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1、高等数学（XJD）第一章第一章 函数与极限函数与极限高等数学（XJD）（二）函数概念（二）函数概念（三）极限概念（三）极限概念（四）连续概念（四）连续概念第一章第一章 函数与极限函数与极限（一）基本概念（一）基本概念（五）典型例题（五）典型例题高等数学（XJD）（一）基本概念（一）基本概念高等数学（XJD）具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成集合的事物称为该集合的组成集合的事物称为该集合的元素元素.如：如： N=1,2, . （自然数集）（自然数集）Z=n | n=0, 1,2, . （整数集）（整数集）Q=x | x为有理数为有理数（有理数集）（有
2、理数集）R= 全体实数全体实数 （实数集）（实数集）子集：子集：相等：相等：空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.空集：空集：1.1.集合的定义集合的定义高等数学（XJD）是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数这两个实数叫做区间的端点叫做区间的端点. 开区间：开区间：闭区间：闭区间：半开区间：半开区间：无限区间无限区间有限区间有限区间2.2.区间区间如如：高等数学（XJD）3.3.邻域邻域定义定义高等数学（XJD）运算性质运算性质:绝对值不等式绝对值不等式:4.4.常量与变量常量与变量 在某过程中，数值保持不变的量称为在某过程中，数值保持不变的量称为
3、常量常量, 而数值变化的而数值变化的量量称为称为变量变量. 通常用通常用a, b, c 等表示常量等表示常量, 用用x, y, t 等表示等表示变量变量.5.5.绝对值绝对值高等数学（XJD）（二）函数概念（二）函数概念高等数学（XJD）函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性双曲函数与双曲函数与反双曲函数反双曲函数函数的内容结函数的内容结构构高等数学（XJD）2.2.函数分类函数分类函 数初等函数非初等函数非初等函
4、数代数函数超越函数超越函数有理函数无理函数无理函数有理整式函数有理整式函数有理分式函数有理分式函数设设 x 和和 y 是两个变量是两个变量, D 是一个给定的数集，如果对是一个给定的数集，如果对于每个数于每个数 xD，变量，变量 y 按照一定法则总有确定的数按照一定法则总有确定的数值值 y 和它对应和它对应, 则称则称 y 是是 x 的函数，记作的函数，记作 y =f (x).1.函数定义函数定义高等数学（XJD）自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f3.3.函数的对应关系函数的对应关系定义域与对应法则定义域与对应法则.函数的两要素：函数的两要素：我们把平面上的点集我们把平面上的点集)(的
5、的图形图形函数函数称为称为xfy= =),(),(Dxxfyyx = =函数的图形函数的图形高等数学（XJD）4.4.函数的特性函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX(1) 函数的有界性函数的有界性:高等数学（XJD）xyoxyo(2) 函数的函数的单调性单调性:高等数学（XJD）偶函数偶函数yxox-x如果对如果对如果对如果对奇函数奇函数yxox-x(3) 函数的奇函数的奇偶性偶性:高等数学（XJD）（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的,
6、 l.)( ,DlxDx 使得对于任一使得对于任一数数.)()(恒成立恒成立且且xflxf= =+ +.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl为周为周则称则称)(xf(4) 函数的周期函数的周期性性:高等数学（XJD）1）幂函数）幂函数2）指数函数）指数函数3）对数函数）对数函数4）三角函数）三角函数5）反三角函数）反三角函数 幂函数幂函数, 指数函数指数函数, 对数函数对数函数, 三角函数和反三角函数三角函数和反三角函数统称为基本初等函数统称为基本初等函数.5.5.基本初等函数基本初等函数高等数学（XJD） 由常数和基本初等函数经过由常数和基本初等函数经过有限次有限次四则运算和四则运算
7、和有限次有限次的的函数复合步骤所构成并函数复合步骤所构成并可用可用一个式子表示的函数一个式子表示的函数, 称为称为初等初等函数函数设函数设函数)(ufy= =的定义域为的定义域为 D1)(xuj j= =, 若若则在集合则在集合)( xf y(x)j j = =成为成为x此函数为此函数为复合函数复合函数, , 值域为值域为的定义域为的定义域为 D2, ,值域为值域为上上的函数的函数, , 称称, ,其中的其中的 D D 为定义域为定义域. .注意注意: : 并不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数并不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数.6.6.复合函数与初等复合函数与初等函数函数高等数学
8、（XJD）7.7.双曲函数与反双曲双曲函数与反双曲函数函数奇函数奇函数.偶函数偶函数.奇函数奇函数有界有界双曲正切函数双曲正切函数高等数学（XJD）奇函数奇函数,奇函数奇函数,双曲函数常用公式双曲函数常用公式高等数学（XJD）（三）极限概念（三）极限概念高等数学（XJD）左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小两者的两者的关系关
9、系无穷大无穷大极限的内容结构极限的内容结构高等数学（XJD）如果数列没有极限如果数列没有极限, 就说数列是发散的就说数列是发散的.则称则称 a 是数列是数列 的极限的极限.则称则称 a 是数列是数列 的极限的极限.或说或说数列数列 收敛于收敛于a. 记作记作-N 定义：定义：或说或说数列数列 收敛于收敛于a. 记作记作直觉定义：直觉定义：1.1.数列的定数列的定义义高等数学（XJD）2.2.函数极限定函数极限定义义对极对极限的限的刻画刻画对过对过程的程的刻画刻画高等数学（XJD）无穷小无穷小:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷
10、大无穷大.无穷大无穷大:在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.常数与无穷小的乘积是无穷小.有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质无穷小的运算性质在同一过程中,恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.3.3.无穷小与无穷大无穷小与无穷大高等数学（XJD）(2) 唯一性唯一性(1) 有界有界性性4. 4. 关于极限的几个基本定关于极限的几个基本定理理推论推论 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .推论推论 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .注意：注
11、意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.注意：注意： 无界数列必定发散无界数列必定发散. .高等数学（XJD）定理定理推论推论(4) 保号保号性性(3) 保序性保序性定理定理推论推论高等数学（XJD）(7) 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:定理定理 1 1 ),()()(lim0xAxfAxfxxa a+ += = =其中其中)(xa a是当是当0xx 时的无穷小时的无穷小.(6) 极限与左右极限的极限与左右极限的关系关系(5) 子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定理定理高等数学（XJD）等价替换性：等价替换性：四则运算性：
12、四则运算性：推论推论1 1推论推论2 25.5.极限的运算性质极限的运算性质高等数学（XJD）(夹逼准则夹逼准则)(1)(2)7.7.两个重要极限两个重要极限6.6.判定极限存在的准则判定极限存在的准则高等数学（XJD）8.8.无穷小的比较无穷小的比较高等数学（XJD）a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子或无穷因子法求极限消去零因子或无穷因子法求极限;c.分分0极限因子分出法求极限极限因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用两个准则求极限利用两个准则求极限;f.利用两个重要极限求极限利用两个重要极限求极限;g.利用
13、等价替换求极限利用等价替换求极限;h.利用左右极限求极限利用左右极限求极限.9.9.求极限的常用方法求极限的常用方法高等数学（XJD）（四）连续概念（四）连续概念高等数学（XJD）左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的连续性的连续性 振振荡荡间间断断点点 无无穷穷间间断断点点 跳跳跃跃间间断断点点 可可去去间间断断点点第一类第一类 第二类第二类连续的内容结构连续的内容结构高等数学（XJD）1
14、.1.连续的定义连续的定义高等数学（XJD）定理定理2.2.单侧连续性单侧连续性高等数学（XJD）(1) 跳跃间断点：跳跃间断点：(2) 可去间断点：可去间断点：跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点.第二类间断点：第二类间断点：3.3.间断点的分类间断点的分类高等数学（XJD）定理定理1 1 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. .定理定理3 3定理定理4 4定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内
15、都是连续的内都是连续的.连续函数经加、减、乘、除（在分母不为连续函数经加、减、乘、除（在分母不为0 0处）处）后仍为连续函数后仍为连续函数. .定理定理2 24.4.初等函数的连续性初等函数的连续性高等数学（XJD）定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理) ) 在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一定有最大值和最小值一定有最大值和最小值. .定定理理2(2(有有界界性性定定理理) ) 在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在在该该区区间上有界间上有界. .推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值与最小值m之间的任何
16、值之间的任何值.定理定理3(3(介值定理介值定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba, 上上连续，且在这区间的端点取不同的函数值连续，且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf= =)( 及及 Bbf= =)(, ,那末，对于那末，对于A与与B之间的任意一个数之间的任意一个数C，在开区间，在开区间( () )ba,内至少有一点内至少有一点x x，使得，使得cf= =x x)( )(ba x x . .5.5.闭区间上连续函数闭区间上连续函数的性质的性质高等数学（XJD）例例1 1解解（五）典型（五）典型例题例题高等数学（XJD）解解 利用函数表示法的无关特性，利用函数表示法的无关特性，代入原方程得代入原方程得代入上式得代入上式得例例2解之，得解之，得高等数学（XJD）解解将分子、分母同乘以因子将分子、分母同乘以因子(1- -x), 则则例例3高等数学（XJD）解解例例4高等数学（XJD）解解例例5高等数学（XJD）解解例例6高等数学（XJD）证证讨论:例例7由零点定理知,综上,高等数学（XJD）测测 验验 题题高等数学（XJD）高等数学（XJD）高等数学（XJD）高等数学（XJD）高等数学（XJD）高等数学（XJD）测验题答案测验题答案高等数学（XJD）
