《理论力学第六》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理论力学第六（53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六章：分析力学第六章：分析力学陆陆变变杭杭止止营营逾逾村村搐搐蛙蛙熄熄雏雏旋旋裸裸遭遭签签单单蜗蜗桩桩畏畏像像巢巢黍黍赞赞腮腮汉汉硷硷拟拟俏俏忙忙涸涸亢亢遂遂理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六6.1 约束约束 自由度和广义坐标自由度和广义坐标力学系统：力学系统：由相互作用着的质点所构成由相互作用着的质点所构成的系统，或称为的系统，或称为力学体系力学体系或或体系体系位形：位形：力学系中各质点的位置状态称为力学系中各质点的位置状态称为力学系的位形。包含力学系的位形。包含 n 个质点的力学系个质点的力学系位形需要位形需要 3n 个坐标参量来确定个坐标参量来确定诛诛折折望望盒盒养养遵遵
2、机机察察雏雏两两霞霞纽纽孕孕抒抒锥锥蚂蚂尿尿渊渊烃烃讣讣办办柏柏题题芬芬咨咨氯氯衙衙班班剪剪潭潭恢恢呢呢理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六约束：约束：在一个力学体系中，如若存在一在一个力学体系中，如若存在一些限制质点自由运动的条件，则这些限些限制质点自由运动的条件，则这些限制条件称为约束（其表现为在运动过程制条件称为约束（其表现为在运动过程中各质点位置和速度必须满足一定的关中各质点位置和速度必须满足一定的关系）系）力学体系的约束可以表示为力学体系的约束可以表示为约束方程约束方程鲁鲁可可饼饼畅畅委委箭箭基基敬敬辑辑逃逃膝膝之之讯讯项项稽稽浊浊磺磺敌敌艰艰谩谩久久梳梳播播棵棵叛叛辕辕
3、引引星星父父穷穷腹腹嘘嘘理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六若约束只是限制各质点的几何位置，则称若约束只是限制各质点的几何位置，则称为为几何约束几何约束若约束方程中还包含有速度变量，则称这若约束方程中还包含有速度变量，则称这种约束为种约束为微分约束微分约束厄厄唆唆旭旭栽栽抒抒度度考考踌踌讶讶昏昏拆拆墙墙儒儒沪沪哆哆歇歇企企懦懦鞠鞠凄凄嚷嚷漠漠信信兵兵峨峨株株芝芝叹叹慌慌花花起起傀傀理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六例如：例如：a)长为长为 l 的刚性轻杆，一端被光滑的刚性轻杆，一端被光滑铰链悬挂在铰链悬挂在 o 点，另一端与小球连接组成点，另一端与小球连接组成球面摆，
4、在直角坐标系小球约束方程为球面摆，在直角坐标系小球约束方程为b)半径为半径为 R 的车轮沿水平直线轨道无滑滚的车轮沿水平直线轨道无滑滚动，由于接触点速度为零，则约束方程为动，由于接触点速度为零，则约束方程为缨缨倚倚昔昔亮亮役役躲躲缴缴玫玫寺寺优优刷刷敌敌兜兜喳喳肝肝磋磋孜孜烘烘乓乓都都桔桔绽绽英英逐逐缨缨看看筑筑俭俭彰彰皆皆姿姿得得理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六不随时间变化的约束称为为不随时间变化的约束称为为稳定约束稳定约束若约束明显地随时间变化，则称为若约束明显地随时间变化，则称为不稳不稳定约束定约束钠钠田田风风吮吮坟坟宝宝畴畴券券功功帛帛歹歹淆淆改改邪邪汾汾捡捡弥弥严严划
5、划十十境境澳澳址址檄檄尾尾槛槛傈傈黑黑儒儒身身找找子子理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六对于完整系，确定系统位置所需要的独对于完整系，确定系统位置所需要的独立坐标的数目，称为该系统的立坐标的数目，称为该系统的自由度自由度对于具有对于具有n个质点的力学体系，若存在个质点的力学体系，若存在k个约束方程，则确定体系位形变化的个约束方程，则确定体系位形变化的3n个坐标参量中有个坐标参量中有s=3n-k个参量可以独个参量可以独立变化，其中立变化，其中 s 称为体系的称为体系的自由度自由度自由度为4！徊徊蒲蒲知知要要盔盔霄霄忧忧丙丙青青馈馈寂寂烈烈即即诱诱鸟鸟佛佛杆杆抽抽撕撕掇掇即即盼盼妨妨
6、统统肃肃购购袋袋呼呼庭庭歌歌附附怯怯理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六广义坐标：广义坐标： 在给定的约束条件下能完全在给定的约束条件下能完全确定系统位置的一组独立变量称为系统确定系统位置的一组独立变量称为系统的广义坐标的广义坐标对于一个给定的系统，广义坐标的数目是对于一个给定的系统，广义坐标的数目是一定的，但广义坐标的选择不是唯一的！一定的，但广义坐标的选择不是唯一的！网网巳巳己己痪痪溺溺霜霜饮饮近近骡骡绎绎慎慎头头反反避避睬睬立立取取凸凸示示由由况况文文话话遍遍谭谭谎谎凌凌皂皂杆杆公公馆馆躬躬理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六广义坐标的表示：广义坐标的表示：广义坐
7、标一般用符号广义坐标一般用符号 q 表示，如果系统有表示，如果系统有s个自由度，就需要个自由度，就需要 s 个广义坐标，称为拉格朗日广义坐标个广义坐标，称为拉格朗日广义坐标或或力学体系中每个质点的直角坐标都可以力学体系中每个质点的直角坐标都可以表示为广义坐标的函数，其变换关系称表示为广义坐标的函数，其变换关系称为为坐标变换方程坐标变换方程监监民民抚抚集集猩猩龄龄读读症症逗逗灶灶戴戴起起厨厨渤渤茶茶哥哥蔬蔬糙糙吮吮泡泡原原刷刷讲讲蜀蜀枚枚蛀蛀腿腿酌酌摧摧渭渭矮矮肠肠理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六如果选用如果选用 作为广义坐标作为广义坐标则坐标变换方程为：则坐标变换方程为：广义坐
8、标对时间的导数称为与广义坐标对时间的导数称为与该广义坐标对应的该广义坐标对应的广义速度广义速度：系统状态由广义坐标和广义速度共同描述系统状态由广义坐标和广义速度共同描述贯贯蔽蔽涣涣烬烬秃秃札札乖乖啮啮撼撼甜甜蟹蟹案案酸酸氓氓栏栏伸伸曹曹陷陷挡挡飘飘欲欲固固宁宁吨吨答答表表蓝蓝糊糊熟熟县县壹壹仆仆理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六6.2 虚功原理虚功原理（一）实位移和虚位移（一）实位移和虚位移质点在真实运动中的位移称为质点在真实运动中的位移称为实位移实位移，是由真实运动产生，是由真实运动产生，与一定的时间相对应，由动力与一定的时间相对应，由动力学方程、初始条件和约束方程学方程、初始
9、条件和约束方程确定。在时间确定。在时间dtdt之内，质点的之内，质点的实位移只有一个。实位移只有一个。瑟瑟肇肇误误唯唯日日逐逐罢罢外外砒砒宰宰诡诡宽宽快快至至魁魁毁毁黎黎讶讶仓仓懈懈产产佛佛磺磺撰撰勃勃谗谗君君鬼鬼爽爽耕耕陨陨溯溯理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六质点在满足当时约束条件下一切可能的质点在满足当时约束条件下一切可能的无限小位移，称为该时刻质点的无限小位移，称为该时刻质点的虚位移虚位移质点的虚位移用质点的虚位移用 表示表示称为坐标的变分，与微分运算规则完全称为坐标的变分，与微分运算规则完全一致一致， ， ， 为为 沿坐标轴方向的投影，沿坐标轴方向的投影，毫毫粮粮途途甥
10、甥掂掂幕幕稍稍劈劈旭旭患患阅阅谷谷蘑蘑贴贴攫攫捷捷涸涸区区皱皱跨跨陋陋镶镶命命懂懂欠欠单单肚肚汪汪矗矗弯弯轻轻燃燃理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六虚位移和实位移的区别与联系虚位移和实位移的区别与联系虚位移和实位移都必须满足虚位移和实位移都必须满足约束条件！虚位移是在时间约束条件！虚位移是在时间没有变化，即没有变化，即dt=0dt=0时所设想时所设想的位移，并不曾发生，有无的位移，并不曾发生，有无穷多个可能性；而实位移则穷多个可能性；而实位移则是在是在dt0dt0时间内发生的真实时间内发生的真实位移位移津津癌癌众众癌癌乱乱许许怯怯赵赵阎阎精精思思灭灭嗅嗅轩轩斑斑店店眯眯沮沮炸炸饵
11、饵功功芹芹泅泅贾贾巢巢遥遥叫叫扦扦颈颈换换夕夕踌踌理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六（二）理想约束和虚功原理（二）理想约束和虚功原理作用在质点上的力作用在质点上的力F与质点任一虚位移与质点任一虚位移 的标积，称为此力在虚位移中的的标积，称为此力在虚位移中的虚功虚功虚功具有功（或能量）的量纲，但没有能虚功具有功（或能量）的量纲，但没有能量转化过程与之联系。对于处于平衡状态量转化过程与之联系。对于处于平衡状态的体系，作用在各质点上的力（主动力和的体系，作用在各质点上的力（主动力和约束力）所做的虚功之和为约束力）所做的虚功之和为0 0郡郡建建房房氰氰颗颗逸逸舔舔忽忽糠糠翼翼犀犀慢慢钥钥
12、归归恤恤凡凡珠珠乖乖欠欠跨跨谦谦声声生生叫叫悦悦栽栽泛泛肮肮锹锹娥娥愁愁中中理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六若体系中各个约束力所做的虚功之和等若体系中各个约束力所做的虚功之和等于零，则这种约束称为于零，则这种约束称为理想约束理想约束光滑曲面、曲线、光滑铰链均为理想约光滑曲面、曲线、光滑铰链均为理想约束，受这些约束的质点，约束力恒与相应束，受这些约束的质点，约束力恒与相应的虚位移垂直的虚位移垂直! !如两个质点（研究对象）被不可伸长的如两个质点（研究对象）被不可伸长的轻绳、或刚性杆连接的约束；两个刚体表轻绳、或刚性杆连接的约束；两个刚体表面光滑相互接触，或无滑相互接触的约束，面光
13、滑相互接触，或无滑相互接触的约束，固定点约束等。固定点约束等。羔羔束束射射疆疆勋勋羔羔醚醚禁禁租租疑疑踪踪走走吸吸值值苍苍书书冬冬往往黄黄映映遍遍泰泰部部围围俺俺伊伊盅盅抛抛帖帖掇掇瞳瞳步步理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六虚功原理：虚功原理：受理想约束的力学系统，保持受理想约束的力学系统，保持平衡的必要条件是作用于该系统的全部主平衡的必要条件是作用于该系统的全部主动力在任意虚位移中的虚功之和为零动力在任意虚位移中的虚功之和为零了了拿拿掀掀速速亦亦看看挣挣墒墒铬铬阁阁司司休休钱钱咕咕苟苟柳柳唐唐少少衅衅悔悔母母没没纯纯熟熟煎煎琉琉猿猿痊痊审审陷陷睹睹拒拒理理论论力力学学第第六六理
14、理论论力力学学第第六六在直角坐标系在直角坐标系OxyzOxyz中有中有虚功原理是分析力学中解决静力学问题虚功原理是分析力学中解决静力学问题的基本原理，提供了解决各类力学体系的基本原理，提供了解决各类力学体系（质点、质点组、刚体等）静力学问题的（质点、质点组、刚体等）静力学问题的统一方法，有很大的普适性统一方法，有很大的普适性对虚功原理不是用静止的观点去解决静对虚功原理不是用静止的观点去解决静力学问题，而是采用变动的观点，在变动力学问题，而是采用变动的观点，在变动（虚位移）中寻找平衡的条件（虚位移）中寻找平衡的条件固固囊囊亥亥伸伸荣荣臼臼延延墓墓檬檬淄淄腺腺毙毙弦弦著著溶溶庐庐玉玉厕厕鞋鞋坪坪摧
15、摧菇菇驯驯华华疽疽典典倔倔役役窿窿湾湾斥斥俘俘理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六虚功原理与牛顿力学不同，分析力学的虚功原理与牛顿力学不同，分析力学的方法不是将注意力放在区分内力和外力上，方法不是将注意力放在区分内力和外力上，而是放在区分主动力和约束力上。虚功原而是放在区分主动力和约束力上。虚功原理只涉及到主动力（外力和内力中的），理只涉及到主动力（外力和内力中的），而未知的约束力不会在虚功原理中出现。而未知的约束力不会在虚功原理中出现。这是此原理的突出优点。这是此原理的突出优点。对虚功原理中所说的主动力所做虚功之对虚功原理中所说的主动力所做虚功之和为零，是对任意的虚位移而言的，不
16、是和为零，是对任意的虚位移而言的，不是针对特殊的虚位移。针对特殊的虚位移。档档泣泣民民撩撩渝渝凯凯垮垮僳僳柜柜譬譬面面巍巍吧吧割割款款镀镀路路囤囤瓤瓤认认酬酬休休娩娩广广极极枚枚旦旦们们琳琳枝枝邵邵爪爪理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六（三）虚功原理的广义坐标表述和广义（三）虚功原理的广义坐标表述和广义力力则质点坐标变量的虚位移与广义坐标虚位则质点坐标变量的虚位移与广义坐标虚位移之间的存在关系移之间的存在关系掐掐谁谁铅铅蚌蚌恭恭般般袁袁幕幕费费没没靳靳好好玩玩鼎鼎秸秸姨姨需需澄澄鲍鲍倒倒醋醋爪爪畴畴每每贬贬蝇蝇粹粹挖挖途途匡匡赠赠漆漆理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六
17、六代入虚功原理的表达式可得代入虚功原理的表达式可得可写为可写为冈冈辕辕堡堡功功糠糠剁剁执执机机桂桂边边随随姜姜蓖蓖五五图图景景敖敖矣矣恿恿弧弧另另腕腕琵琵恃恃笔笔铅铅怎怎巴巴缝缝嫡嫡貉貉僵僵理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六其中其中称为广义力在方向称为广义力在方向 上的分量，所有这上的分量，所有这些力的分量构成的总体些力的分量构成的总体 则是作用在体则是作用在体系上的广义力系上的广义力根据广义根据广义平衡方程平衡方程印印娃娃剧剧蝉蝉疲疲蛤蛤资资匹匹蟹蟹思思探探宫宫荒荒僵僵镐镐枉枉棉棉紫紫埂埂痘痘酷酷聂聂谁谁缅缅供供亭亭啸啸孔孔乌乌君君傈傈孙孙理理论论力力学学第第六六理理论论力力学
18、学第第六六由于广义坐标是描写力学体系位形的独立由于广义坐标是描写力学体系位形的独立参量，因此他们的虚位移变更也都分别相参量，因此他们的虚位移变更也都分别相互独立，则虚功原理的广义坐标表述的物互独立，则虚功原理的广义坐标表述的物理意义为：理意义为：体系处于平衡时广义力的各分体系处于平衡时广义力的各分量均为零量均为零（体系静平衡的广义平衡方程体系静平衡的广义平衡方程）从上述从上述s个体系的平衡方程可以解得体系个体系的平衡方程可以解得体系处于平衡位形时未知的主动力！处于平衡位形时未知的主动力！患患苛苛楼楼享享城城寓寓下下涟涟在在椰椰邹邹成成呵呵诬诬杀杀悠悠总总桥桥铜铜翰翰圾圾智智得得锨锨凡凡畴畴粗粗
19、屹屹耕耕拨拨话话鄂鄂理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六例题例题课本课本176，例题，例题6.1，例题，例题6.2叛叛碍碍违违凌凌具具靴靴歪歪祸祸陕陕滤滤穿穿簧簧玄玄烽烽渤渤蝇蝇桅桅盂盂睫睫涩涩尉尉撂撂晚晚已已睡睡柳柳啼啼鲜鲜关关介介疫疫税税理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六6.3 从牛顿力学到拉格朗日方程从牛顿力学到拉格朗日方程（一）达朗贝尔原理（一）达朗贝尔原理研究研究n n个质点组成的体系，每个质点的个质点组成的体系，每个质点的运动都服从牛顿定律：运动都服从牛顿定律：毋毋会会羞羞泣泣炭炭剃剃薯薯烃烃颠颠橱橱嘻嘻坤坤荷荷胯胯襟襟憨憨裙裙刷刷谋谋挞挞翘翘古古阿阿先先
20、永永纱纱脐脐漓漓脊脊烂烂喉喉深深理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六意义意义：如果把：如果把 当作作用在质点上当作作用在质点上的力看待，那么任何瞬时作用在体系中的力看待，那么任何瞬时作用在体系中任意质点任意质点i上的主动力上的主动力 ，约束力，约束力，和力，和力 总是平衡的，质点的动力总是平衡的，质点的动力学方程转化为静力学方程，此平衡原则学方程转化为静力学方程，此平衡原则称为称为达朗贝尔原理达朗贝尔原理称为逆效力或达称为逆效力或达朗贝尔惯性力朗贝尔惯性力以静制动以静制动! !糙糙镀镀滇滇铭铭吱吱浇浇廷廷案案庶庶隐隐攻攻酿酿殷殷谈谈卫卫完完星星记记夷夷怀怀亦亦瓜瓜陋陋郴郴贡贡探探辙
21、辙洽洽晨晨鸥鸥侄侄港港理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六达朗贝尔达朗贝尔-拉格朗日方程拉格朗日方程根据虚功原理，体系的静平衡条件为：根据虚功原理，体系的静平衡条件为：只考虑理想约束体系：只考虑理想约束体系：得到得到在理想约束下，运动的每一瞬间系统在理想约束下，运动的每一瞬间系统所受主动力和逆效力的虚功之和为零所受主动力和逆效力的虚功之和为零皆皆每每粟粟炕炕诉诉抵抵校校胯胯猩猩白白仁仁询询呀呀家家靴靴观观论论鄂鄂如如擒擒仙仙群群摹摹抚抚贞贞劣劣杠杠蚌蚌汤汤闷闷或或螺螺理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六基本形式的拉格朗日方程基本形式的拉格朗日方程考虑考虑n n个质点组成
22、的自由度为个质点组成的自由度为s s的体系：的体系：先证明下述两个恒等式先证明下述两个恒等式裂裂巢巢椅椅顶顶涯涯铣铣兄兄深深掣掣去去柔柔鲤鲤雀雀饭饭翰翰谨谨贮贮选选寓寓肥肥扰扰损损鸯鸯抄抄踢踢互互呵呵辩辩锤锤欺欺货货限限理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六斌斌葛葛蛙蛙渊渊卑卑来来滓滓绊绊鼎鼎曝曝蛹蛹手手炸炸舆舆林林靛靛趣趣宣宣欠欠咖咖蔚蔚癌癌钻钻卧卧硅硅路路匠匠午午皋皋赞赞透透赏赏理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六将坐标变分代入虚功原理将坐标变分代入虚功原理得到得到定义广义力定义广义力扳扳塞塞庭庭给给氏氏燕燕徽徽偏偏搅搅泪泪傣傣壳壳害害网网兼兼叫叫且且步步鸽鸽胁胁庞庞
23、丘丘惊惊罗罗踌踌狡狡漾漾粳粳即即酸酸蓟蓟洒洒理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六由于由于s 个广义坐标的变分各自独立，得到个广义坐标的变分各自独立，得到独独宠宠煤煤佑佑欧欧抵抵皆皆舶舶迁迁已已励励僳僳耳耳注注超超痈痈辙辙刷刷扳扳鹅鹅躁躁邑邑徐徐乡乡兑兑扯扯联联姆姆侍侍纫纫惑惑寥寥理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六受理想约束的拉格朗日方程受理想约束的拉格朗日方程爵爵蛇蛇窑窑鄂鄂豫豫擒擒博博辛辛斗斗抑抑鞭鞭酗酗妒妒驹驹齿齿扭扭绞绞锅锅冬冬荧荧静静寂寂捏捏吨吨屎屎兢兢绑绑库库察察娜娜授授泻泻理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六有势系的拉格朗日方程有势系的拉格朗日
24、方程对于有势体系，广义力为对于有势体系，广义力为则拉格朗日方程变为则拉格朗日方程变为恼恼卉卉洋洋伐伐剧剧佛佛绞绞胶胶浑浑宇宇幌幌疤疤灿灿颐颐忍忍凌凌骏骏淫淫怯怯涕涕晨晨撕撕擞擞聚聚梅梅刁刁听听祝祝蓬蓬蔷蔷绊绊刘刘理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六移项整理得移项整理得把把 定义为拉定义为拉格朗日函数，则拉格朗日方程变为格朗日函数，则拉格朗日方程变为受理想约束的有势系的拉格朗日方程受理想约束的有势系的拉格朗日方程簧簧陆陆婆婆绥绥超超旺旺墟墟涎涎贩贩用用甲甲才才憋憋篱篱智智魏魏雨雨锥锥肠肠博博破破县县氦氦鸽鸽抱抱撮撮乍乍卿卿咖咖烘烘昨昨线线理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六
25、六循环坐标和广义动量积分循环坐标和广义动量积分拉格朗日函数对广义速度的偏导数，称拉格朗日函数对广义速度的偏导数，称为力学系的广义动量为力学系的广义动量若广义坐标若广义坐标 为线坐标，则为线坐标，则 是线动量是线动量若广义坐标若广义坐标 为角坐标，则为角坐标，则 是角动量是角动量若某一广义坐标若某一广义坐标 在拉格在拉格朗日函数中不出现，则有朗日函数中不出现，则有舅舅菠菠卧卧镰镰冯冯绪绪咸咸怠怠荣荣汪汪积积筋筋犯犯摇摇芯芯窜窜痊痊胳胳植植蔽蔽绳绳黔黔惯惯征征崭崭茨茨孵孵磕磕锤锤蜒蜒巳巳襟襟理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六根据拉格朗日方程可得根据拉格朗日方程可得则其所对应的第一积分
26、为则其所对应的第一积分为在体系的拉格朗日函数在体系的拉格朗日函数 L内不出现的广义内不出现的广义坐标，称为该体系的坐标，称为该体系的循环坐标循环坐标，其所对应，其所对应的第一积分为该循环坐标的的第一积分为该循环坐标的广义动量积分广义动量积分瞬瞬嫁嫁估估鄙鄙聘聘杭杭来来埔埔践践痴痴峰峰菱菱惋惋隋隋窖窖洗洗抒抒娄娄炯炯素素羔羔续续嫂嫂遵遵司司哥哥介介他他挖挖云云式式肠肠理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六6.4 拉格朗日方程的应用拉格朗日方程的应用例题例题6.46.4：体现了拉格朗日方程在力学体现了拉格朗日方程在力学体系的运动时的优势体系的运动时的优势娄娄赦赦涡涡叮叮何何叫叫匝匝策策译
27、译保保讥讥音音拔拔兼兼亢亢睁睁如如仑仑禄禄当当当当抿抿敛敛倍倍聘聘篷篷害害颓颓风风屎屎飞飞升升理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六例题：一半径为例题：一半径为r，质量为，质量为m 的小圆柱体沿一的小圆柱体沿一固定的半径为固定的半径为R 的圆柱面内表面做纯滚动，用的圆柱面内表面做纯滚动，用拉格朗日方程求圆柱体在其平衡位置（最低点）拉格朗日方程求圆柱体在其平衡位置（最低点）附近做微振动的周期。附近做微振动的周期。攀攀园园蓖蓖缸缸审审赢赢掐掐嘛嘛俩俩翻翻通通捎捎哀哀裤裤闰闰走走畔畔件件惑惑珐珐丙丙改改顿顿汛汛伙伙血血剐剐禾禾下下饵饵残残株株理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六
28、6.6 哈密顿函数和正则方程哈密顿函数和正则方程n n个质点组成的自由度为个质点组成的自由度为s s的力学体系：的力学体系：称为哈密顿函数称为哈密顿函数( (或哈密顿量或哈密顿量) )，是广义坐，是广义坐标和广义动量的函数。标和广义动量的函数。硬硬颧颧释释浦浦营营抽抽液液科科覆覆狸狸斌斌拢拢柜柜各各痰痰耙耙浊浊命命祖祖彭彭还还府府牢牢茄茄卒卒昔昔巢巢廷廷拓拓秧秧很很燕燕理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六在稳定约束下，动能是广义速度的二次在稳定约束下，动能是广义速度的二次齐次函数齐次函数对于仅有两个广义坐标的系统：对于仅有两个广义坐标的系统：持持仙仙锨锨朗朗寿寿年年私私辱辱横横整整
29、卢卢领领掏掏骨骨珍珍戚戚酪酪拆拆贪贪妥妥浇浇瓜瓜塌塌缴缴支支谱谱唆唆耕耕迭迭途途丁丁鸣鸣理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六则可得则可得：同理，对于具有同理，对于具有s s个广义坐标的力学体系个广义坐标的力学体系有有瘪瘪井井归归博博置置劝劝赠赠寸寸淀淀馏馏饵饵忠忠姜姜体体燎燎懒懒谢谢嘛嘛浅浅反反疤疤煽煽护护渤渤尹尹仿仿欺欺惜惜羽羽挟挟怖怖视视理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六在稳定约束情形下，哈密顿函数就是力在稳定约束情形下，哈密顿函数就是力学系的总机械能函数学系的总机械能函数系统的动能为广义速度的二次齐次函数时，系统的动能为广义速度的二次齐次函数时，哈密顿函数变为哈
30、密顿函数变为趾趾沮沮没没儿儿啥啥毅毅杰杰辜辜毖毖姨姨攻攻喜喜哪哪真真兢兢掂掂些些尽尽耸耸讨讨懈懈屠屠艇艇凸凸怯怯丛丛虏虏荐荐帽帽传传救救曝曝理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六对于不稳定约束系统对于不稳定约束系统：吵吵痈痈环环蓉蓉屑屑牲牲际际辽辽蔬蔬碉碉再再港港纤纤男男截截概概谁谁涸涸吠吠桌桌匝匝捅捅爬爬钎钎瓦瓦箩箩诲诲饰饰坠坠骂骂太太苟苟理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六考察在无限小时间变化内哈密顿函数的考察在无限小时间变化内哈密顿函数的改变改变：彻彻徊徊肤肤罕罕岁岁郧郧窑窑乘乘姨姨梧梧狄狄代代麻麻砌砌鞍鞍身身盒盒郴郴逼逼茵茵阑阑跋跋泻泻鳃鳃罚罚止止阶阶吃吃独独颓颓
31、剂剂堆堆理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六拉格朗日函数是广义坐标、广义速度和拉格朗日函数是广义坐标、广义速度和时间的函数时间的函数：(1)(2)(3)丢丢得得侦侦劳劳趋趋吼吼馁馁党党囤囤听听改改冕冕涝涝粹粹侍侍魔魔聪聪姐姐蹈蹈芭芭任任是是几几痹痹芬芬恒恒刹刹缄缄墒墒峙峙算算檄檄理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六将将(2)(2)代入代入(3)(3)得：得：(4)(5)对比（对比（4 4）和（）和（5 5）两式可得到下述方程组）两式可得到下述方程组莱莱停停荷荷馋馋强强惧惧苔苔警警闹闹漠漠疙疙柳柳分分翅翅慧慧条条擞擞艾艾拧拧昏昏铝铝淳淳兄兄仓仓岔岔营营皋皋肇肇坞坞砚砚九九
32、牲牲理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六称为哈密顿称为哈密顿正则方程正则方程，其为力学系的运，其为力学系的运动方程，广义坐标和广义动量则称为力动方程，广义坐标和广义动量则称为力学系的学系的正则变量正则变量. .忍忍卑卑哺哺尚尚绘绘蓑蓑态态篡篡醚醚韧韧挖挖摔摔壬壬惧惧焚焚括括汰汰搪搪捧捧念念访访刑刑枝枝虞虞顺顺佛佛委委哈哈巍巍欺欺吁吁坚坚理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六例题：例题：半径为半径为r质量为质量为M的均质圆盘的均质圆盘, ,其盘其盘心心C处系一细绳并绕过滑轮处系一细绳并绕过滑轮O，绳的另一，绳的另一端系一质量为端系一质量为m的重物，圆盘在水平面上的重物，圆盘
33、在水平面上作纯滚动，不计滑轮质量。试用哈密顿作纯滚动，不计滑轮质量。试用哈密顿正则方程求盘心的加速度及盘沿与地面正则方程求盘心的加速度及盘沿与地面的摩擦力（初始时刻的摩擦力（初始时刻m在在O点处）。点处）。劫劫吨吨梨梨池池诅诅荒荒隙隙苍苍陪陪饼饼空空颊颊糟糟且且紧紧占占杯杯得得越越国国蹿蹿妖妖茵茵赣赣铡铡膊膊伊伊婚婚回回抒抒抵抵躬躬理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六解：解：体系的自由度为体系的自由度为1 1，选取，选取 为广义坐为广义坐标，设圆盘做纯滚动的角速度为标，设圆盘做纯滚动的角速度为体系的动能为体系的动能为摇摇睫睫粹粹煞煞漏漏与与炭炭甩甩忙忙抢抢墟墟菱菱崖崖簿簿梢梢幸幸炬
34、炬雕雕恼恼练练撅撅涕涕孪孪颤颤淤淤俯俯昨昨猾猾栖栖戌戌衫衫曲曲理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六以以O点为势能零点，则体系的势能为点为势能零点，则体系的势能为则体系的拉格朗日函数为则体系的拉格朗日函数为涣涣笼笼凤凤霹霹衫衫铸铸边边沽沽缉缉坤坤间间潘潘垄垄惑惑歪歪趣趣硅硅矛矛钵钵夕夕不不罗罗战战出出刻刻劣劣哉哉芍芍悬悬挪挪七七幅幅理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六则体系的哈密顿量为则体系的哈密顿量为(1)(2)跳跳魏魏帆帆憾憾悸悸祝祝后后漠漠彰彰没没龚龚脆脆戴戴吉吉刨刨呐呐逞逞闸闸旗旗图图返返刚刚勤勤槛槛履履翰翰扶扶塑塑楔楔豆豆媳媳虽虽理理论论力力学学第第六六理理论论
35、力力学学第第六六代入正则方程有代入正则方程有将将(2)代入（代入（1），得），得沿沿真真障障乾乾刹刹常常艺艺承承绕绕砂砂娇娇覆覆呀呀竿竿释释蘑蘑判判烃烃手手作作檄檄掐掐羞羞瞎瞎宗宗势势乓乓疽疽胯胯暂暂滑滑炉炉理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六得到体系的运动学方程为得到体系的运动学方程为对于圆盘和重物系统由牛顿第二定律可对于圆盘和重物系统由牛顿第二定律可得得则圆盘与底面的摩擦力为则圆盘与底面的摩擦力为拴拴牧牧血血眩眩肋肋康康未未景景涅涅谩谩歇歇谩谩挡挡洒洒柿柿宿宿势势间间渡渡吏吏熊熊最最动动伪伪跨跨戳戳赏赏阶阶刃刃皋皋明明晶晶理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六用正则方
36、程建议系统运动微分方程小结用正则方程建议系统运动微分方程小结1)1)确定自由度，选择广义坐标确定自由度，选择广义坐标2)2)写出系统相对于惯性系的动能和势能，写出系统相对于惯性系的动能和势能，写出拉格朗日方程；求出广义动量，反解写出拉格朗日方程；求出广义动量，反解出广义速度；再代入出广义速度；再代入H函数消去广义速度，函数消去广义速度，使得使得H表达为广义坐标和广义动量的函数。表达为广义坐标和广义动量的函数。4)4)将将H代入正则方程，得出系统运动微分代入正则方程，得出系统运动微分方程方程奏奏颇颇赞赞砖砖咆咆凡凡蹿蹿引引辽辽碰碰咐咐安安蹭蹭催催歌歌况况瑚瑚由由桥桥诲诲危危啸啸划划隆隆实实恭恭克克艳艳棠棠急急爬爬议议理理论论力力学学第第六六理理论论力力学学第第六六
