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1、高考微专题六求轨迹方程高考微专题六求轨迹方程求曲线方程的一般步骤求曲线方程的一般步骤(1)(1)建立适当的坐标系建立适当的坐标系建系建系; ;(2)(2)用有序实数对用有序实数对(x,y)(x,y)表示曲线上任意一点的坐标表示曲线上任意一点的坐标设点设点; ;(3)(3)写出适合条件的点的集合写出适合条件的点的集合, ,并用坐标表示这一条件并用坐标表示这一条件, ,建立方程建立方程f(x,y)=0f(x,y)=0列式列式; ;(4)(4)化简方程化简方程f(x,y)=0f(x,y)=0为最简形式为最简形式化简化简; ;(5)(5)检验以化简后的方程的解为坐标的点是否都在曲线上检验以化简后的方程
2、的解为坐标的点是否都在曲线上检验检验. .方法一直接法方法一直接法【例例1 1】 已知动点已知动点P(x,y)P(x,y)与一定点与一定点F(1,0)F(1,0)的距离和它到一定直线的距离和它到一定直线l:x=4l:x=4的距离的距离之比为之比为 , ,求动点求动点P(x,y)P(x,y)的轨迹的轨迹C C的方程的方程. .方法点睛方法点睛求轨迹方程通常是五步曲求轨迹方程通常是五步曲: :建、设、列、代、化建、设、列、代、化, ,其中其中“建建”是建立适当的是建立适当的坐标系坐标系, ,“设设”是设曲线上的任一点坐标是设曲线上的任一点坐标, ,“列列”是列等量关系式是列等量关系式, ,“代代”
3、是是利用公式代入等量关系式利用公式代入等量关系式, ,“化化”是将所列等式进行化简是将所列等式进行化简. .方法二定义法方法二定义法【例例2 2】 已知圆已知圆C:(x-3)C:(x-3)2 2+y+y2 2=100=100及点及点A(-3,0),PA(-3,0),P是圆是圆C C上任一点上任一点, ,线段线段PAPA的垂直的垂直平分线平分线l l与与PCPC相交于相交于Q Q点点, ,则则Q Q点的轨迹方程是点的轨迹方程是. .方法点睛方法点睛在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时, ,要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹问要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹问题中的作用题中的
4、作用, ,只要动点满足已知曲线定义只要动点满足已知曲线定义, ,通过其几何性质就可以直接得出通过其几何性质就可以直接得出方程方程. .熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键. .【例例3 3】 在平面直角坐标系内在平面直角坐标系内, ,动圆动圆C C过定点过定点F(1,0),F(1,0),且与定直线且与定直线x=-1x=-1相切相切, ,求动求动圆圆心圆圆心C C的轨迹方程的轨迹方程. .解解: :由题意可知由题意可知, ,圆心圆心C C到定点到定点F(1,0)F(1,0)的距离与到定直线的距离与到定直线x=-1x=-1的距离相等的距离
5、相等, ,故所求曲线是抛物线故所求曲线是抛物线. .该抛物线以该抛物线以F(1,0)F(1,0)为焦点为焦点, ,直线直线x=-1x=-1为准线为准线, ,故所求动圆圆心故所求动圆圆心C C的轨迹方程为的轨迹方程为y y2 2=4x.=4x.方法三参数法方法三参数法【例例4 4】 斜率为斜率为1 1的直线与抛物线的直线与抛物线y y2 2=2x=2x交于不同两点交于不同两点A,B,A,B,求线段求线段ABAB中点中点M M的轨迹的轨迹方程方程. .方法点睛方法点睛如果采用直接法求轨迹方程难以奏效如果采用直接法求轨迹方程难以奏效, ,则可寻求引发动点则可寻求引发动点P P运动的某个几何量运动的某
6、个几何量t,t,以此量作为参数以此量作为参数, ,分别建立分别建立P P点坐标中的点坐标中的x,yx,y与该参数与该参数t t的函数关系的函数关系x=f(t),x=f(t),y=g(t),y=g(t),进而通过消参化为轨迹的普通方程进而通过消参化为轨迹的普通方程F(x,y)=0.F(x,y)=0.方法点睛方法点睛此类问题的求解关键在于准确把握主动点和从动点坐标之间的关系此类问题的求解关键在于准确把握主动点和从动点坐标之间的关系, ,一般一般来说所求的是从动点的轨迹来说所求的是从动点的轨迹, ,所以需要用从动点的坐标表示主动点的坐标所以需要用从动点的坐标表示主动点的坐标, ,然后把主动点的坐标代
7、入已知曲线的方程即可然后把主动点的坐标代入已知曲线的方程即可. .方法五交轨法方法五交轨法【例例6 6】 在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy上取两个定点上取两个定点A A1 1(-2,0),A(-2,0),A2 2(2,0),(2,0),再取两个动点再取两个动点N N1 1(0,(0,m),Nm),N2 2(0,n),(0,n),且且mn=3,mn=3,求直线求直线A A1 1N N1 1与与A A2 2N N2 2交点的轨迹交点的轨迹M M的方程的方程. .方法点睛方法点睛在求动点轨迹时在求动点轨迹时, ,有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题, ,这类问题通常通过这类问题通常通过解方程组得出交点解方程组得出交点( (含参数含参数) )的坐标的坐标, ,再消去参数求得所求的轨迹方程再消去参数求得所求的轨迹方程( (若能直若能直接消去两方程的参数接消去两方程的参数, ,也可直接消去参数得到轨迹方程也可直接消去参数得到轨迹方程),),该法经常与参数法该法经常与参数法并用并用. .
