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1、第二章第二章测量误差和数据处理测量误差和数据处理第一节第一节测量误差的来源测量误差的来源第二节第二节随机误差分析随机误差分析第三节第三节系统误差分析系统误差分析第四节第四节误差的合成、间接测量的误差误差的合成、间接测量的误差 传递与分配传递与分配第五节第五节 测量数据的处理测量数据的处理难点重点难点重点v正态分布的标准差、近似标准差（贝塞尔正态分布的标准差、近似标准差（贝塞尔公式）公式）v直接测量的数学表达式直接测量的数学表达式v误差的合成误差的合成v间接测量误差的传递间接测量误差的传递第一节第一节测量误差的来源测量误差的来源v1仪器误差仪器误差v2人员误差人员误差v3环境误差环境误差v4方法
2、误差方法误差N(t)AxN(t)AxN(t)AxN(t)Ax只有随机误差累进系统误差恒定系统误差周期性系统误差第二节第二节随机误差分析随机误差分析就单次测量而言，随机误差没有规律，就单次测量而言，随机误差没有规律，但当测量次数足够多时，则服从正态分布但当测量次数足够多时，则服从正态分布规律，随机误差的特点为规律，随机误差的特点为对称性、有界性、对称性、有界性、单峰性、抵偿性。单峰性、抵偿性。f()问题问题测量总是存在误差，而且误差究竟等测量总是存在误差，而且误差究竟等于多少难以确定，那么，从测量值于多少难以确定，那么，从测量值如何得到真实值呢？如何得到真实值呢？ 例如，测量室温，例如，测量室温
3、，6次测量结果分别为次测量结果分别为19.2,19.3,19.0,19.0,22.3,119.2,19.3,19.0,19.0,22.3,19.5,9.5,那么室温究竟是多少呢？那么室温究竟是多少呢？ x=A ，置信概率为置信概率为p x的真值落在的真值落在A- ， A+ 区间内的概率为区间内的概率为p。 A和和 如何确定呢？如何确定呢？一测量值的数学期望和标准差一测量值的数学期望和标准差1数学期望数学期望对对被被测测量量x进进行行等等精精度度n次次测测量量，得得到到n个个测测量量值值x1，x2，x3，xn。则则n个个测测得值的算术平均值为：得值的算术平均值为： 当测量次数当测量次数 时，样本
4、平均值的极时，样本平均值的极限定义为测得值的数学期望。限定义为测得值的数学期望。v当测量次数当测量次数 时，测量值的时，测量值的数学期望等于被测量的真值。数学期望等于被测量的真值。?数学期望数学期望根据随机误差的抵偿特性，当根据随机误差的抵偿特性，当 时时 即即所以，当测量次数所以，当测量次数 时，测量值的数学期望等于时，测量值的数学期望等于被测量的真值。被测量的真值。分析：分析：数学期望数学期望2剩余误差剩余误差（残差）（残差） 当进行有限次测量时，测得值与算术平均值之差。当进行有限次测量时，测得值与算术平均值之差。 数学表达式：数学表达式：对上式两边求和得：对上式两边求和得：所以可得剩余误
5、差得代数和为所以可得剩余误差得代数和为0。4标准差标准差（标准误差，均方根误差）对方差开平方。（标准误差，均方根误差）对方差开平方。 反映了测量的精密度，反映了测量的精密度，小表示精密度高，测得小表示精密度高，测得值集中，值集中，大，表示精密度底，测得值分散。大，表示精密度底，测得值分散。3. 方差方差f()二随机误差的正态分布分析二随机误差的正态分布分析1正态分布正态分布o高斯于高斯于1809年推导出描述随机误差统计特年推导出描述随机误差统计特性的解析方程式，称高斯分布规律。性的解析方程式，称高斯分布规律。随机误差随机误差标准误差标准误差曲线下面的面积对应误差在不同区间出现的概率。曲线下面的
6、面积对应误差在不同区间出现的概率。o例如：例如：f()o从正态分布曲线可看出：从正态分布曲线可看出：o绝绝对对值值越越小小， 愈愈大大，说说明明绝绝对对值值小的误差出现的概率大。小的误差出现的概率大。o大大小小相相等等符符号号相相反反的的误误差差出出现现的的概概率率相相等。等。f()o愈小，正态分布曲线愈尖锐，愈小，正态分布曲线愈尖锐，愈大，愈大，正态分布曲线愈平缓。说明正态分布曲线愈平缓。说明反映了测量反映了测量的精密度。的精密度。 =1 =22 2极限误差极限误差 从从上上式式可可见见，随随机机误误差差绝绝对对值值大大于于3的的概概率率很很小小，只只有有0.3%0.3%，出出现现的的可可能
7、能性性很很小小。因因此此定义：定义： 随机误差的特点随机误差的特点o单峰性单峰性 误差绝对值越小，出现密度越大，误差绝对值越小，出现密度越大，误差绝对值越大，出现密度越小误差绝对值越大，出现密度越小o对称性对称性 绝对值相同，符号相反的误差出绝对值相同，符号相反的误差出现的概率相等现的概率相等o抵偿性抵偿性 当测量当测量次数次数n时，误差总和为时，误差总和为零零o有界性有界性 误差落误差落-3 , 3 的概率为的概率为0.9973 3 也称为极限误差或者误差限也称为极限误差或者误差限3贝塞尔公式贝塞尔公式v采用残差代替随机误差采用残差代替随机误差（2）有限次测量标准误差的最佳估计值有限次测量标
8、准误差的最佳估计值 （近似标准误差）近似标准误差）（1）标准差标准差（标准误差，均方根误差）：（标准误差，均方根误差）：贝塞尔公式贝塞尔公式（3）算术平均值的标准差算术平均值的标准差（4）平均值标准误差的最佳估计值平均值标准误差的最佳估计值 （近似平均值标准误差）（近似平均值标准误差）三有限次测量下测量结果表达式三有限次测量下测量结果表达式步骤步骤：1）列出测量数据表；）列出测量数据表；2）计算算术平均值）计算算术平均值 、 、 ；3）计算）计算 和和 ；置信概率置信概率0.9973 置信概率置信概率0.9545置信概率置信概率0.68274）给出最终测量结果表达式：）给出最终测量结果表达式：
9、第三节第三节系统误差分析系统误差分析N(t)AxN(t)AxN(t)Ax累进系统误差累进系统误差恒定系统误差恒定系统误差周期性系统误差周期性系统误差一、分类一、分类：o恒定恒定系统误差系统误差o变化变化系统误差系统误差二、系统误差的判断二、系统误差的判断1理理论论分分析析法法，可可通通过过对对测测量量方方法法的的定定性性分分析析发发现现测量方法或测量原理引入的系统误差。测量方法或测量原理引入的系统误差。2校校准准和和比比对对法法：测测量量仪仪器器定定期期进进行行校校准准或或检检定定并并在检定书中给出修正值。在检定书中给出修正值。3改改变变测测量量条条件件法法：根根据据在在不不同同的的测测量量条
10、条件件下下测测得得的数据进行比较，可能发现系统误差。的数据进行比较，可能发现系统误差。4剩剩余余误误差差观观察察法法：根根据据测测量量数数据据列列剩剩余余误误差差的的大大小小及及符符号号变变化化规规律律可可判判断断有有无无系系统统误误差差及及误误差差类类型，这种方法不能发现定值系统误差。型，这种方法不能发现定值系统误差。三消除系统误差产生的根源三消除系统误差产生的根源要减少系统误差要注意以下几个方面。要减少系统误差要注意以下几个方面。v1采用的测量方法及原理正确。采用的测量方法及原理正确。v2选选用用的的仪仪器器仪仪表表的的类类型型正正确确，准准确确度度满满足足要要求。求。v3测测量量仪仪器器
11、应应定定期期校校准准、检检定定，测测量量前前要要调调零零，应应按按照照操操作作规规程程正正确确使使用用仪仪器器。对对于于精精密密测测量量必必要时要采取稳压、恒温、电磁屏蔽等措施。要时要采取稳压、恒温、电磁屏蔽等措施。v4条件许可，尽量采用数显仪器。条件许可，尽量采用数显仪器。v5提高操作人员的操作水平及技能。提高操作人员的操作水平及技能。四削弱系统误差的方法四削弱系统误差的方法1零示法零示法:2替代法替代法（置换法）：（置换法）： 在在测测量量条条件件不不变变的的情情况况下下，用用一一标标准准已已知知量量替替代代待待测测量量，通通过过调调整整标标准准量量使使仪仪器器示示值值不不变变，于于是是标
12、标准准量量的的值值等等于于被被测量。测量。 这这两两种种方方法法主主要要用用来来消消除定值系统误差。除定值系统误差。四削弱系统误差的方法四削弱系统误差的方法3利用修正值或修正因数加以消除。利用修正值或修正因数加以消除。4随机化处理随机化处理5智能仪器中系统误差的消除智能仪器中系统误差的消除（1）直流零位校准。）直流零位校准。（2）自动校准。）自动校准。四削弱系统误差的方法四削弱系统误差的方法第四节第四节误差的合成、间接测量的误差传递与分配误差的合成、间接测量的误差传递与分配一一误差合成误差合成 由由多多个个不不同同类类型型的的单单项项误误差差求求测测量量中中的的总总误差是误差合成问题。误差是误
13、差合成问题。1、随机误差合成随机误差合成 若若测测量量结结果果中中有有k个个彼彼此此独独立立的的随随机机误误差差，各各个个随随机机误误差差互互不不相相关关，各各个个随随机机误误差差的的标标准准方方差差分分别别为为1 1、2 2、3 3、k k则则随随机机误误差合成的总标准差差合成的总标准差为：为：若以极限误差表示，则合成的极限误若以极限误差表示，则合成的极限误差为：差为： 当随机误差服从正态分布时，对应的极限误差。当随机误差服从正态分布时，对应的极限误差。1、随机误差合成随机误差合成2、系统误差的合成、系统误差的合成（1）确定的系统误差的合成确定的系统误差的合成 又又称称已已定定系系统统误误差
14、差，是是指指测测量量误误差差的的大大小小、方方向向和和变变化化规规律律是是可可以以掌掌握握的的。只只要要是是已已定定的的系系统统误误差差，都都应应当当用用代代数数的的方方法法计计算算其合成误差。其合成误差。表达式：表达式：由由于于所所得得结结果果是是明明确确大大小小和和方方向向的的数数值值，故故可可直直接接在在测测量量结结果果中中修修正正，在在一一般般情情况况下下最最后后测测量量结结果果不不应含有已定系统误差的内容。应含有已定系统误差的内容。 （2 2）不确定系统误差的合成）不确定系统误差的合成 不不确确定定系系统统误误差差又又称称未未定定系系统统误误差差，指指测测量量误误差差既既具具有有系系
15、统统误误差差可可知知的的一一面面，又又具具有有不不可可预预测测的的随随机机误误差差一一面面。在在通通常常情情况况下下，未未定定系系统统误误差差多多以以极极限限误差的形式给出误差的最大变化范围。误差的形式给出误差的最大变化范围。绝对值合成法绝对值合成法：当当m m大于大于1010时，合成误差估计值往往偏大。一般应时，合成误差估计值往往偏大。一般应用于用于m m小于小于1010。表达式：表达式：(2)(2)方和根合成法方和根合成法一般应用于一般应用于m m大于大于1010。表达式：表达式：例例5 5：0.5级，量程级，量程0600kPa，分度值，分度值2kPa，h=0.05m，读数，读数300kP
16、a，指，指针来回摆动针来回摆动1个格，环境温度个格，环境温度30C，偏离，偏离1C的附加误差为基本的附加误差为基本误差的误差的4%。 1 1）仪表精度等级引起的误差：）仪表精度等级引起的误差：2 2）读数误差（即分度误差）读数误差（即分度误差) 2kpa) 2kpa3)3)环境温度引起误差：环境温度引起误差：4)4)安装位置引起的误差：安装位置引起的误差：前前三三项项属属于于未未定定系系统统误误差差，最最后后一一项项属属于于已定系统误差。已定系统误差。前三项按绝对值合成法：前三项按绝对值合成法：3 3随机误差与系统误差的合成随机误差与系统误差的合成其中其中为已定系统误差，为已定系统误差，e为未
17、定系统误为未定系统误差，差，l为随机误差的极限误差。为随机误差的极限误差。二间接测量的误差传递二间接测量的误差传递研究函数误差一般有以下三个内容：研究函数误差一般有以下三个内容：已已知知函函数数关关系系及及各各个个测测量量值值的的误误差差，求求函数即间接测量的误差。函数即间接测量的误差。已已知知函函数数关关系系及及函函数数的的总总误误差差，分分配配各各个测量值的误差。个测量值的误差。确定最佳测量条件，使函数误差达到最确定最佳测量条件，使函数误差达到最小。小。1函数误差传递的基本公式函数误差传递的基本公式o假设间接测量的数学表达式为：假设间接测量的数学表达式为：将上式按泰勒级数展开将上式按泰勒级
18、数展开直接测量值直接测量值间接测量值间接测量值略去高阶项略去高阶项绝对误差：绝对误差：相对误差：相对误差：1函数误差传递的基本公式函数误差传递的基本公式2系统误差的函数传递系统误差的函数传递o当当系系统统误误差差为为已已定定系系统统误误差差时时将将各各直直接接测测量量的的系系统统误误差差代代入入上上式式计计算算即即可可。当当系系统统误误差差为为未未定定系系统统误误差差，当当各各分分项项数数小小于于10可可采采用用绝绝对对和和法法，当当各各分分项数大于项数大于10可采用方和根法。可采用方和根法。绝对和法：绝对和法：方和根法方和根法：（1）和差函数的误差传递和差函数的误差传递 设设 ，则绝对误差则
19、绝对误差若误差符号不确定若误差符号不确定：相对误差相对误差：（2）积函数误差传递积函数误差传递 设设 ， 则绝对误差则绝对误差若误差符号不确定若误差符号不确定：相对误差：相对误差：（3）商函数误差传递商函数误差传递设设 ，则绝对误差，则绝对误差相对误差：相对误差：若误差符号不确定：若误差符号不确定：（4）幂函数的误差传递幂函数的误差传递 设设 ，则绝对误差，则绝对误差相对误差相对误差：若误差符号不确定：若误差符号不确定：例例6：已知：已知：R1=1k，R2=2k， 求求 解：解：结论：相对误差相同的电阻串联后总电阻的结论：相对误差相同的电阻串联后总电阻的相对误差保持不变。相对误差保持不变。 例
20、例7 7：温温度度表表量量程程为为100100，精精度度等等级级1 1级级，t t1 1=65=65，t t2 2=60=60，计算温差的相对误差。，计算温差的相对误差。解解1 1： 已知已知 ， ， ， ，求，求 。解：解：例例8：3随机误差的函数传递随机误差的函数传递已已知知各各个个直直接接测测量量的的标标准准误误差差 ， ， ，则，则 部分误差部分误差相对误差相对误差三间接测量的误差分配三间接测量的误差分配解解决决误误差差分分配配问问题题。通通常常采采取取的的方方法法为为等作用原则，等作用原则，调整原则调整原则。所所谓谓等等作作用用原原则则，即即假假设设各各直直接接测测量量的的部部分误差
21、相等分误差相等D D1 1=D=D2 2=D Dn n按照等作用原则进行误差分配并不合理，主要原因，按照等作用原则进行误差分配并不合理，主要原因，在实际应用中，有些量达到高精度测量比较困难，在实际应用中，有些量达到高精度测量比较困难，要付出很高代价，而有些则相对较容易。故需要根要付出很高代价，而有些则相对较容易。故需要根据实际情况进行调整。据实际情况进行调整。 例例9：散散热热器器装装置置： ，设设计计工工况况L=50L/h，进出口温差，进出口温差 。 按照题意，误差应写成极限误差的形式。即按照题意，误差应写成极限误差的形式。即分析分析：直接测量为流量：直接测量为流量L，散热器进出口，散热器进
22、出口温度温度t1、t2。间接测量为热量。间接测量为热量Q。要求测。要求测量误差小于等于量误差小于等于10%。o按按照照等等作作用用原原则则，可可得得流流量量及及温温差差的的部部分分误误差分别为差分别为7.1%。o再根据实际情况选择调整。再根据实际情况选择调整。第五节第五节测量数据的处理测量数据的处理一有效数字的处理一有效数字的处理1有有效效数数字字：从从数数字字的的左左边边第第一一个个不不为为零零的的数数字字起起，到右面最后一个数字（包括零）止。到右面最后一个数字（包括零）止。2舍舍入入原原则则：小小于于5舍舍，大大于于5入入，等等于于5时时采采取取偶偶数法则。数法则。12.5写作写作12；1
23、3.5写作写作143有效数字的运算规则有效数字的运算规则：运算时各个数据保留的位数：运算时各个数据保留的位数一般以精度最差的那一项为基准。加减法运算以一般以精度最差的那一项为基准。加减法运算以小数点后位数最少的为准。乘除法运算以有效数小数点后位数最少的为准。乘除法运算以有效数字位数最少的数为准。乘方、开方运算结果比原字位数最少的数为准。乘方、开方运算结果比原数多保留一位有效数字。数多保留一位有效数字。二等精度测量结果的处理二等精度测量结果的处理 处理步骤处理步骤：1）利利用用修修正正值值等等方方法法对对测测得得值值进进行行修修正正；将数据列成表格。将数据列成表格。3）列出残差：）列出残差： ，
24、并验证，并验证2）求算术平均值：）求算术平均值：4）计算标准偏差：）计算标准偏差：5）按按照照 原原则则判判断断测测量量数数据据是是否否含含有有粗粗差差，若若有有则则予予以以剔剔除除并并转转到到2从从新新计计算，直到没有坏值为止。算，直到没有坏值为止。6）根根据据残残差差的的变变化化趋趋势势判判断断是是否否含含有有系系统统误误差差，若若有有应应查查明明原原因因，消消除除后后从从新新测量。测量。7）求算术平均值的标准偏差：）求算术平均值的标准偏差：8）写出最终结果表达式。）写出最终结果表达式。二等精度测量结果的处理二等精度测量结果的处理例题例题 使用某水银玻璃棒温度计测量室温，共进行使用某水银玻
25、璃棒温度计测量室温，共进行了了16次等精度测量，测量结果列于表中。该次等精度测量，测量结果列于表中。该温度计的检定书上指出该温度计具有温度计的检定书上指出该温度计具有0.05的恒定系统误差。请写出最后的测量结果。的恒定系统误差。请写出最后的测量结果。例题解答（1）例题解答（2）1.判断是否存在粗大误差判断是否存在粗大误差2.修正恒定系统误差修正恒定系统误差3.求求出出算术平均值，算术平均值，205.304.计算残差，列于表中计算残差，列于表中5.计算标准偏差（计算标准偏差（最佳估计值最佳估计值）6.判断有无坏值，剔除坏值。判断有无坏值，剔除坏值。7.重新计算残差，列于表中。重新计算残差，列于表
26、中。8.重新计算标准偏差。重新计算标准偏差。9.对残差做图，判断有无系统误差。对残差做图，判断有无系统误差。10.计算算术平均值的标准偏差（最佳估计值）。计算算术平均值的标准偏差（最佳估计值）。11.写出测量结果写出测量结果例题解答（3）作业作业11.某某蒸蒸汽汽供供热热系系统统的的蒸蒸汽汽压压力力控控制制指指标标为为1.5Mpa，要要求求指指示示误误差差不不大大于于+0.05Mpa，现现用用一一只只刻刻度度范范围围为为02.5Mpa，精精度度等等级级为为2.5级级的的压压力力表表，是是否否满满足足使使用用要要求求？为为什什么么？应应选选用用什什么么级别的仪表？级别的仪表？2.测测量量孔孔板板
27、内内径径得得测测量量数数据据为为：25.34，25.45，24.97，24.86，25.23，24.89，25.06，24.91，25.13（单单位位mm），试试求求孔孔板板的的真真实实内径。内径。3.采用仪表精度等级均为采用仪表精度等级均为1级的表间接测量电阻上消耗级的表间接测量电阻上消耗的功率。采用以下三种方法测量，分别计算功率的的功率。采用以下三种方法测量，分别计算功率的相对误差，再比较讨论。相对误差，再比较讨论。（1）测量电流）测量电流I和电压和电压V。（2）测量电阻）测量电阻R和电流和电流I。（3）测量电阻）测量电阻R和电压和电压V。4.采采用用毕毕托托管管测测管管道道内内流流速速，总总压压和和静静压压的的测测量量值值分分别别为为（单单位位：Kpa）总总压压P为为：150.1，150.4，151.1，151.3，150.8，151.9。静静压压Pj为为：113.1， 112.0， 113.8， 112.9， 113.3，112.5。密密度度=1000kg/m3，根根据据流流速速公公式式，求流速的最优概值并估计其误差。求流速的最优概值并估计其误差。
