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1、1第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 51 引言引言 52 纯纯弯曲时的正应力弯曲时的正应力53 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力54 弯曲切应力弯曲切应力55 提高提高弯曲强度的措施弯曲强度的措施255 引言引言1、纯弯曲与横力弯曲的概念、纯弯曲与横力弯曲的概念（1）纯弯曲）纯弯曲即梁发生弯曲变形时横截面上只有弯矩，而无剪力的情况。即梁发生弯曲变形时横截面上只有弯矩，而无剪力的情况。（此时横截面上只有正应力，而无切应力。）（此时横截面上只有正应力，而无切应力。）（2）横力弯曲）横力弯曲即梁发生弯曲变形时横截面上既有弯矩，又有剪力的情况。即梁发生弯曲变形时横截面上既有弯矩，又有剪力的情况。（此
2、时横截面上既有正应力，又有切应力。）（此时横截面上既有正应力，又有切应力。）3CD段为段为纯弯曲纯弯曲AC段和段和BD段为段为横力弯曲横力弯曲FSMxx4AB段为段为纯弯曲纯弯曲PPaaABCDFSxPPMxPaAC段和段和BD段为段为横力弯曲横力弯曲52、弯曲变形的平面假设、弯曲变形的平面假设6各纵向线由直线变成弧线；各纵向线由直线变成弧线；各横向线仍保持为直线，发生相对转动；各横向线仍保持为直线，发生相对转动；各横向线仍然垂直于变形后的弧线。各横向线仍然垂直于变形后的弧线。（1）实验前：）实验前：绘纵向线，横向线；绘纵向线，横向线；在纵向对称面内施加一对外力偶在纵向对称面内施加一对外力偶
3、。（2）实验后：）实验后：7变形前原为平面的梁的横截变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且面变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后的梁的轴线。仍垂直于变形后的梁的轴线。平面假设平面假设横截面变形后仍为平面，只是横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。高处，变形相等。对于纯弯曲对于纯弯曲，认为各纵向纤维，认为各纵向纤维之间无挤压，仅承受拉应力或压之间无挤压，仅承受拉应力或压应力。即应力。即纵向纤维间无正应力，纵向纤维间无正应力，只有横截面上有正应力。只有横截面上有正应力。（4）推论：）推论：（3）结论：）结论：84、中性层与中性轴
4、、中性层与中性轴（1）中性层）中性层（2）中性轴）中性轴即当杆件发生弯曲变形时，沿轴线方向既不伸长又不缩即当杆件发生弯曲变形时，沿轴线方向既不伸长又不缩短的短的一层一层。即中性层与横截面的即中性层与横截面的交线交线。中性层纵向对称面中性轴9552 2 纯纯弯曲时的正应力弯曲时的正应力1. 1. 变形几何关系变形几何关系bdacabcdMM10) ) ) )O1O1) )abcdABOOydxA1B1O1O1dq qr ry 可见，纵向纤维的应变与它到可见，纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比。中性层的距离成正比。rey=112. 物理关系物理关系 可知，纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正
5、可知，纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。比。在横截面上，任意点的正应力与该点到中性轴的距在横截面上，任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。即沿截面高度，正应力按线性规律变化。离成正比。即沿截面高度，正应力按线性规律变化。 纵向纤维之间无正应力，所以每纵向纤维之间无正应力，所以每一纤维都是单向拉伸或压缩。当应力一纤维都是单向拉伸或压缩。当应力小于比例极限时，由胡克定律：小于比例极限时，由胡克定律：123. 静力学关系静力学关系即中性轴（即中性轴（z 轴）一定通过截面形心。轴）一定通过截面形心。z zx xy yz zy ydAdAO OM13其中，其中，EIz 称为称为梁的梁的抗弯刚
6、度抗弯刚度。因因 y 轴是对称轴，上式自然成立。轴是对称轴，上式自然成立。zxyzydAO OM14联立以上几式，可得梁纯弯曲时横截面上正应力的联立以上几式，可得梁纯弯曲时横截面上正应力的计算公式为：计算公式为：其中，其中，为拉应力还是压应力可由梁的变形确定。为拉应力还是压应力可由梁的变形确定。公式适用条件：公式适用条件：（1 1）纵向对称面内的纯弯曲；）纵向对称面内的纯弯曲；（2 2）应力小于比例极限（线弹性范围内）。）应力小于比例极限（线弹性范围内）。正应力正应力的正负号：的正负号：由变形直接判断：以中性层为界，梁在凸出一侧由变形直接判断：以中性层为界，梁在凸出一侧为为拉应力为正；在凹入一
7、侧拉应力为正；在凹入一侧为压应力为负。为压应力为负。15553 3 横力横力弯曲时的正应力弯曲时的正应力1.1.计算公式计算公式2.2.弯曲正应力强度条件（以等截面梁为例）弯曲正应力强度条件（以等截面梁为例）工作正应力最大值工作正应力最大值许用正应力许用正应力对于细长梁对于细长梁( (l / h 5) )，有：，有：16引入记号：引入记号：称为称为抗弯截面系数抗弯截面系数则弯曲正应力强度条件可改写为：则弯曲正应力强度条件可改写为：3.3.弯曲正应力强度条件的应用（以等截面梁为例）弯曲正应力强度条件的应用（以等截面梁为例） 校核强度校核强度：设计截面尺寸：设计截面尺寸：确定许可载荷：确定许可载荷
8、：17弯曲正应力强度条件的几点说明：弯曲正应力强度条件的几点说明：（1 1）对于非等直梁，危险点的应力）对于非等直梁，危险点的应力max应由应由 确定确定。（2 2）对于抗拉压性能相同的材料，只要绝对值最大的正应）对于抗拉压性能相同的材料，只要绝对值最大的正应力不超过许用应力即可；对于抗拉压性能不同的材料，则力不超过许用应力即可；对于抗拉压性能不同的材料，则拉和压的最大正应力都不应超过各自的许用应力。拉和压的最大正应力都不应超过各自的许用应力。4.4.抗弯截面系数抗弯截面系数Wz的计算讨论的计算讨论（1 1）矩形截面）矩形截面危险点：矩形顶边和底边上的所有点。危险点：矩形顶边和底边上的所有点。
9、hbz18（2 2）实心圆形截面）实心圆形截面（3 3）空心圆形截面）空心圆形截面其中其中为内外径之比，即：为内外径之比，即：危险点：在圆周外缘上下两个点危险点：在圆周外缘上下两个点A和和B上。上。zDA AB BzdDA AB B危险点：在大圆周外缘上下两个点危险点：在大圆周外缘上下两个点A和和B上。上。19例例1 受均布载荷作用的简支梁如受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：图所示，试求：（1）11截面上截面上1、2两点的正应两点的正应力；力；（2）此截面上的最大正应力；）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；）全梁的最大正应力；（4）已知）已知E=200GPa，求，求11截截面处
10、中性层的曲率半径。面处中性层的曲率半径。q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax解：解：画M图求截面弯矩12120180zy3020q=60kN/mAB1m2m11求应力12120zy18030xM+M1Mmax21求曲率半径q=60kN/mAB1m2m111212018030xM+M1Mmax22解：解：画弯矩图并求危面内力画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kN.m4kN.mMy1y2GA1A2A4A3例例2 T 字形截面的铸铁梁受力如字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的图，铸铁的 L=30MPa， Y=60 MPa，其截面形心位于，其截面形
11、心位于G点，点，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。，试校核此梁的强度。并说明并说明T字梁怎样放置更合理？字梁怎样放置更合理？423校核强度T字头在上面合理。y1y2GA3A4y1y2GA1A2A4A3x2.5kN.m4kN.mM24554 4 弯曲切应力弯曲切应力一、矩形截面一、矩形截面梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力1 1、两点假设：、两点假设： 切应力与剪力平行；切应力与剪力平行；切应力沿截面宽度均匀分布。切应力沿截面宽度均匀分布。2 2、研究方法：分离体平衡。、研究方法：分离体平衡。图图a图图bFS(x)M(x)M(x)+d M(x)FS(x)
12、dxy在微段上取一块如图在微段上取一块如图c c，平衡，平衡在梁上取微段如图在梁上取微段如图b b；dxxxzyb图图c25dxx图图a由切应力互等，得：由切应力互等，得：图图bFS(x)M(x)M(x)+d M(x)FS(x)dxyxzyb图图c26FS方向：与横截面上剪力方向相同；方向：与横截面上剪力方向相同；大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h按按抛物线规律变化。抛物线规律变化。最大切应力为平均切应力的最大切应力为平均切应力的1.51.5倍。倍。二、其它截面梁二、其它截面梁横截面上的切应力横截面上的切应力1 1、研究方法与矩形截面同、研究方法与矩形截面同;
13、;切应力的计算公式亦为：切应力的计算公式亦为：其中，其中，FS为截面剪力；为截面剪力； 为距中性轴距离为为距中性轴距离为y的横线以下的面积对中的横线以下的面积对中性轴之静矩性轴之静矩； Iz为整个截面对为整个截面对z轴之惯性矩轴之惯性矩；b 为截面宽度。为截面宽度。272 2、几种常见截面的最大弯曲切应力、几种常见截面的最大弯曲切应力工字形截面：工字形截面：。maxA FSt tf结论：结论： 翼缘部分翼缘部分t tmaxmax腹板上的腹板上的t tmaxmax，只计算腹板上的只计算腹板上的t tmaxmax。 铅垂切应力主要腹板承受（铅垂切应力主要腹板承受（95-97%95-97%），且），
14、且t tmax max t tminmin 故工字钢最大切应力故工字钢最大切应力Af 腹板的面积。;maxA FSt tf圆截面：圆截面：28三、梁的弯曲切应力强度条件三、梁的弯曲切应力强度条件工作最大切应力工作最大切应力许用切应力许用切应力圆截面：圆截面：矩形截面：矩形截面：工字形截面：工字形截面：一般说，最大切应力发生在剪力绝对值最大截面的中性轴处。一般说，最大切应力发生在剪力绝对值最大截面的中性轴处。29铆接、焊接或胶合而成的组合梁，其铆接、焊接或胶合而成的组合梁，其焊缝、胶合面、铆钉焊缝、胶合面、铆钉等一般要校核切应力强度。等一般要校核切应力强度。梁的跨度较短，梁的跨度较短，M 较小，
15、而较小，而FS较大时，较大时，即指短粗梁，即指短粗梁，又叫深梁，又叫深梁，一般要校核切应力强度。一般要校核切应力强度。各向异性材料各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，一般（如木材）的抗剪能力较差，一般要校核切要校核切应力强度。应力强度。需要校核弯曲切应力强度的几种特殊情况：需要校核弯曲切应力强度的几种特殊情况：30 在梁的弯曲强度计算中应注意：在梁的弯曲强度计算中应注意：（1 1）对受弯曲的梁来说，一般弯矩是主要的，所以无论强度）对受弯曲的梁来说，一般弯矩是主要的，所以无论强度校核还是设计截面，校核还是设计截面，首先按正应力强度条件进行，然后进行切首先按正应力强度条件进行，然后进行切应力校核
16、。应力校核。（2 2）对）对塑性材料塑性材料而言，由于材料的抗拉和抗压的性能相同，而言，由于材料的抗拉和抗压的性能相同，因此因此对等截面直梁来说，危险截面仅一个对等截面直梁来说，危险截面仅一个，即弯矩值最大的截，即弯矩值最大的截面。截面上的面。截面上的危险点也仅此截面上一点，即危险点也仅此截面上一点，即 所在的点。所在的点。（3 3）对）对脆性材料脆性材料而言，由于材料的拉伸强度极限和压缩强度而言，由于材料的拉伸强度极限和压缩强度极限不相等，因此极限不相等，因此对等截面直梁对等截面直梁来说，来说，危险截面有两个危险截面有两个，正弯，正弯矩最大的截面和负弯矩最大的截面。而矩最大的截面和负弯矩最大
17、的截面。而每个危险截面上危险点每个危险截面上危险点有两个有两个，即，即 所在点，因此要满足全梁强度，必须这所在点，因此要满足全梁强度，必须这4 4点的强度均满足。点的强度均满足。31（4 4）无论什么材料，对等截面直梁而言，）无论什么材料，对等截面直梁而言，切应力强度条件仅切应力强度条件仅一个，在一个，在 的截面中性轴处。的截面中性轴处。（5 5）强度条件中的许用应力）强度条件中的许用应力 ，是在轴向拉伸（压缩）条，是在轴向拉伸（压缩）条件下得出，实际上弯曲时的许用应力要大于轴向拉伸（压缩）件下得出，实际上弯曲时的许用应力要大于轴向拉伸（压缩）时的许用应力，这是因为弯曲时横截面上应力并非均匀分
18、布，时的许用应力，这是因为弯曲时横截面上应力并非均匀分布，因此一般弯曲计算中用轴向拉伸（压缩）的因此一般弯曲计算中用轴向拉伸（压缩）的 是偏于安全的。是偏于安全的。32解：画内力图求危面内力例例3 矩形矩形(b h=0.12m 0.18m）截截面木梁如图，面木梁如图， =7MPa， =0. 9 M Pa，试求最大，试求最大正应力和最大正应力和最大切应力之比切应力之比,并校核梁的强度。并校核梁的强度。q=3.6kN/mABL=3mFS+xxM+Mmax33求最大应力并校核强度应力之比q=3.6kN/mFS+xxM+Mmax34555 5 提高提高弯曲强度的措施弯曲强度的措施弯曲正应力弯曲正应力是
19、控制梁强度的主要因素，故弯曲正应力强度是控制梁强度的主要因素，故弯曲正应力强度条件是设计梁的主要依据。条件是设计梁的主要依据。对于等直梁，有：对于等直梁，有：对于非等直梁，有：对于非等直梁，有：由此可知，要提高梁的承载能力，应从以下三方面考虑：由此可知，要提高梁的承载能力，应从以下三方面考虑：1. 1. 合理安排梁的受力，降低合理安排梁的受力，降低Mmax。2. 2. 采用合理截面形状，提高采用合理截面形状，提高Wz。3. 3. 采用等强度梁。采用等强度梁。35一、合理安排梁的受力一、合理安排梁的受力( (降低降低Mmax) )1 1、合理布置梁的支座、合理布置梁的支座xx36372 2、合理
20、布置载荷、合理布置载荷xx38二、采用二、采用合理合理截面形状（截面形状（提高提高Wz ）常用常用Wz / A衡量截面形状的合理性和经济性。衡量截面形状的合理性和经济性。 Wz / A越越大，截面形状的经济合理性越强。大，截面形状的经济合理性越强。1 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面形状。、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面形状。39（1 1）矩形优于圆形）矩形优于圆形（3 3）工字形、槽形或箱形优于矩形）工字形、槽形或箱形优于矩形（2 2）空心圆优于实心圆）空心圆优于实心圆一般来说，有如下结论：一般来说，有如下结论：zzzzz402 2、根据材料特性选择截面形状、根据材料特性选择截面形状对抗拉压性能相同的材料，截面形状一般关于中性轴对称；对抗拉压性能相同的材料，截面形状一般关于中性轴对称；对抗拉压性能不同的材料，中性轴一般偏向截面一侧。对抗拉压性能不同的材料，中性轴一般偏向截面一侧。zzs szGzy1y2zx41对这类截面，当：时，最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力。42三、采用等强度梁三、采用等强度梁Px即：即：4344
