高等数学课件：7-10 欧拉方程

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1、 高等数学（上）高等数学（上）解法：解法：通过变量代换可化为常系数微分方程通过变量代换可化为常系数微分方程. .形如形如的方程的方程( (其中其中叫叫 EulerEuler方程方程. .为常数为常数) )特点：特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子各项未知函数导数的阶数与乘积因子 自变量的次数相同自变量的次数相同三、三、Euler方程方程 高等数学（上）高等数学（上）作变量变换作变量变换将自变量换为将自变量换为 高等数学（上）高等数学（上）用用表示对自变量表示对自变量求导的运算求导的运算上述结果可以写为上述结果可以写为 高等数学（上）高等数学（上）将上式代入欧拉方程，则化为以将上式代入欧拉方程

2、，则化为以 为自变量为自变量的常系数线性微分方程的常系数线性微分方程. . 求出这个方程的解后，求出这个方程的解后，把把 换为换为 ，即得到原方程的解即得到原方程的解. .一般地，一般地，例例求欧拉方程求欧拉方程的通解的通解解解 作变量变换作变量变换 高等数学（上）高等数学（上）原方程化为原方程化为即即或或( (1)1)方程方程(1)(1)所对应的齐次方程为所对应的齐次方程为其特征方程其特征方程 高等数学（上）高等数学（上）特征方程的根为特征方程的根为所以齐次方程的通解为所以齐次方程的通解为设特解为设特解为代入代入(1)方程，得方程，得所给所给Euler方程的通解为方程的通解为 高等数学（上）高等数学（上）二、小结欧拉方程解法思路欧拉方程解法思路变系数的线变系数的线性微分方程性微分方程常系数的线常系数的线性微分方程性微分方程变量代换变量代换注意：欧拉方程的形式注意：欧拉方程的形式