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1、一、微分一、微分(wifn)的概念的概念引例: 一块正方形金属薄片受温度(wnd)变化的影响,问此薄片面积改变(gibin)了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则面积的增量为关于x 的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在 的微分当 x 在取得增量时,变到边长由其第1页/共18页第一页，共19页。的微分(wi fn),定义定义(dngy):若若函数函数在点 的增量可表示为( A 为不依赖于x 的常数(chngsh)则称函数而 称为记作即定理: 函数在点 可微的充要条件是即在点可微,第2页/共18页第二页，共19页。定理定理(dngl):函数函数证: “必要性” 已知在点 可微 ,则故在
2、点 可导,且在点 可微的充要条件是在点 处可导,且即第3页/共18页第三页，共19页。定理定理(dngl):函数函数在点 可微的充要条件是在点 处可导,且即“充分性”已知即在点 的可导,则第4页/共18页第四页，共19页。说明说明(shumng):时 ,所以(suy)时很小时(xiosh), 有近似公式与是等价无穷小,当故当第5页/共18页第五页，共19页。微分的几何微分的几何(jh)意义意义当 很小时,则有从而(cng r)导数(do sh)也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记第6页/共18页第六页，共19页。例如例如(lr),又如,第7页/共18页第七页，共19页。二、二、微分微
3、分(wifn)运算法则运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数(chngsh)分别(fnbi)可微 ,的微分为微分形式不变5. 复合函数的微分则复合函数第8页/共18页第八页，共19页。例例1.求 解:第9页/共18页第九页，共19页。例例2.设设求 解: 利用(lyng)一阶微分形式不变性 , 有例3. 在下列括号中填入适当(shdng)的函数使等式成立:说明: 上述(shngsh)微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意 第10页/共18页第十页，共19页。设函数(hnsh) 三、三、 高阶微分高阶微分可导， 则它的微分(wi fn) 仍是 的函数(hnsh) . 因
4、此，若该函数二阶可导，则可再求 微分 ，得此式称为函数 的二阶微分，记作： 同理可得 阶微分的定义. 第11页/共18页第十一页，共19页。四、四、微分微分(wifn)在近似在近似计算中的应用计算中的应用当很小时(xiosh),使用(shyng)原则:得近似等式:第12页/共18页第十二页，共19页。特别特别(tbi)当当很小时(xiosh),常用近似(jn s)公式:很小)证明:令得第13页/共18页第十三页，共19页。的近似值 .解: 设取则例例4.求求第14页/共18页第十四页，共19页。的近似值 .解:例例5.计算计算(jsun)第15页/共18页第十五页，共19页。例例6.有一批半径
5、有一批半径(bnjng)为为1cm的球的球,为了提高(t go)球面的光洁度,解: 已知球体(qit)体积为镀铜体积为 V 在时体积的增量因此每只球需用铜约为( g )用铜多少克 . 估计一下, 每只球需要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm , 第16页/共18页第十六页，共19页。作业作业(zuy)(zuy)P123 思考(sko)1 ; 3 (1) , (3) , (5) , (7) ; 4 (1), (3), (5), (7) ; 5 (1), (3); 习题课 第17页/共18页第十七页，共19页。感谢您的观看(gunkn)！第18页/共18页第十八页，共19页。内容(nirng)总结一、微分的概念。引例: 一块正方形金属薄片(bo pin)受温度变化的影响,。当 x 在。在点 的增量可表示为。( A 为不依赖于x 的常数)。在点 可微的充要条件是。在点 可微的充要条件是。第3页/共18页。很小时, 有近似公式。解: 利用一阶微分形式不变性 , 有。说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.。因此，若该函数二阶可导，则可再求。解: 设。例5. 计算。解: 已知球体体积为第十九页，共19页。
