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1、图形与证明XXX大学张XXX利用利用基本事实基本事实, ,证明证明下列命题下列命题. . （1 1）直角三角形全等的判定定理）直角三角形全等的判定定理; ;（2 2）角平分线性质定理及逆定理）角平分线性质定理及逆定理; ; 三角形的三条角平分线交于一点三角形的三条角平分线交于一点( (内心内心););（3 3）垂直平分线性质定理及逆定理）垂直平分线性质定理及逆定理; ; 三角形的三边的垂直平分线交于一点三角形的三边的垂直平分线交于一点( (外心外心););（4 4）三角形中位线定理）三角形中位线定理; ;（5 5）等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性）等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质
2、和判定定理质和判定定理; ;（6 6）平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯）平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理形的性质和判定定理. .证明证明文字命题文字命题的的一般步骤一般步骤: :(1)(1)根据题意根据题意, , 画出图形画出图形; ;(2)(2)结合图形结合图形, ,写出写出“已知已知”和和“求证求证”; ;(3)(3)写出证明过程写出证明过程（依据依据: : 基本事实基本事实基本事实基本事实、 已知条件、学过的已知条件、学过的已知条件、学过的已知条件、学过的定义定义定义定义、定理定理定理定理）证明的证明的方法：方法：（1 1） 从从已知条件已知条件想想可知的事
3、项可知的事项; ;（2 2）由由结结 论论 想想使使结结论论成成立立所所需需要要的的条条件件 . . 勾股定理勾股定理： 如果如果 ABCABC中中 C C9090 那么那么 a a+b+b=c=c. .直角三角形的直角三角形的判别条件判别条件： 如果如果 ABCABC中中 a a+b+b=c=c. . 那么那么 C C9090. .B BC Ca ab bc cA A(1) (1) 在直角三角形中在直角三角形中, ,已知两边已知两边, ,可求第三边可求第三边; ; (2) (2) 可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程. .直角三角形直角三角形归纳：归纳：会将实际问题会将实际问题转化转化为
4、数学问题。为数学问题。 通过通过构造构造直角三角形，直角三角形，注意：注意：数学的数形结合思想数学的数形结合思想和问题转化思想的应用。和问题转化思想的应用。勾股定理勾股定理用于用于求求线段的线段的长度长度、图形的图形的周长周长、面积面积，勾股定理逆定理勾股定理逆定理用于用于判断判断三角形的三角形的形状形状。 拼图验证拼图验证:勾股定理勾股定理a a +b+b =c=c s1s2s3acbC CB BA AS1S3S2a cb利用利用4 4个全等的直角三角形验证勾股定理个全等的直角三角形验证勾股定理abcabcabcabcabc拼图验证拼图验证:勾股定理勾股定理aabbcc梯形面积梯形面积梯形面
5、积梯形面积 = 3= 3= 3= 3个直角三角形面积的和个直角三角形面积的和个直角三角形面积的和个直角三角形面积的和 拼图验证拼图验证:勾股定理勾股定理cccc(b-a)2ba美丽的美丽的勾股树勾股树规律：规律： “生产生产” n n次次后，形成的图形中所后，形成的图形中所有正方形的面积和的变化规律为：有正方形的面积和的变化规律为：（1+n1+n）S=1S=1S=1S=1 如图如图, ,是一些由正方形和直角三角形拼合成是一些由正方形和直角三角形拼合成的一棵小的一棵小“勾股树勾股树”, ,其中最大的正方形边长为其中最大的正方形边长为7cm,7cm,你能求出正方形你能求出正方形A A、B B、C
6、C、D D的面积之和吗？的面积之和吗？BACD例例7E EF FGA+B+C+D=GG = 72正方形正方形A A、B B、C C、D D的面积之和为的面积之和为49.49.符号语言符号语言： 如图，如图，如果如果 点点P P在线段在线段ABAB的的垂直平分线上，垂直平分线上，那么那么 PAPAPBPB 线段的垂直平分线上的线段的垂直平分线上的点点到线到线段段两端两端的的距离相等距离相等性质：性质：lOPBA 到线段两端距离相等的点到线段两端距离相等的点，在在这条线段的垂直平分线上这条线段的垂直平分线上符号语言符号语言：如图，如图，如果如果 PAPAPBPB，那么点那么点P P在线段在线段AB
7、AB的垂直平分线上的垂直平分线上P PB BA A判定判定： 线段的垂直平分线是到线段两端线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的距离相等的点的集合点的集合C CB BA A 三角形三边的垂直平分线交于一点，三角形三边的垂直平分线交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等。且这一点到三个顶点的距离相等。0 0OA=OB=OC 角的平分线上的点到角的两边角的平分线上的点到角的两边的距离相等的距离相等. .ODCBAP符号语言：符号语言： 点点P P在在AOB AOB 的平分线上，且的平分线上，且 PCOAPCOA于点于点C C， PDOBPDOB于点于点D D， PDPDPCPC角平分线性质：角平分线
8、性质： 角的内部到角的两边的距离角的内部到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上相等的点，在这个角的平分线上. .符号语言：符号语言：点点P P在在AOBAOB的内部，的内部，PCOAPCOA于于C C，PDOBPDOB于于D D，且且PCPCPDPD点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上DCOPBA角平分线角平分线判定判定：C CB BA A 三角形三个角的平分线交于一点，三角形三个角的平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等。且这一点到三边的距离相等。0 0F FE ED DOD=OE=OF等腰三角形的性质：等腰三角形的性质： 1 1 等腰三角形是轴对称图形，顶等腰三角形是轴对
9、称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴角平分线所在直线是它的对称轴。3 3 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线、底边上的高重合重合，简称，简称三线合一三线合一。 2 2 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等D DCBA（）=在在ABCABC中，中，AB =AC BAD=CAD ， ADBC ， BD=CDBD=CD以上三个条件中的以上三个条件中的一个成立，则可推一个成立，则可推出其它两个结论。出其它两个结论。 如果一个三角形有两个角相等，那么这如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）两个角所对的边也相等（
10、等角对等边）符号语言：符号语言：如图，在如图，在ABCABC中，中，若若 B BC C，则则 ABABACAC等腰等腰三角形的判定方法三角形的判定方法C CB BA A等边等边三角形的性质与判定三角形的性质与判定性性 质质判判 定定1.1.具有等腰三角具有等腰三角形的一切性质形的一切性质2.三边都相等三边都相等3.三角均相等三角均相等 (为为60 )1.三边相等的三角形三边相等的三角形2.三角均相等的三角形三角均相等的三角形4.有一个角为有一个角为60 的的等腰三角形。等腰三角形。等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形。等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形。3.有两个角为有两个角为60 的的三角
11、形。三角形。 直角三角形斜边上的中线直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等于斜边的一半 符号语言：符号语言： 如果如果 RtABCRtABC中，中，ACB=90ACB=90 D D是斜边是斜边ABAB边上的中点，边上的中点， 那么那么 CDCD ABABDCBA 梯形的有梯形的有关概念：关概念： 一组对边平行一组对边平行, ,另一组对边不平另一组对边不平行的四边形叫行的四边形叫梯形梯形. . 两腰相等的梯形叫做两腰相等的梯形叫做等腰梯形等腰梯形。ABCD等腰梯形的等腰梯形的对角线对角线相等相等DABC等腰梯形的性质：等腰梯形的性质： 等腰梯形是轴对称图形，过等腰梯形是轴对称图形，过两底中点两底
12、中点的直线是它的对称轴。的直线是它的对称轴。等腰梯形在等腰梯形在同一底上同一底上的两个角相等的两个角相等等腰梯形的判别：等腰梯形的判别：ABCD注意：注意：在进行等腰梯形的判别时，如果没有说在进行等腰梯形的判别时，如果没有说明四边形是梯形，要明四边形是梯形，要先证明先证明这个这个四边形是梯形四边形是梯形，然后再说明同一底上两角相等的梯形是等腰梯然后再说明同一底上两角相等的梯形是等腰梯形。形。2 在在同一个底上同一个底上的两个角相等的的两个角相等的梯梯形形是等腰梯形。是等腰梯形。1.1.等腰梯形的定义等腰梯形的定义 梯形的中位线平行于两底，并且梯形的中位线平行于两底，并且等于等于两两底和的一半底
13、和的一半. .A AE ED DC CB BF F梯形的中位线梯形的中位线性质性质：已知已知:如图如图, 在梯形在梯形ABCD中中, ADBC,E、F分别是的分别是的AB、DC的中点的中点 .求证求证: EF/BCAD, G GB BD DA AE EC C 三角形的中位线三角形的中位线平行平行于第三边于第三边，并且，并且等于第三等于第三边的一半边的一半. .三角形的三角形的中位线中位线性质性质: :已知已知:如图如图, 在在ABC中中,点点 D、E分别是的分别是的AB、AC的中点的中点 求证求证: DE/BC, DE= C CB BA AF FE ED D 三角形的三角形的三条中位线三条中位
14、线组成的组成的四个四个三角形三角形全等，且与原三角形相似，相全等，且与原三角形相似，相似比是似比是1 1：2 2，面积比是，面积比是1 1：4 4 。C ABOFED 三角形的三角形的中位线中位线与第三边上的与第三边上的中线中线互相平分互相平分 。原原原原四边形两条对角线四边形两条对角线连接四边中点连接四边中点所得所得所得所得四边形四边形互相垂直互相垂直矩形矩形相等相等菱形菱形互相互相垂直垂直且且相等相等正方形正方形既既不不互相垂直互相垂直也不也不相等相等平行四边形平行四边形正方形正方形正方形正方形菱形菱形矩形矩形平行四平行四边形形边形形中点四边形：中点四边形：中点四边形：中点四边形：平行四边
15、形平行四边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形菱形菱形平行四边形平行四边形四边形与特殊四边形四边形与特殊四边形四边形四边形平行四边形平行四边形两组对边两组对边分别平行分别平行矩形矩形有一个角有一个角 是直角是直角菱形菱形邻边相等邻边相等正方形正方形邻边相等邻边相等有一个角有一个角 是直角是直角梯形梯形 一组对边平行一组对边平行另一组对边不平行另一组对边不平行等腰梯形等腰梯形两腰相等两腰相等 直角梯形直角梯形有一个角有一个角 是直角是直角有一个角是直角且邻边相等有一个角是直角且邻边相等1 关系图关系图（定义）：（定义）：特殊四边形的特殊四边形的性质性质平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形 矩形矩形
16、矩形矩形菱形菱形菱形菱形 正方形正方形正方形正方形对边对边平行平行对边对边相等相等四条四条相等相等对角对角相等相等4 4个角是个角是直角直角对角线互相对角线互相对角线互相对角线互相垂直垂直垂直垂直对角线互相对角线互相对角线互相对角线互相平分平分平分平分对角线对角线相等相等两条对角线分别两条对角线分别两条对角线分别两条对角线分别 平分平分平分平分两组两组两组两组对角对角对角对角 特殊四边形特殊四边形的判定方法：的判定方法： 平行平行 四边形四边形（1 1）两组）两组对边对边分别平行分别平行；（2 2）两组）两组对边对边分别相等；分别相等；（4 4）一组）一组对边对边（3 3）两条两条对角线对角线
17、互相平分互相平分；矩矩 形形（1 1）是平行四边形是平行四边形，并且有一个角是直角并且有一个角是直角；（2 2）是平行四边形，并且两条对角线相等）是平行四边形，并且两条对角线相等菱菱 形形（1 1）四条边都相等；）四条边都相等；（2 2）是）是平行四边形平行四边形，并且有一组邻边相等并且有一组邻边相等；（3 3）是）是平行四边形平行四边形，并且两条对角线互相垂直。并且两条对角线互相垂直。正方形正方形（1 1）是）是矩形矩形，并且有一组邻边相等；，并且有一组邻边相等；（2 2）是）是菱形菱形，并且有一个角是直角。并且有一个角是直角。等腰梯等腰梯形形（1 1）两条两条腰相等腰相等的梯形的梯形. .
18、（2 2）同一底上的两个内角同一底上的两个内角相等的梯形相等的梯形平行且相等。平行且相等。 三个角三个角是直角是直角（3）正）正方形方形定义定义定义定义1 如图如图,在四边形在四边形ABCD中，中，ABC=ADC90, M、N分别是分别是AC、BD的中点的中点.猜一猜，猜一猜，MN与与BD的位置关系，再证明的位置关系，再证明.M MD DC CB BA AN NC CB BA AD DE EF FB BA AC CD DE EF FB BA AC CD DE EF FB BA AC CD DE EF F2 2 如图如图-，ABCABC依次为任意三角形、直角三依次为任意三角形、直角三角形角形（A
19、 A9090）、）、等腰三角形（等腰三角形（ABABACAC）、等等腰直角三角形腰直角三角形（ ABABAC AC ， A A9090 ） ，D D、E E、F F 均分别均分别ABCABC各边的中点，图各边的中点，图-中的中的4 4个四个四边形边形 ADEFADEF分别是怎样的四边形请证明。分别是怎样的四边形请证明。（1）（4）（3）（2）3 3 如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，且，且ACACBDBD， ，E E、F F 分别是分别是ABAB、CDCD的中点，的中点， EFEF分别交分别交BDBD、ACAC于点于点G
20、G、H H求证：求证：OGOGOHOHC CB BA AE EF FH HG GO OD DM M（）A AC CB B4 4 三个城市分别位于一个等边三个城市分别位于一个等边三角形的三个顶点处，要在这三角形的三个顶点处，要在这三个城市之间铺设通讯电缆，三个城市之间铺设通讯电缆，现设计了三种连接方案现设计了三种连接方案（看课（看课本本3939页的方案）页的方案）（1 1）请你用皮尺和圆规画）请你用皮尺和圆规画出三种方案的示意图；出三种方案的示意图；（2 2）请你在这三种方案）请你在这三种方案中选择连线最短的方案，并加意证明。中选择连线最短的方案，并加意证明。ABCABCD DABCO5 如图如
21、图,在在ABC中，中， ABABACAC，ADBC, 垂足为垂足为D, 点点E在在AD的延的延长线上，连接长线上，连接BE、CE.求证求证:BE=CE.D DE EC CB BA AE ED DC CB BA A45456 如图如图,在在ABC中，中， A A9090，点点D在在BC上，上，ABABACACBDBD，EDBC, 垂足为垂足为D.求证求证: AE=DE=DC .7 7 在在 RtABCRtABC中，中，ABABACAC，BACBAC9090，O O是是BCBC的中点，（的中点，（1 1）写出点）写出点O O到到ABCABC的三个顶点的三个顶点A A、B B、的距离关系（不要求证明
22、）；、的距离关系（不要求证明）；（2 2）如果点）如果点个个M M、N N分别在分别在ABAB、ACAC上移动，在移动中保持上移动，在移动中保持ANANBMBM，请判断，请判断OMNOMN的形状，并证明你的结论。的形状，并证明你的结论。M MO OC CB BA AN N8 8 在在ABCABC中中，ABABACAC，BACBAC9090，点点D D在边在边BCBC上，上，（1 1）读句画图：）读句画图： 沿直线沿直线ADAD把把ABDABD对折，得到对折，得到ADFADF，在，在 原图中画出对折后的原图中画出对折后的ADFADF； 翻折翻折ACAC，使，使ACAC落在落在AFAF上，其折痕与
23、上，其折痕与BCBC交交 于点于点E E，画出折痕，画出折痕AEAE，并连接，并连接EFEF， （2 2）翻折）翻折ACAC后，点后，点C C与点与点F F是否重合？是否重合？ DEFDEF是什么样的三角形？你能证明吗？是什么样的三角形？你能证明吗？A AD DC CB BF FE EDEFDEF是直角三角形是直角三角形9 如图如图,在梯形在梯形ABCD中，中，ADBC，E是是CD的中点，且的中点，且BE平分平分ABC， 求证：求证：ABAD+BC 。E ED DC CB BA AF F21（）3（ D DC CB BA AF FE E10 如图如图,在正方形在正方形ABCD中，中， 点点E在
24、对角线在对角线AC上，上，EFAC, 交交AB于于点点F，ECBC 求证：求证：AEBF。21（） 11 11 如图，点如图，点O O是是ABCABC所在平面内一动点，连接所在平面内一动点，连接OBOB、OCOC，并将，并将ABAB、OBOB、OCOC、ACAC的中点的中点D D、E E、F F、G G依次连接，如依次连接，如果果FGDEFGDE能构成四边形，能构成四边形，（1 1）当点）当点O O在在ABCABC内时，求证：四边形内时，求证：四边形DEFGDEFG是是平行四边形；平行四边形；（2 2）当点）当点O O移动到移动到ABCABC外时，第（外时，第（1 1）小题中的）小题中的结论是
25、否成立？画出图形，并说明理由；结论是否成立？画出图形，并说明理由；（3 3）若四边形）若四边形DEFGDEFG是矩形，点是矩形，点O O所在位置应满足所在位置应满足什么条件？试说明理由。什么条件？试说明理由。ACGEBDFOABCDEFGOBFDACEGO（1）（2）（3）点点O O在在ABCABC的的边边BCBC高线上高线上【例例】: 如图如图, ABC中中B=2C,ADBC,垂足为垂足为D,M是是BC的中点的中点.求证求证:DM= AB.AB.MCD.E证明证明:作作AC的中点的中点E,连接连接ME,DE,则则ME/AB,且且ME= AB(三角形的中位线定理三角形的中位线定理)【例例】:
26、:如图如图,在在ABC中中,D是是BC的中的中点点,E是是AD的中点的中点,F是是BE延长线与延长线与AC的交点的交点,DG是是BCF的中位线的中位线.v求证求证:AF= FC,EF= BE.ABCGFED证明证明: :DG是是BCF的中位线的中位线DG= FC且且DG/FC (三角形中位线定理三角形中位线定理)AE=DE,EDG=EAF,DEG=AEFDEGAFEDG=AF,GE=EFAF= FCBG=GF,GE=EFEF= BE小结小结 本节课重点研究了三角形的中本节课重点研究了三角形的中位线定理及其应用位线定理及其应用,进一步体会进一步体会在中位线定理的应用过程中在中位线定理的应用过程中,如如何添加辅助线的问题何添加辅助线的问题.
