《线性变换的对角矩阵》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性变换的对角矩阵（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5 5 线性变换的线性变换的对角矩阵对角矩阵主要内容主要内容对角化概念对角化概念对角化的条件对角化的条件目录 下页 返回 结束 对角化的计算方法对角化的计算方法1一、对角化概念一、对角化概念 对角矩阵是矩阵中最简单的一种对角矩阵是矩阵中最简单的一种. .于是问题变于是问题变为哪些线性变换在一组适当的基下可以是对角矩阵为哪些线性变换在一组适当的基下可以是对角矩阵. .首页 上页 下页 返回 结束 2二、对角化的条件二、对角化的条件首页 上页 下页 返回 结束 3首页 上页 下页 返回 结束 4证证 对特征值的个数作数学归纳法对特征值的个数作数学归纳法. 由于特由于特征向征向量是不为零的量是不为零
2、的, 所以单个的特征向量必然线性所以单个的特征向量必然线性无关无关.现在设属于现在设属于 k 个不同特征值的特征向量线性个不同特征值的特征向量线性无关无关,我们证明属于我们证明属于k + 1个不同的特征值个不同的特征值 1 , 2 , , k+1 的特征向量的特征向量 1 , 2 , , k+1 也线性无关也线性无关.假设有关系式假设有关系式a1 1 + a2 2 + + ak k + ak+1 k+1 = 0 (1)首页 上页 下页 返回 结束 5成立成立.等式两端乘以等式两端乘以 k+1 , 得得a1 k+1 1+a2 k+1 2+ak k+1 k+ ak+1 k+1 k+1 = 0 (2
3、)第第(1)式两端同时施行变换式两端同时施行变换, 得得a1 1 1 + a2 2 2 + ak k k + ak+1 k+1 k+1 = 0 (3)第第(3)式减去第式减去第(2)式得式得a1( 1 - - k+1) 1 + + ak ( k - - k+1) k = 0 .根据归纳法假设根据归纳法假设, 1 , 2 , , k 线性无关线性无关, 于是于是ai ( i - - k+1) = 0， i =1, 2, , k .首页 上页 下页 返回 结束 6但但 i - - k+1 0 (i k)，所以，所以ai = 0， i =1, 2, , k .这时等式这时等式a1 1 + a2 2
4、+ + ak k + ak+1 k+1 = 0变成变成 ak+1 k+1 = 0 . 又因为又因为 k+1 0, 所以只有所以只有ak+1= 0.所以所以 1 , 2 , , k+1 线性无关线性无关.根据归纳法原理根据归纳法原理, 定理得证定理得证.首页 上页 下页 返回 结束 7 推论推论 1 如果在如果在 n 维线性空间维线性空间 V 中中, 线性变换线性变换的特征多项式在数域的特征多项式在数域 P 中有中有 n 个不同的根个不同的根, 即即 有有 n 个不同的特征值个不同的特征值, 那么那么在某组基下的矩阵是对角在某组基下的矩阵是对角形的形的. 因为在复数域中任一个因为在复数域中任一个
5、 n 次多项式都有次多项式都有n个根个根, 所以上面的论断可以改写成所以上面的论断可以改写成 推论推论 2 在复数域上的线性空间中在复数域上的线性空间中, 如果线性变如果线性变换换的特征多项式没有重根的特征多项式没有重根, 那么那么在某组基下的矩在某组基下的矩阵是对角形的阵是对角形的.首页 上页 下页 返回 结束 8 在一个线性变换没有在一个线性变换没有n个不同的特征值的情形个不同的特征值的情形如何判别这个线性变换的矩阵能不能成为对角形如何判别这个线性变换的矩阵能不能成为对角形?为此为此,把定理把定理 8 推广为推广为 这个定理的证明与定理这个定理的证明与定理 8 的证明相仿的证明相仿, 也是
6、对也是对k 作数学归纳法作数学归纳法 . 证明略证明略.首页 上页 下页 返回 结束 9根据这个定理，对于一个线性变换，求出属于根据这个定理，对于一个线性变换，求出属于每个特征值的线性无关的特征向量，把它们合在一每个特征值的线性无关的特征向量，把它们合在一起还是线性无关的起还是线性无关的. 如果它们的个数等于空间的维如果它们的个数等于空间的维数，那么这个线性变换在一组合适的基下的矩阵是数，那么这个线性变换在一组合适的基下的矩阵是对角矩阵；对角矩阵；如果它们的个数少于空间的维数，那么如果它们的个数少于空间的维数，那么这个线性变换在任何一组基下的矩阵都不能是对角这个线性变换在任何一组基下的矩阵都不
7、能是对角形的形的.于是于是在某一组基下的矩阵是对角形的充分在某一组基下的矩阵是对角形的充分必要条件也可叙述成：必要条件也可叙述成：首页 上页 下页 返回 结束 10当线性变换当线性变换在一组基下的矩阵在一组基下的矩阵A是对角形时是对角形时:首页 上页 下页 返回 结束 11的特征多项式就是的特征多项式就是| E - - A | = ( - - 1) ( - - 2) ( - - n) .首页 上页 下页 返回 结束 12首页 上页 下页 返回 结束 13首页 上页 下页 返回 结束 14首页 上页 下页 返回 结束 15 综上讨论综上讨论, 可得线性变换在某组基下的矩阵是可得线性变换在某组基下
8、的矩阵是对角形的另一个充要条件对角形的另一个充要条件:首页 上页 下页 返回 结束 16首页 上页 下页 返回 结束 于是可得矩阵相似于对角形矩阵的一个充要于是可得矩阵相似于对角形矩阵的一个充要条件条件:17例例 1 设线性变换设线性变换在基在基 1 , 2 , 3 下的矩阵为下的矩阵为问是否存在一组基问是否存在一组基, 使使在这组基下的矩阵为对角在这组基下的矩阵为对角矩阵矩阵?解解 的特征多项式为的特征多项式为首页 上页 下页 返回 结束 18所以所以,的特征值为的特征值为由于由于只有一个特征值只有一个特征值 - -1, 属于属于 - -1 的所有的所有线性无关线性无关的特征向量是线性方程组
9、的特征向量是线性方程组(- -E - - A)X = 0的基础解系的基础解系.首页 上页 下页 返回 结束 19(该方程组的基础解系所含的向量个数为该方程组的基础解系所含的向量个数为1 3, 即即没有没有 3 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量). 所以所以在任何一组基下的矩阵都不可能是对在任何一组基下的矩阵都不可能是对角角矩阵矩阵.首页 上页 下页 返回 结束 20解解 首页 上页 下页 返回 结束 21首页 上页 下页 返回 结束 22三、对角化的计算方法三、对角化的计算方法 首页 上页 下页 返回 结束 23首页 上页 下页 返回 结束 注注:对角形矩阵中主对角线上的元素对角形矩阵
10、中主对角线上的元素(即特征即特征值值)的次序应与的次序应与C的列向量的次序相对应的列向量的次序相对应.24 由由4的例的例4知知的特征值是的特征值是-1,-1,-1,-1,5, 而对应的而对应的特征向量是特征向量是首页 上页 下页 返回 结束 25首页 上页 下页 返回 结束 26解解 先求特征值，先求特征值，A 的特征多项式为的特征多项式为A 的特征值为的特征值为再求特征向量再求特征向量首页 上页 下页 返回 结束 27即即首页 上页 下页 返回 结束 28即即 首页 上页 下页 返回 结束 29令令则则 X 可逆，且有可逆，且有 因为因为 3 阶矩阵阶矩阵 A 找到了找到了3个线性无关的特征向个线性无关的特征向量量, 所以方阵所以方阵 A 相似于对角矩阵相似于对角矩阵.首页 上页 下页 返回 结束 30于是于是先来先来X的逆矩阵的逆矩阵得得首页 上页 下页 返回 结束 31又因为又因为所以所以首页 上页 下页 返回 结束 32首页 上页 返回 结束 33
