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1、4.12 4.12 双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换在某些情况下，有时还要考虑双边时间函数，如周期信号、平稳随机过程等，或是在某些情况下，有时还要考虑双边时间函数，如周期信号、平稳随机过程等，或是不符合因果律的理想系统，这时就需要用双边拉普拉斯变换来分析。不符合因果律的理想系统，这时就需要用双边拉普拉斯变换来分析。1 1、双边拉普拉斯变换的定义、双边拉普拉斯变换的定义 是一个双边函数，可将其分解为右边函数和左边函数之和是一个双边函数，可将其分解为右边函数和左边函数之和则有则有2021/6/41若若、同时存在，且二者有公共收敛域，则同时存在，且二者有公共收敛域，则的的双边拉氏变换为双边拉氏变换为
2、右边函数右边函数的拉氏变换的拉氏变换和左边函数和左边函数拉氏变换拉氏变换之和。之和。 如如与与没有公共收敛域，则没有公共收敛域，则的双边拉氏变换就的双边拉氏变换就不存在不存在。2 2、如何求左边函数的拉氏变换、如何求左边函数的拉氏变换 令令，则上式成为，则上式成为再令再令，则上式成为，则上式成为2021/6/42综上所述，求取左边函数的拉氏变换综上所述，求取左边函数的拉氏变换可按下列三个步骤进行：可按下列三个步骤进行： （1 1）令）令，构成右边函数，构成右边函数；（2 2）对）对求单边拉氏变换得求单边拉氏变换得；（3 3）对复变量）对复变量取反，即取反，即，就求得，就求得。例例1 1 求双边
3、指数函数求双边指数函数，的双边拉普拉斯变换。的双边拉普拉斯变换。解：首先求右边函数的拉氏变换解：首先求右边函数的拉氏变换左边函数的拉氏变换左边函数的拉氏变换求取如下：求取如下：（1 1）；（2 2） （3） 2021/6/43因为，所以和有公共收敛域， 故存在并为2021/6/44二二. . 双边拉普拉斯反变换双边拉普拉斯反变换例例2 2 求求，的时间原函数。收敛域分别为，的时间原函数。收敛域分别为（1 1）（2 2）（3 3）解：（解：（1 1）由极点分布和给定收敛域作下图。可见，左侧极点为）由极点分布和给定收敛域作下图。可见，左侧极点为，右侧极点为，右侧极点为。左侧的极点对应于左侧的极点对
4、应于的右边函数的右边函数将将展开成部分分式有展开成部分分式有 右侧的极点对应于右侧的极点对应于的左边函数的左边函数2021/6/45 对应于对应于的是左边函数的是左边函数，的求取如下的求取如下 令令，得，得； 对对求单边拉氏反变换，得求单边拉氏反变换，得 令令，即，即最后得其解为最后得其解为2021/6/46三三. . 双边信号作用下线性系统的响应双边信号作用下线性系统的响应例例3 3 已知激励信号已知激励信号，系统冲激响应为，系统冲激响应为，求系统的响应。，求系统的响应。解：由双边拉氏变换有解：由双边拉氏变换有而而 可见，可见，与与有公共收敛域有公共收敛域 ， 故故存在，则有存在，则有由收敛
5、域可知，由收敛域可知，为右侧极点，对应的左边时间函数为为右侧极点，对应的左边时间函数为2021/6/47均均为右右侧极点，极点，对应的右的右边时间函数函数为故系统的响应故系统的响应2021/6/48例例2021/6/492021/6/4104.13 4.13 拉普拉斯变换与傅里叶拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系变换的关系若信号是有始信号，可从已知的单边拉氏变换求傅氏变换若信号是有始信号，可从已知的单边拉氏变换求傅氏变换双边拉氏变换双边拉氏变换单边拉氏变换单边拉氏变换傅氏变换傅氏变换2021/6/411收敛边界落于收敛边界落于s平面右半边平面右半边单边拉氏变换收敛域单边拉氏变换收敛域对应增长函数的
6、情况对应增长函数的情况不存在傅氏变换不存在傅氏变换2021/6/412收敛边界落于收敛边界落于s平面左半边平面左半边对应衰减函数的情况对应衰减函数的情况存在傅氏变换存在傅氏变换2021/6/413收敛边界位于虚轴收敛边界位于虚轴对应阶跃函数或等幅振荡函数的情况对应阶跃函数或等幅振荡函数的情况存在傅氏变换存在傅氏变换2021/6/414若收敛边界位于虚轴，则极点均在左半平面和虚轴上若收敛边界位于虚轴，则极点均在左半平面和虚轴上1.若虚轴只有单极点若虚轴只有单极点2021/6/415例例2021/6/4162.若虚轴有多重极点若虚轴有多重极点例例2021/6/417部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
