《CH节两个随机变量的函数的分布实用教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《CH节两个随机变量的函数的分布实用教案（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布(fnb)，现在我们进一步讨论: 当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何求出它们(t men)的函数Z = g ( X, Y ) 的分布?第1页/共42页第一页，共43页。 例1 若 X、Y 独立(dl)，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 , P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求 Z=X+Y 的概率函数.解 =a0br+a1br-1+arb0 由独立性r=0,1,2, 一、 的分布 第2页/共42页第二页，共43页。解 依题意(t y) 例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数(cnsh)为的泊松分布, 证明Z
2、=X+Y服从参数(cnsh)为于是(ysh)i = 0 , 1 , 2 , j = 0 , 1 , 2 , 的泊松分布.第3页/共42页第三页，共43页。r = 0 , 1 , 即Z服从参数为 的泊松分布.第4页/共42页第四页，共43页。 例3 设X和Y的联合(linh)密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度. 这里(zhl)积分区域 D=(x, y): x+y z解Z=X+Y的分布(fnb)函数是:它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面.第5页/共42页第五页，共43页。 化成(hu chn)累次积分,得 固定(gdng)z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令 x=u
3、-y,得变量(binling)代换交换积分次序第6页/共42页第六页，共43页。由概率密度与分布(fnb)函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为: 由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成 以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般(ybn)公式.第7页/共42页第七页，共43页。 特别地，当 X 和 Y 独立(dl)，设 (X,Y) 关于 X , Y 的边缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为: 下面我们(w men)用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.卷积公式(gngsh)第8页/共42页第八页，共43页。为确定积分(jfn)限,先找出使被积函数不为 0 的区域 例
4、4 若 X 和Y 独立, 具有(jyu)共同的概率密度求 Z=X+Y 的概率密度 .解 由卷积公式(gngsh)也即第9页/共42页第九页，共43页。暂时(znsh)固定故当 或 时 ,当 时 ,当 时 ,于是(ysh)第10页/共42页第十页，共43页。 例5 若X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具有(jyu)相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度.解 由卷积公式(gngsh)第11页/共42页第十一页，共43页。令得可见(kjin) Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).第12页/共42页第十二页，共43页。用类似的方法可以(ky)证明: 若X和Y 独立(dl),
5、结论(jiln)又如何呢? 此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论. 若X和Y 独立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 则Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).第13页/共42页第十三页，共43页。 有限个独立(dl)正态变量的线性组合仍然服从正态分布. 即更一般(ybn)地, 可以证明:若 相互独立，则第14页/共42页第十四页，共43页。二、Z=YX, Z=XY的分布(fnb) 设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，则Z=YX的密度函数为当 X, Y 独立时,第15页/共42页第十五页，共43页。 解例6第16页/共42页第十六页，共43页。第17页/共42页第十
6、七页，共43页。三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布(fnb) 设 X，Y 是两个相互(xingh)独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x) 和 FY(y),我们来求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函数.FM(z)=P(Mz)=P(Xz,Yz)由于 X 和 Y 相互独立(dl),于是得到 M = max(X,Y) 的分布函数为: =P(Xz)P(Yz)FM(z)1. M = max(X,Y) 的分布函数即有 FM(z)= FX(z)FY(z) 第18页/共42页第十八页，共43页。即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1-
7、P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1-P(Nz)2. N = min(X,Y) 的分布(fnb)函数由于 X 和 Y 相互独立(dl),于是得到 N = min(X,Y) 的分布函数为: =1- P(Xz)P(Yz)FN(z)第19页/共42页第十九页，共43页。 设 X1,Xn 是 n 个相互独立的随机变量,它们(t men)的分布函数分别为 我们(w men)来求 M=max(X1,Xn) 和N=min(X1,Xn)的分布函数.(i = 1, , n) 用与二维时完全(wnqun)类似的方法，可得 N=min(X1,Xn)的分布函数是 M=max(X1,Xn)的分布函数为: 第20页
8、/共42页第二十页，共43页。 特别地，当X1,Xn相互独立(dl)且具有相同分布函数F(x)时，有 第21页/共42页第二十一页，共43页。 例7 设系统 L 由两个相互独立的子系统 连接而成,连接的方式分别为 (i) 串联, (ii) 并联, (iii)备用(biyng) (当系统 损坏时, 系统 开始工作) , 如下图所示.设 的寿命分别为 已知它们的概率密度分别为其中 且 试分别就以上三种连接方式写出 的寿命 的概率密度.XYXYXY第22页/共42页第二十二页，共43页。XY解 (i) 串联(chunlin)的情况 由于当系统 中有一个损坏时, 系统 L 就停止工作,所以此时(c s
9、h) L 的寿命为因为(yn wi) X 的概率密度为所以 X 的分布函数为第23页/共42页第二十三页，共43页。当 x 0 时 ,当 x 0 时 ,故 类似(li s)地 , 可求得 Y 的分布(fnb)函数为第24页/共42页第二十四页，共43页。于是 的分布函数为= 1-1-FX(z)1-FY(z) 的概率密度为第25页/共42页第二十五页，共43页。XY(ii) 并联(bnglin)的情况 由于当且仅当系统 都损坏时, 系统 L 才停止工作,所以此时(c sh) L 的寿命为故 的分布函数为第26页/共42页第二十六页，共43页。XY于是 的概率密度为(iii) 备用(biyng)的
10、情况因此(ync)整个系统 L 的寿命为 由于当系统 损坏时, 系统 才开始工作,第27页/共42页第二十七页，共43页。当 z 0 时 ,当 z 0 时 ,当且仅当即 时,上述(shngsh)积分的被积函数不等于零.故第28页/共42页第二十八页，共43页。于是 的概率密度为第29页/共42页第二十九页，共43页。例8 设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一分布律,且 X 的分布律为于是解第30页/共42页第三十页，共43页。第31页/共42页第三十一页，共43页。 需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相同(xin tn)分布函数F(x)时, 常称M=max(X1,Xn)，N=mi
11、n(X1,Xn)为极值(j zh) . 由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要(zhngyo)的意义和实用价值.第32页/共42页第三十二页，共43页。三、课堂练习设 是相互独立的随机变量, 它们都服从正态分布 .试验证随机变量 具有概率密度第33页/共42页第三十三页，共43页。1,设随机变量(su j bin lin)且满足(mnz)PX1X2=0=1，求（1）(X1 ,X2)的联合概率分布；（2） PX1 X2；（3） PX1 =X2。第34页/共42页第三十四页，共43页。2.设随机变量(su j bin lin)X与Y独立，其中X的概率分布为 而Y的
12、概率密度为f(y)，求随机变量(su j bin lin)U=X+Y的概率密度g(u).第35页/共42页第三十五页，共43页。3.设二维随机变量(su j bin lin)(X,Y) 的概率分布为 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件 与 相互(xingh)独立，则有（B） (A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1 (C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 第36页/共42页第三十六页，共43页。4.设随机变量X与Y独立(dl)分布, 且X的概率分布为 记求(U, V)的概率分布; 解 易知U, V 的可能(knng)取值均为
13、: 1, 2. 且 第37页/共42页第三十七页，共43页。第38页/共42页第三十八页，共43页。5. 设X1 ,X2 独立(dl)同分布，且X1的分布律为X1 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.3 0.4 Y=maxX1 ,X2 ，求（1） Y的概率分布：（2）(Y, X1)的联合(linh)概率分布。第39页/共42页第三十九页，共43页。为确定积分限,先找出使被积函数(hnsh)不为 0 的区域 6. 若 X 和Y 独立, 具有(jyu)共同的概率密度求 Z=X+Y 的概率密度 .解 由卷积公式(gngsh)也即第40页/共42页第四十页，共43页。暂时(znsh)固定故当 或
14、时 ,当 时 ,当 时 ,于是(ysh)第41页/共42页第四十一页，共43页。感谢您的观看(gunkn)！第42页/共42页第四十二页，共43页。内容(nirng)总结在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:。在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:。=a0br+a1br-1+。以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.。此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.。,Xn) 和N=min(X1,。,Xn相互独立且具有相同(xin tn)分布函数F(x)时, 常称。,Xn)，N=min(X1,。感谢您的观看第四十三页，共43页。
