置，其充分必要条件是系统可控。9191状态反馈式可写为：考虑矩阵考虑矩阵考虑矩阵考虑矩阵9292它的特征式为由于由于由于由于故 的特征式即是 的特征式，所以 和 有相同的特征值。9393设任意给定的闭环极点为 , 且9494 以上定理的充分性证明中，已给出通以上定理的充分性证明中，已给出通过可控标准形来选择过可控标准形来选择k k阵，使闭环具有任意要阵，使闭环具有任意要求的特征值的计算步骤，现归纳如下求的特征值的计算步骤，现归纳如下计算A的特征式由所给的n 个期望特征值 ， 计算期望的多项式9595根据(9-94) 式，计算化可控标准形的坐标变换阵P求出反馈增益阵 上述步骤中有化可控
25、标准形这一步。如果不经过这步，也可直接求k。求9696系统状态方程为若加状态反馈使闭环特征值分布为-1,-2,-1+j,-1-j，试求状态反馈增益阵k。例9797计算A的特征式由所给的4 个期望特征值，计算期望的多项式解：方法一、通过化可控标准形求解9898求出反馈增益阵=-0.4 -1 -21.4 -6 根据(9-94) 式，计算化可控标准形的坐标变换阵P求9999方法二：令 ，计算A-bk的特征式比较两个特征式的系数可得所以可得 k=-0.4 -1 -21.4 -6 100100二、状态观测器 为了实现状态反馈，须对状态变量进行测量，但在实际系统中，并不是所有的状态变量都能测量到的。因此为
26、了实现状态反馈控制律，就要设法利用巳知的信息（输入量及输出量），通过一个模型来对状态变量进行估计。状态观测器又称状态渐近估计器。101101 一个明显的方法是利用计算机构成一个与实际系统具有同样动态方程的模型系统，用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计值，见图。102102 一般系统的输入量u和输出量y均为已知，因此希望利用y=cx与 的偏差信号来修正 的值，这样就形成了后图的闭环估计方案。 由于前图中未能利用系统的输出信息对误差进行校正，所以用图9-17得到的估计值是一个开环估值。103103状态的闭环估计方案状态的闭环估计方案104104 根据前图可写出观测器部分的状态方程由上式和系统
27、方程式可求出观测误差 应满足的方程式105105定理定理：若系统(A b c)可观测, 则(9-169)式给出了系统的一个n 维状态观测器，并且观测器的极点可以任意配置。只要A-Hc的特征值均在复平面的左半部， 随着 t 的增长而趋向于零，而且趋于零的速度由A-Hc 的特征值所决定。于是有下面极点可任意设置的状态观测器定理106106例系统的动态方程为 试设计一个状态观测器，观测器的特征值要求设置在-10 ,-10 。107107解：观测器的特征方程为观测器的特征方程为 将观测器增益矩阵将观测器增益矩阵 H H 写成写成108108根据给定的特征值，可求出期望的多项式为比较上述两多项式中s的同
28、次项系数得因此观测器的方程为109109三、由被控对象、观测器和状态反馈构成的闭环系统若原系统(对象)方程为现以状态观测器所得到的状态估计值 代替原系统的状态变量 x 形成状态反馈，即而观测器的方程为110110带观测器的状态反馈系统 由对象、观测器和状态反馈组合而成的由对象、观测器和状态反馈组合而成的闭环系统的方框图如下图示闭环系统的方框图如下图示。111111取状态变量为112112所得到的动态方程为：113113由式可知，这时闭环系统矩阵的特征式可计算如下 这个特点表明：若系统是可控、可观的，则这个特点表明：若系统是可控、可观的，则可按闭环极点配置的需要选择反馈增益阵可按闭环极点配置的需
29、要选择反馈增益阵k k，然后然后按观测器的动态要求选择按观测器的动态要求选择H H，H H的选择并不影响已的选择并不影响已配置好的闭环传递函数的极点。因此系统的极点配置好的闭环传递函数的极点。因此系统的极点配置和观测器的设计可分开进行，这个原理通常配置和观测器的设计可分开进行，这个原理通常称为称为分离定理分离定理。114114通常把反馈增益阵和观测器一起称为控通常把反馈增益阵和观测器一起称为控制器制器115115李雅普诺夫稳定性分析116116117117118118119119120120121121122122李雅普诺夫意义下的稳定1231231241241251251.李雅普诺夫稳定：1
30、261261271272.渐近稳定性1281283.大范围内的渐近稳定129129说明说明1301304.不稳定性131131二、标量函数的下定性定义：132132133133134134135135136136判别稳定性的李雅普诺夫方法一、李氏第一法（间接法）137137138138139139二、李氏第二法（直接法）140140141141142142X(0)143143定理2144144145145146146147147148148149149150150151151152152153153154154155155156156157157158158159159应用李雅普诺夫方程分析线性系统的稳定性一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析160160161161162162163163164164165165166166167167168168169169170170171171172172+-k/(s+1)k/(s+2)1/sr173173174174175175176176177177178178179179180180181181本章主要知识点及线索 182182
