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1、相似三角形的应用相似三角形的应用乐山大佛乐山大佛世界上最高的树世界上最高的树 红杉红杉世界上最高的楼世界上最高的楼台北台北101大楼大楼怎样测量这些非常怎样测量这些非常高大物体的高度？高大物体的高度？世界上最宽的河世界上最宽的河亚马孙河亚马孙河怎样测量河宽？怎样测量河宽？光屏光屏光线在直线传播过程中，遇到不透光线在直线传播过程中，遇到不透明的物体，在这个物体的后面光线不能明的物体，在这个物体的后面光线不能到达的区域便产生影。到达的区域便产生影。 太阳光线可以看成是太阳光线可以看成是平行光线。平行光线。 在平行光线的照在平行光线的照射下，物体所产生的射下，物体所产生的影称为影称为平行投影平行投影
2、。 在阳光下，在同一时刻，物体的高度与在阳光下，在同一时刻，物体的高度与物体的影长存在某种关系：物体的高度越高，物体的影长存在某种关系：物体的高度越高，物体的影长就越长物体的影长就越长 在平行光线的照射下，不同物体的物高与影在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例长成比例 例题例题 古希腊数学家、天文学古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的家泰勒斯利用相似三角形的原理，测量金字塔的高度。原理，测量金字塔的高度。DEA(F)BO2m3m201m解：太阳光是平行线，解：太阳光是平行线， 因此因此BAO= EDF又又 AOB= DFE=90ABODEFBOEF=BO = 137OAFDO
3、A EFFD=27412 如图如图272-8，如果木杆，如果木杆EF长长1m，它的影长，它的影长FD为为2 m，测得，测得OA为为274 m，求金字塔的高度，求金字塔的高度BO 2.数学兴趣小组测校内一棵树高，有数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下两种方法：以下两种方法： 方法一：如图，把长为方法一：如图，把长为2.40M的标杆的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为直立在地面上，量出树的影长为2.80M，标杆影长为标杆影长为1.47M。求出树高（精确到求出树高（精确到0.1M）FDCEBA物物1高高 ：物：物2高高 = 影影1长长 ：影：影2长长知识要点知识要点测高的方法测高的方法 测量不能到达
4、顶部的物体的高度，测量不能到达顶部的物体的高度，通常用通常用“在同一时刻物高与影长成正比在同一时刻物高与影长成正比例例”的原理解决。的原理解决。 如图如图:为了估算河的宽度为了估算河的宽度,我们可以在我们可以在河对岸选定一个目标作为点河对岸选定一个目标作为点A,再在河的再在河的这一边选点这一边选点B和和C,使使AB BC,然后然后,再选点再选点E,使使EC BC,用视线确定用视线确定BC和和AE的交点的交点D.此时如果测得此时如果测得BD=120米米,DC=60米米,EC=50米米,求两岸间的大致距离求两岸间的大致距离AB.ABCDE 如图如图:为了估算河的宽度为了估算河的宽度,我们可以在河对
5、岸选我们可以在河对岸选定一个目标作为点定一个目标作为点A,再在河的这一边选点再在河的这一边选点B和和C,使使AB BC,然后然后,再选点再选点E,使使EC BC,用视线确定用视线确定BC和和AE的交点的交点D.此时如果测得此时如果测得BD=120米米,DC=60米米,EC=50米米,求两岸间的大致距离求两岸间的大致距离AB.ABCDE解解: ADB = EDC ABC = ECD =900. ABD ECD ABEC=BDCD AB =BDEC/CD =12050/60 =100（米）米）答：答：两岸间的大致距离为两岸间的大致距离为100米。米。STPQRba例例2 为了估算河的宽度为了估算河
6、的宽度,我们可以在河对岸我们可以在河对岸选定一个目标点选定一个目标点P,在近岸取点在近岸取点Q和和S,使点使点P、Q、S共线且直线共线且直线PS与河垂直，接着在过点与河垂直，接着在过点S且与且与PS垂直的直线垂直的直线a上选择适当的点上选择适当的点T,确确定定PT与过点与过点Q且垂直且垂直PS的直线的直线b的交点的交点R.如如果测得果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度求河的宽度PQ. P=P 分析：分析：PQR=PST= 90 STPQRba得得 PQ=90例题例题求河宽求河宽? PQR PST45m60m90m知识要点知识要点测距的方法测距的方法 测量不能到达两点间的距
7、离测量不能到达两点间的距离,常常构造构造相似三角形相似三角形求解。求解。 ABCDE 1 1、如图，已知零件的外径为、如图，已知零件的外径为a a，要求它要求它的厚度的厚度x x，需先求出内孔的直径需先求出内孔的直径ABAB，现用一现用一个交叉卡钳（两条尺长个交叉卡钳（两条尺长ACAC和和BDBD相等）去量，相等）去量，若若OAOA: :OC=OB:OD=nOC=OB:OD=n，且量得且量得CD=bCD=b，求厚度求厚度x x。O O（分析：如图，要想求厚度（分析：如图，要想求厚度x x，根据条件可知，首先得根据条件可知，首先得求出内孔直径求出内孔直径ABAB。而在图中而在图中可构造出相似形，
8、通过相似可构造出相似形，通过相似形的性质，从而求出形的性质，从而求出ABAB的长的长度。）度。）O O解：解：AOBCODAB=CD n = nb又又CD=b且且AOB=COD OA:OC=OB:OD=n OA:OC=AB:CD=n 又又x = ( a AB )2 = ( a nb )22.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每米有一棵树，在北岸边每隔隔50米有一根电线杆小丽站在离南岸边米有一根电线杆小丽站在离南岸边15米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的
9、两棵树遮住，并且在这两棵杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为树之间还有三棵树，则河宽为米米3 3、某同学想利用树影测量树高、某同学想利用树影测量树高. .他在某一时刻测得小树高他在某一时刻测得小树高为为1.51.5米时，其影长为米时，其影长为1.21.2米，当他测量教学楼旁的一棵大米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上. .经测经测量，地面部分影长为量，地面部分影长为6.46.4米，墙上影长为米，墙上影长为1.41.4米，那么这棵米，那么这棵大树高多少米大树高多少米? ?ED6.46.
10、41.2？1.51.4ABc解：作解：作DEAB于于E得得AE=8AB=8+1.4=9.4米米物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分1.21.5甲拓展拓展: : 已知教学楼高为已知教学楼高为1212米，在距教学楼米，在距教学楼9 9米的北面有一建筑物乙，此时教学楼会影响米的北面有一建筑物乙，此时教学楼会影响乙的采光吗？乙的采光吗？乙912129.6DE0.61.21.21.51.512129.69.6D DE E0.60.6C C解解:太阳光是平行光线太阳光是平行光线BC=9.6BC=9.69.69.69 9乙的采光会受影响乙的采光会受影响DE=0.7
11、5DE=0.75EC=9.6-9=0.6EC=9.6-9=0.6可以计算出甲投在乙可以计算出甲投在乙墙壁上的影长吗？墙壁上的影长吗？5、 如图，已知如图，已知ACB的边的边AB、AC上上的点，且的点，且ADE=C，求证：求证：ADAB=AEAC。解：解： ADE=C， A=AADEACB（如果一个三角（如果一个三角形的两角与另一个三角形的两个角形的两角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）对应相等，那么这两个三角形相似） ADAC=AEAB 即；即；ADAB=AEACEDCBA1. 相似三角形的应用主要有两个方面：相似三角形的应用主要有两个方面：（1） 测高测高 测量不能到达两
12、点间的距离测量不能到达两点间的距离,常构造相似三常构造相似三角形求解。角形求解。（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）（不能直接测量的两点间的距离）（不能直接测量的两点间的距离） 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决。的原理解决。（2） 测距测距课堂小结课堂小结2. 解相似三角形实际问题的一般步骤：解相似三角形实际问题的一般步骤：（1）审题。）审题。 （2）构建图形。）构建图形。 （3）利用相似解决问题。）利用相似解决问题。随堂练习随堂练习 1. 铁道口的栏杆短臂长铁
13、道口的栏杆短臂长1m,长臂长长臂长16m,当短臂当短臂端点下降端点下降0.5m时时,长臂端点升高长臂端点升高_m。 8OBDCA1m16m0.5m？ 2.某一时刻树的影长为某一时刻树的影长为8米米,同一时刻身高为同一时刻身高为1.5米的人的影长为米的人的影长为3米米,则树高为则树高为_。 4练习练习3.3.为了测量一池塘的宽为了测量一池塘的宽AB,AB,在岸边在岸边找到了一点找到了一点C,C,使使ACACABAB，在，在ACAC上找上找到一点到一点D D，在，在BCBC上找到一点上找到一点E,E,使使DEDEACAC，测出测出AD=35mAD=35m，DC=35mDC=35m，DE DE =3
14、0m,=30m,那么你能算出池塘的宽那么你能算出池塘的宽ABAB吗吗? ?ABCDE挑战自我挑战自我如图，如图，ABC是一块锐角三角形余料，边是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高毫米，高AD=80毫米，要把它加工毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在成正方形零件，使正方形的一边在BC上，上，其余两个顶点分别在其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方上，这个正方形零件的边长是多少？形零件的边长是多少？NMQPEDCBA解：解：设正方形设正方形PQMN是符合要求的是符合要求的ABC的高的高AD与与PN相交于点相交于点E。设正方形设正方形PQMN的边长为的边长为x毫米。毫米。因为因为
15、PNBC，所以所以APN ABC所以所以AEAD=PNBC因此因此 ，得，得 x=48（毫米）。答：毫米）。答：-。80x80=x120如图，要在底边如图，要在底边BC=160cm，高，高AD=120cm，的，的ABC铁皮余料上截取一个矩形铁皮余料上截取一个矩形EFGH，使点，使点H在在AB上，点上，点G在在AC上，点上，点E、F在在BC上，上，AD交交HG于于点点M，此时，此时 。（1）设矩形）设矩形EFGH的长的长HG=y，宽，宽HE=x，确定，确定y与与x的的函数关系式；函数关系式；（2）当）当x为何值时，矩形为何值时，矩形EFGH的面积的面积S最大；最大；小丽利用影长测量学校旗杆的高度
16、小丽利用影长测量学校旗杆的高度.由于由于旗杆靠近一个建筑物旗杆靠近一个建筑物,在某一时刻旗杆影在某一时刻旗杆影子中的一部分映在建筑物的墙上子中的一部分映在建筑物的墙上.小丽测小丽测得旗杆得旗杆AB在地面上的影长在地面上的影长BC为为20m,在在墙上的影长墙上的影长CD为为4m,同时又测得竖立于同时又测得竖立于地面的地面的1m长的标杆影长为长的标杆影长为0.8m,请帮助请帮助小丽求出旗杆的高度小丽求出旗杆的高度.CBD1m0.8mE例例3：已知左，右并排的两棵大树的高分别：已知左，右并排的两棵大树的高分别是是AB=8m和和CD=12m，两树的根部的距离，两树的根部的距离BD=5m。一个身高。一个
17、身高1.6m的人沿着正对着的人沿着正对着两棵树的一条水平直路从左向右前进，当两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看见右边较高的树的顶端点不能看见右边较高的树的顶端点C？K盲区盲区观察者观察者看不到看不到的区的区 域。域。仰仰角角：视线在水平：视线在水平 线以线以上的夹角。上的夹角。水平线水平线视线视线视点视点观察者眼睛的位置。观察者眼睛的位置。(1)FBCDHGlAK(1)FBCDHGlAKFABCDHGKl(2)分析：分析：假设观察者从左向右走到点假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的位置时，他的眼睛的位置点点F与
18、两颗树的顶端点与两颗树的顶端点A、C恰在一条直线上恰在一条直线上,如果如果观察者继续前进，由于这棵树的遮挡，右边树的观察者继续前进，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它。在观察者的盲区之内，观察者看不到它。E由题意可知，由题意可知，ABL，CDL，ABCD，AFH CFKFHFK=AHCK即即FHFH+5=8-1.612-1.6解得解得FH=8当他与左边的树的距离小于当他与左边的树的距离小于8m时，由于时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察在观察者的盲区之内，就不能看见右边较高的树者的盲区之内，就不能看见右边较高的树的顶端
19、点的顶端点C2.2.教学楼旁边有一棵树，数学兴趣小组的同教学楼旁边有一棵树，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根长为光下他们测得一根长为1 1米的竹竿的影长是米的竹竿的影长是0.90.9米，但当他们马上测量树高时，发现树的米，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上。他们测得落在地面的影长学楼的墙壁上。他们测得落在地面的影长2.72.7米，落在墙壁上的影长米，落在墙壁上的影长1.21.2米，请你和他们一米，请你和他们一起算一下，树高多少米？起算
20、一下，树高多少米？图11 7.7.如图：小明想测量一颗大树如图：小明想测量一颗大树ABAB的高度，的高度，发现树的影子恰好落在土坡的坡面发现树的影子恰好落在土坡的坡面CDCD和和地面地面CBCB上，测得上，测得CD=4m,BC=10mCD=4m,BC=10m，CDCD与地与地面成面成3030度角，且测得度角，且测得1 1米竹杆的影子长为米竹杆的影子长为2 2米，那么树的高度是多少？米，那么树的高度是多少？CABD8.为了测量路灯（为了测量路灯（OS）的高度）的高度,把一根长把一根长1.5米的竹竿（米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上）竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子（测得竹竿的影子（BC）长为
21、）长为1米米,然后拿竹然后拿竹竿向远离路灯方向走了竿向远离路灯方向走了4米（米（BB）,再把再把竹竿竖立在地面上竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长（测得竹竿的影长（BC）为）为1.8米米,求路灯离地面的高度求路灯离地面的高度.h hS SA AC CB BB B O OC C A A 9、如图，有一路灯杆、如图，有一路灯杆AB(底部底部B不能直接不能直接到达到达)，在灯光下，小明在点，在灯光下，小明在点D处测得自己处测得自己的影长的影长DF3m，沿，沿BD方向到达点方向到达点F处再测处再测得自己得影长得自己得影长FG4m，如果小明得身高为，如果小明得身高为1.6m，求路灯杆，求路灯杆AB的高度。的高度。DFBCEGA
