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1、1计算机控制系统的计算机控制系统的数学描述数学描述2Z Z变换变换1 1 定义定义定义定义对上式拉氏变换对上式拉氏变换引入复变量引入复变量 ， 并令并令 Tf(t)连续信号连续信号f*(t)离散信号离散信号3Z变换的特点：变换的特点：1.得到的得到的F（z）是）是z的幂多项式（有理分式），便于研究的幂多项式（有理分式），便于研究2.z-1对应于对应于 （t-T），）， z-k对应于对应于 （t-kT），）， z-1时间上延迟一个周期，时间上延迟一个周期， z-k延迟延迟k步，便于差分方程描述步，便于差分方程描述F F（z z）的表现形式）的表现形式）的表现形式）的表现形式： 第三种形式在第三种
2、形式在第三种形式在第三种形式在L L L L变换中没有，用变换中没有，用变换中没有，用变换中没有，用z z z z-1-1-1-1描述描述描述描述4 求求Z变换方法变换方法 1 1）级数求和法）级数求和法）级数求和法）级数求和法求指数函数求指数函数 的的z变换变换52）部分分式展开法）部分分式展开法查表法查表法线性常系数微分方程，可以写成传递函数线性常系数微分方程，可以写成传递函数线性常系数微分方程，可以写成传递函数线性常系数微分方程，可以写成传递函数f f f f（s s s s）：）：）：）：特征值为实数特征值为实数特征值为实数特征值为实数（一阶系统）（一阶系统）（一阶系统）（一阶系统）或
3、者一对共轭复根或者一对共轭复根或者一对共轭复根或者一对共轭复根（二阶系统）（二阶系统）（二阶系统）（二阶系统）f f f f（s s s s）可以分解为一阶和二阶环节之和（部分分式展开），）可以分解为一阶和二阶环节之和（部分分式展开），）可以分解为一阶和二阶环节之和（部分分式展开），）可以分解为一阶和二阶环节之和（部分分式展开），分别查表，得到分别查表，得到分别查表，得到分别查表，得到z z z z变换式，再求和。变换式，再求和。变换式，再求和。变换式，再求和。注意：一般不能用注意：一般不能用6Z Z反变换反变换反变换反变换只能得到采样点只能得到采样点只能得到采样点只能得到采样点上的值上的值上
4、的值上的值f f f f（kTkTkTkT）！）！）！）！不能得到不能得到不能得到不能得到f f f f（t t t t）7Z Z反变换求法反变换求法反变换求法反变换求法1）长除法）长除法(幂级数展开法，按照幂级数展开法，按照z-1升幂排列升幂排列)得到的是数值解，很难得到解析解，不便于分析得到的是数值解，很难得到解析解，不便于分析得到的是数值解，很难得到解析解，不便于分析得到的是数值解，很难得到解析解，不便于分析 82. 查表法查表法(部分分式展开法部分分式展开法)(F(z)无重根无重根)F(z)分母上往往有分母上往往有z,对应查表方便对应查表方便 例：求例：求 的的Z反变换反变换解：解：对
5、应的连续函数：对应的连续函数：对应的连续函数：对应的连续函数：9如果不能分解为分母上带如果不能分解为分母上带如果不能分解为分母上带如果不能分解为分母上带z z z z的形式，利用的形式，利用的形式，利用的形式，利用或或或或F F F F（z z z z）=F=F=F=F1 1 1 1（z z z z）z z z z-1-1-1-1，求，求，求，求F1F1（z z）的）的）的）的Z Z反变换反变换反变换反变换f1f1（k k）得到的得到的得到的得到的f f f f（k k k k）=f=f=f=f1 1 1 1（k-1k-1k-1k-1）例：例：例：例： 表中没有表中没有表中没有表中没有令：令：
6、令：令：查表得：查表得：查表得：查表得： 10Z变换基本定理变换基本定理 一，线性特性一，线性特性二、时域位移定理二、时域位移定理三、初值定理三、初值定理四、终值定理四、终值定理11二、实位移定理二、实位移定理1.右位移右位移(延迟延迟)定理定理2. 左位移左位移(超前超前)定理定理12三、初值定理三、初值定理证明：证明：当当z趋于无穷时，两边取极限，趋于无穷时，两边取极限，z ，z-10上式成立上式成立13四、终值定理四、终值定理四、终值定理四、终值定理终值定理成立的条件终值定理成立的条件终值定理成立的条件终值定理成立的条件: : 在单位圆上和圆外没有极点，在单位圆上和圆外没有极点，f f
7、f f（k k k k）收敛）收敛）收敛）收敛例：例：例：例： 发散，不能使用终值定理发散，不能使用终值定理发散，不能使用终值定理发散，不能使用终值定理若用：若用：若用：若用： 稳定，结论错误稳定，结论错误稳定，结论错误稳定，结论错误原因：单位圆外有极点原因：单位圆外有极点原因：单位圆外有极点原因：单位圆外有极点 14脉冲传递函数脉冲传递函数1 1 定义定义定义定义(零初始条件零初始条件)或或15如何由如何由G(s)求求G(z):（1 1）对）对G(s)G(s)做拉普拉斯反变换，求得脉冲响应做拉普拉斯反变换，求得脉冲响应（2 2）对）对h(t)h(t)采样，求得离散系统脉冲的响应采样，求得离散
8、系统脉冲的响应（2 2）对）对h h* *(t)(t)作作z z变换，得离散系统脉冲的响应变换，得离散系统脉冲的响应G(z)G(z)几种记法：几种记法：16G(z)的特点的特点 从采样开关到采样开关h(t),G(s),G(j)与h*(t),G(z),G(ejT)的关系17G(z)G(z)的物理可实现条件的物理可实现条件n m，可实现条件可实现条件可实现条件可实现条件例：例：若若r(t)= (t), R(z)=1, 则则Y(z)z, y(t)= (t+T) 输出信号出现在输入信号之前，非因果的，物理上输出信号出现在输入信号之前，非因果的，物理上输出信号出现在输入信号之前，非因果的，物理上输出信号
9、出现在输入信号之前，非因果的，物理上不存在不存在不存在不存在182 2 2 2 差分方程与脉冲传递函数差分方程与脉冲传递函数差分方程与脉冲传递函数差分方程与脉冲传递函数为该系统的特征多项式为该系统的特征多项式为该系统的特征多项式为该系统的特征多项式 差分方程差分方程脉冲传递函数脉冲传递函数Z Z变变换换Z Z反反变变换换零初始条件下：零初始条件下：零初始条件下：零初始条件下：193 3 3 3 开环脉冲传递函数（开环脉冲传递函数（开环脉冲传递函数（开环脉冲传递函数（从采样开关到采样开关从采样开关到采样开关从采样开关到采样开关从采样开关到采样开关） 一、采样系统中连续部分的结构形式一、采样系统中
10、连续部分的结构形式图（图（a a）连续输入连续输入, ,连续输出连续输出 图（图（b b）连续输入连续输入, ,采样输出采样输出 图（图（c c）采样输入采样输入, ,采样输出采样输出 即即图（图（d d）采样输入采样输入, ,连续输出连续输出 20 注意：注意：例：例：两者结果不同，但它们的极点相同，仅零点不同两者结果不同，但它们的极点相同，仅零点不同仅当其中一个环节是常值或纯延迟环节（仅当其中一个环节是常值或纯延迟环节（仅当其中一个环节是常值或纯延迟环节（仅当其中一个环节是常值或纯延迟环节（延迟时延迟时延迟时延迟时间为间为间为间为T T的整数倍的整数倍的整数倍的整数倍）时，等式成立）时，等
11、式成立）时，等式成立）时，等式成立21 注意：注意：l 并不是所有结构都能写出环节的离散脉冲传递函数，并不是所有结构都能写出环节的离散脉冲传递函数，如图（如图（b b），只能写出输出的表达式），只能写出输出的表达式 l 只有当输入及输出均有采样开关，或者说，均为离散只有当输入及输出均有采样开关，或者说，均为离散信号时，才能写出它们之间的脉冲传递函数。信号时，才能写出它们之间的脉冲传递函数。 22 二、串连环节的脉冲传递函数二、串连环节的脉冲传递函数 (a) (b)23三、并联环节脉冲传递函数三、并联环节脉冲传递函数依据依据依据依据Z Z变换的线性叠加原理变换的线性叠加原理变换的线性叠加原理变换
12、的线性叠加原理24四、有零阶保持器时的开环脉冲传递函数四、有零阶保持器时的开环脉冲传递函数254 4 闭环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数1. 独立环节：在计算机控制系统里，两个相邻采样开关之间独立环节：在计算机控制系统里，两个相邻采样开关之间的环节（不管其中有几个连续环节串联或并联）只称为的环节（不管其中有几个连续环节串联或并联）只称为1个个独立环节。独立环节。2. 若闭环系统输入信号未被采样，则整个闭环系统的脉冲传若闭环系统输入信号未被采样，则整个闭环系统的脉冲传递函数将写不出来，只能写出输出信号递函数将写不出来，只能写出输出信号z变换表达式。变换表达式。3. 若误差信号被采样，则认为
13、输入、输出信号都有采样信号，若误差信号被采样，则认为输入、输出信号都有采样信号，即即 26反馈通道有采样开关反馈通道有采样开关 闭环：闭环：闭环：闭环：输出输出输出输出: :27误误误误差差差差信信信信号号号号被被被被采采采采样样样样相相相相当当当当于于于于输输输输入入入入信信信信号号号号有有有有采采采采样样样样反馈通道反馈通道反馈通道反馈通道无采样：无采样：无采样：无采样：需要加虚需要加虚需要加虚需要加虚拟开关拟开关拟开关拟开关28 一般规律：一般规律：（1 1）输入）输入 作为一个连续环节看待。作为一个连续环节看待。（2 2）若）若 存在，则可写出闭环系统的脉冲传递函存在，则可写出闭环系统的脉冲传递函数，否则写不出来，只能写出输出信号数，否则写不出来，只能写出输出信号z z变换表达式。变换表达式。 29
