教学课件第2章离散时间信号与系统的Z域分析

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1、第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析1/186第第2 2章章 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析2.1 Z2.1 Z变换的定义及收敛域变换的定义及收敛域2.2 Z2.2 Z反变换反变换2.3 Z2.3 Z变换的性质与定理变换的性质与定理2.4 Z2.4 Z变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系的关系2.52.5傅里叶变换的定义及性质傅里叶变换的定义及性质2.62.6利用利用Z Z变换求解差分方程变换求解差分方程2.72.7离散时间系统的系统函数和频率响应离散时间系统的系统函数和频率响应第第2 2章离散时间信

2、号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析2/186 在离散时间信号与系统中，在离散时间信号与系统中， 变换法是变换域变换法是变换域分析法中最重要的一种。分析法中最重要的一种。 变换在离散时间信号与变换在离散时间信号与系统中的作用就如同拉普拉斯变换在连续时间信号系统中的作用就如同拉普拉斯变换在连续时间信号与系统中的作用。它把描述离散时间系统的差分方与系统中的作用。它把描述离散时间系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。 变换的概念可以从理想抽样信号的拉普拉斯变换引变换的概念可以从理想抽样信号的拉普拉斯变换引出，也可以在离散域直接给

3、出。出，也可以在离散域直接给出。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析3/1862.1变换的定义及收敛域2.1.1 z变换的定义一个序列的变换定义为其中，是一个连续复变量，也就是说，变换是在复频域内对离散时间信号与系统进行分析。由定义可见，是一个复变量的幂级数。亦可将变换表示成算子的形式：第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析4/186基于此，变换算子可以看作是将序列变换为函数，二者之间的相应关系可记为由式（2.1.1）所定义的z变换称为双边z变换，与此相对应的单边z变换则定义为（2.1.2）显然，只有为因果序列（即）时，其单

4、边z变换与双边z变换才是相等的。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析5/1862.1.2 z变换的收敛域1 1、收敛域的定义、收敛域的定义由定义式，只有幂级数收敛时，z变换才有意义。对于任意给定的序列，使其z变换所定义的幂级数收敛的所有z值的集合称为的收敛域。收敛的充分且必要条件是绝对可和收敛的充分且必要条件是绝对可和，即第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析6/186为使上式成立，就须确定取值的范围，即收敛域。由于为复数的模，则可以想象出收敛域为一圆环状区域，即其中，、称为收敛半径，可以小到0，而可以大到。式（2.1.4）

5、的平面表示如图2.1.1所示。图2.1.1 环状收敛域jIm（z）Re（z）第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7/186常见的一类z变换是有理函数，即使的那些z值称为的零点，而使的那些z值称为的极点。零点、极点也可能包含处的点。由于在收敛域内是解析函数，所以，收敛域内不包含极点。所以，收敛域内不包含极点。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析8/1862、序列形式与其、序列形式与其z变换收敛域的关系变换收敛域的关系 每一项都有界则必有（1） 为有限长序列为有限长序列第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z

6、Z域分析域分析9/186第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析10/186当、时，显然在内的z值都满足该条件，收敛域为除去原点和无穷远点的z平面，如图2.1.1(b)阴影区域所示。当、时，除去原点外的z值都满足条件，收敛域为除去原点的z平面，即；当、时，除去无穷远点的z值都满足条件，收敛域为除去无穷点的z平面，；特殊的，当、时，收敛域为整个z平面，即。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析11/186（2） 为右边序列为右边序列 当 时， 为z的负幂级数，根据级数理论，存在一个收敛半径 ， 在以原点为中心、 为半径的圆外处处收

7、敛，即收敛域为 。此时的 为因果序列，因此， 在无穷远处收敛是因果序列的特征；第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析12/186 当 时， 可写为 上式右端第一项是（1）中讨论过的有限长序列的z变换，其收敛域为 ；第二项为 的负幂级数，同样其收敛域为 。因此， 的收敛域为二者的重叠区域，即 ，如图2.1.3(b)阴影区域所示。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析13/186第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析14/186（3 3） 为左边序列为左边序列当时，为z的正幂级数，根据级数理论，必

8、存在一个最大收敛半径，在以原点为中心、为半径的圆内处收敛，即收敛为；第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析15/186当时，可写为上式右端第一项为z的正幂级数，同样其收敛域为；第二项为（1）中讨论过的有限长序列的z变换，其收敛域为。因此，的收敛域为二者的重叠区域。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析16/186第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析17/186（4 4） 为双边序列为双边序列通过（2）、（3）中的讨论可知，上式第一项为右边序列(因果序列)，其收敛域为；第二项为左边序列，其收敛

9、域为；若，则取交集得到双边序列的收敛域为，这是一个环形的收敛域。如图2.1.5(b)阴影区域所示。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析18/186第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析19/186表2.1.1 序列的形式与z变换收敛域的关系第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析20/1862.1.3 常用序列的z变换（1）单位抽样序列z变换收敛域为整个z平面第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析21/186（2）单位阶跃序列z变换当，即有的零点为，极点为。第

10、第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析22/186（3）单位斜变序列由（2)中讨论可知 将上式两边对z求导得两边同乘以-z得 的z变换第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析23/186当，即（4）右边指数序列这是一个右边序列，其z变换为当 ，即 时，有零点为，极点为第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析24/186（5）左边指数序列这是一个左边序列，其z变换为当 ，即 时，有零点为，极点为第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析25/186（6）双边指数序列该序列

11、的z变换若，则上面的级数收敛，得到第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析26/186该序列的双边z变换的零点位于及，极点位于与处。前已提及,z变换的收敛域内不应该包含任何极点。由上述分析进一步看出，的收敛域内确实不包含任何极点。通常收敛域以极点为边界，对于多个极点的情况：1）右边序列z变换的收敛域一定在模值最大极点所在的圆外，可能包含；2）左边序列z变换的收敛域一定在模最小的极点所在的圆内，可能包含。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析27/1862.2 z2.2 z反变换反变换 与连续时间系统中的拉普拉斯变换类似，在离散时

12、间系统中，应用z变换的目的是为了把描述系统的差分方程转换为复变量z的代数方程，然后写出离散系统的传递函数（z域传递函数）、做某种运算处理，再用z反变换求出离散时间系统的时间响应。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析28/186部分分式展开法 在连续时间信号与系统中，曾用部分分式展开法求解拉普拉斯逆变换，同样在离散时间信号与系统中，当 的表达式为有理分式时，z反变换也可以用部分分式展开法求取。首先将 分解成多个部分分式之和，然后对各部分分式求z反变换，则所求序列 就是各部分分式的z反变换之和。在求各部分分式z反变换时，可利用表2.1.2中的基本z变换对。第第2

13、 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析29/186表示成有理分式形式 展成以下部分分式形式 式中，若 时，才存在整式部分系数 （即上式右边第一项），可用长除法得到，而当 时， ； 为 的各一阶极点； 为 的一个 k阶极点。依据留数定理，可求得系数 , 分别为第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析30/186第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析31/186例例 2.2.12.2.1已知利用部分分式展开法求z反变换。 解：解：第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析32

14、/186所以考虑收敛域知应为右边序列。查表2.1.2中的z变换对，得所求序列为第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析33/186例例 2.2.2 已知，利用部分分式展开法求z反变换。解第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析34/186则上式第一项只有极点，由收敛域中可知，该项的反变换应为右边因果序列，则，第二项只有极点，同样由收敛域中可知，该项的反变换应为左边序列，则，第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析35/186所以，所求序列为或写成由以上分析可见，在求z反变换时，一定要考虑收敛域，注意

15、区别哪些极点对应右边序列，哪些极点对应左边序列。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析36/1862.2.2 幂级数展开法前面已经提到，为的幂级数，即由此可见，在给定的收敛域内，如果将展开为幂级数，那么项的系数就是序列。将展开为幂级数常用的方法有两种。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析37/186 1）按幂级数公式展开）按幂级数公式展开 这种方法是运用已经熟知的幂级数展开公式完成对 的展开，往往多用于 是超越函数的情况，如 是对数、双曲正弦等，这些函数的幂级数展开公式大多已有表格可查。下面通过例子对其进行说明。第第2 2章

16、离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析38/186例例 2.2.32.2.3 求 ， 的反变换 。 解: 依据幂级数展开公式 ， 以及 中的 （由收敛域得到），可得由上式看到， 项的系数是 ，又由收敛域的形式得知， 是一个右边序列，则所求 为第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析39/1862）长除法）长除法 一般为有理分式，用 的分母多项式去除分子多项式就可得到其幂级数形式。在做长除之前，首先应该根据 的ROC判断 是右边序列，还是左边序列，然后决定将 展开z的降幂级数或升幂级数。观察z变换的定义式 ，若 是右边序列，当 时,z的幂逐渐

17、减小，则此时，应该将 展开z的降幂级数；若 是左边序列，当 时，z的幂逐渐增加，则应该将 展开z的升幂级数。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析40/186例例2.2.22.2.2 试用长除法求 ， 的z 反变换 。 解 由表达式知， 只有一个极点 ，且收敛域 在极点所在圆的外部，所以 应为右边序列，则应将 展开成z的降幂级数。运用长除法得第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析41/186即所以 。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析42/186例例2.2.32.2.3 试用长除法求 ，

18、的z反变换 。 解 因为收敛域为环状，所以所求序列为双边序列。对于双边序列可先将其分解为右边序列和左边序列，所以先将 展开成部分分式再长除。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析43/186根据式（2.2.3）求系数 、 则第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析44/186所以 为 观察 的收敛域可知，上式的第一项对应左边序列，第二项对应右边序列。分别运用长除法如下：第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析45/186即第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析46

19、/186 的幂级数形式为所以z反变换 为第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析47/1862.2.3. 围线积分法(留数法) 除了以上讨论的求解z反变换的两种方法外，z反变换也可以用反演积分来计算。现在用复变函数理论来研究 的反变换。 对z变换定义式两端同乘以 ，得对上式两端进行围线积分，可得第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析48/186其中c是一条位于 收敛域内环绕原点的逆时针围线。若级数收敛，交换上式右端的积分与求和次序，得 依据柯西积分定理 则综合得第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域

20、分析49/186将上式的变量k用n代换，得 （2.2.7）这就是围线积分的z反变换公式。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析50/186 直接计算式（2.2.7）的围线积分比较复杂，当 是有理分式时，通常都采用留数定理来求解。若 是被积函数 位于c内的所有极点，则按照留数定理，有第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析51/186若 是被积函数 位于c外的所有极点，且 分母多项式z的阶次比分子多项式z的阶次高两阶或两阶以上，则按照留数辅助定理，有 实际使用中，具体选用哪一个，取决于计算的简便性，一般选用计算一阶极点留数的那一个

21、。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析52/186若是的一阶极点，则有若是的多重（s阶极点），则有需要注意的是，在使用上述两式时，一定要计算 出 位于c内或c外的所有可能的极点处的留数，而且，当n取值不同时， 处极点的阶次可能会发生变化。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析53/186例例2.2.4求，的反变换。解的反变换为由于收敛域为，所以应为因果序列，当时，不是的极点。所以，在收敛域内环绕原点的围线c内只有一阶极点、，则第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析54/186由此得所求序列为

22、第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析55/186例2.2.5试用留数法求，的z反变换。解解c为收敛域内的围线，如图2.2.1所示。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析56/186当时，围线c内只有一个一阶极点，则当时，围线c外只有一个一阶极点，而c内有一个一阶极点以及阶极点，而且第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析57/186综合上述分析，得可见，与例2.2.3结果相同。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析58/1862.3 2.3 变换的性质与定理变

23、换的性质与定理在研究离散时间信号与系统过程中，理解并掌握z变换的一些常用性质与定理是特别重要的。这些性质往往与z变换对结合起来用，使z变换与z反变换的求解过程得到简化。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析59/1861.线性性质线性性质 z变换是一种线性变换，满足均匀性与叠加性，即若则对于任意常数a、b下式成立：收敛域一般是和收敛域的重叠部分。若在这些组合过程中，某些零点与极点相抵消，则收敛域有可能扩大。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析60/186例例2.3.1已知，求其z变换。解依据欧拉公式，得由题知，是一个右边因果

24、序列。查表2.1.2可知第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析61/186由此得综合上述分析，得所求z变换为第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析62/1862移位性质移位性质1）双边）双边z变换变换若序列的双边z变换为，则移位m后的序列的双边z变换为，其中m为任意整数，若m为正，则为右移（延迟）；若m为负，则为左移（超前）。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析63/186证明依据双边z变换的定义，可得可以看出，序列位移只会使新序列的z变换在或处的零极点情况发生变化：当m为正时，在处引入极点

25、，在处引入零点；当m为负时，在处引入极点，在处引入零点。也就是说，的收敛域与的收敛域相同，或可能除外。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析64/186例如，的收敛域为整个z平面，而在处不收敛，在处不收敛。但如果是双边序列，收敛域为环形区域，则序列位移并不会使z变换收敛域发生变化。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析65/1862) 单边单边z变换变换设序列的单边z变换为，则右移k与左移k（k为正整数）后新序列的单边变换分别为第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析66/186（）如果是因果序

26、列，则项都等于零，而且由于因果序列的单边z变换与双边z变换是相同的，于是因果序列右移后的单边z变换为而因果序列左移后的单边z变换为第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析67/186由于在实际中，需处理的信号大多是因果序列，除了移位性质以外，双边z变换的性质大多都适用于单边z变换。另外，从以上分析可知，若序列延迟一个单位，即，新序列的z变换多乘一个，所以，在后续内容中，绘制信号流图时常用表示单位延迟。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析68/186例例2.3.2求序列的z变换。解查表2.1.2可知依据移位性质得因此，依据线性性

27、质得所求为第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析69/1863.序列指数加权性质（序列指数加权性质（z域尺度变换）域尺度变换）此性质描述了序列乘以指数后，其z变换如何变化。若，则有其中a为常数，可以为复数。可见序列x(n)乘以实指数序列等效于z平面尺度展缩。证明证明依据定义得，即收敛域为。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析70/186依据这一性质可见，新序列z变换的零极点的位置均改变了。这是因为如果有一个零点或极点处，则一定有一个零点或极点在，即处。也就是说在z域发生了尺度变换。若a为正实数，则表示零极点位置在z平面内沿径

28、向收缩或扩展；若，则表示零极点在z平面内围绕原点旋转一个角度。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析71/1864.序列的线性加权序列的线性加权(z域微分域微分)若则有证明证明将z定义式两端对z求导得即第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析72/186例例2.3.3求，的z反变换。解将两端对z求导得则查表2.1.2知，依据移位性质得再依据z域微分性质知综合上述两式，得即所求序列为第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析73/1865.共轭序列共轭序列若，则有其中，为的共轭序列。证明第第2 2章离

29、散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析74/1866.反褶序列反褶序列若，则有从上式可见，的收敛域是收敛域的倒置。证明证明即收敛域为。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析75/186例例2.3.4求的z变换。解由题可见，是序列的反褶序列，查表2.1.2知，则依据反褶性质得所求z变换为，第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析76/1867.初值定理初值定理若是因果序列，则其初值为 证明证明依据z变换定义显然由初值定理可以看出，若是因果序列，则根据就可求得；反过来，若因果序列的初值为一个有限值，则其z变换分子

30、多项式z的阶次一定小于等于分母多项式z的阶次。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析77/1868. 终值定理终值定理对于因果序列，若的极点在单位圆内，且只允许单位圆上最多在处有一阶极点，则有证明依据序列移位性质得因为是因果序列，所以第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析78/186又由于只允许在z=1处可能有一阶极点，故因子将抵消这一极点，因此在上收敛，所以可取z1的极限。所以第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析79/186显然，只有极点在单位圆内，当 时才收敛，才可应用终值定理。该定理又

31、可写为即通过可求得的终值。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析80/1869.有限项累加特性有限项累加特性对于因果序列，若，则有证明令，显然也为因果序列，则依据定义得第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析81/186由此可知n、m的取值范围分别为，如图2.3.1所示，交换求和次序，得收敛域为第一次求和结果的收敛域及收敛域的重叠部分。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析82/18610.序列的卷积和序列的卷积和(时域卷积定理时域卷积定理)若；，则的z变换为 Y(z)的收敛域是X(z)和H(z

32、)收敛域的重叠部分。但如果位于某一z变换收敛域边缘上的极点被另一z变换的零点抵消，则收敛域将会扩大。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析83/186证明证明第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析84/186可见两序列在时域中的卷积对应于在z域中两序列z变换的乘积。在分析离散线性移不变系统中，时域卷积定理特别重要。如果x(n)与h(n)分别为线性移不变离散系统的激励和单位抽样响应，那么在求系统的响应时y(n)时，可以避免卷积运算，通过X(z)H(z)的逆变换求出y(n)，在很多情况下，这样会更方便些。第第2 2章离散时间信号与

33、系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析85/186例例2.3.3已知，求。解、的z变换分别为则依据时域卷积定理，得，第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析86/186上式中的极点与的零点相消，的收敛域扩大为，所以第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析87/18611.序列相乘序列相乘(z域卷积定理域卷积定理)若；，则的z变换为,(2.3.16)其中,c是在哑元变量v平面上，、公共收敛域内环绕原点的一条逆时针封闭围线。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析88/186例例2.3.4已知，

34、求。 解：解：第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析89/186的收敛域为，而的收敛域为，即，则重叠部分为；因此围线c内只有一个极点，用留数计算可得第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析90/18612.帕塞瓦尔帕塞瓦尔(parseval)定理定理若且，则(2.3.17)其中“*”表示复共轭，闭合积分围线c位于与收敛域的重叠部分内（证明从略）。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析91/186说明说明 ：这表明序列的能量可用频谱求得。这就是帕塞瓦尔公式（定理）。第第2 2章离散时间信号与系统的

35、章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析92/1862.4 z2.4 z变换与拉普拉斯变换、傅里变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系叶变换的关系 z变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换之间有着密切的联系，在一定条件下可以相互转换。本节详细分析三者之间的关系。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析93/1862.4.1 z变换与拉普拉斯变换的关系1.序列序列z变换与理想抽样信号的拉普拉斯变换的关系变换与理想抽样信号的拉普拉斯变换的关系设为连续时间信号，为其理想抽样信号，则的拉普拉斯变换为(2.4.1)第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域

36、分析94/186而序列的z变换为考虑，则时，序列的z变换就等于理想抽样信号的拉普拉斯变换。即第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析95/186二者的关系，实际上就是由复变量s平面到复变量z平面的映射，其映射关系为，现在进一步讨论这一映射关系。将s用直角坐标形式表示为而z用极坐标形式表示为综合考虑以上三式，得即第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析96/186由此可见，z的模仅对应于s的实部，而z的相角仅对应于s虚部的。下面具体分析s平面与z平面的映射关系。 （1） 与与 的映射关系的映射关系其映射关系如图所示。第第2 2章离散

37、时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析97/186图2.4.1与的映射关系第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析98/186（2) 2) 与与 的映射关系的映射关系依据知： 由 增加到 ，对应于 由 增加到 ，即s平面为 的一个水平条带对应于z平面辐角由 到 转了一周，也就是覆盖了整个z平面。 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析99/186实际上，每增加一个，则相应地增加一个，也就是说，s平面平面上宽度为的各个水平条带都映射为同一个z平面，如图2.4.2所示。图2.4.2与的映射关系第第2 2章离散时间信

38、号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析100/1862. 序列序列z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换的关系变换与连续时间信号的拉普拉斯变换的关系熟悉了s平面和z平面的映射关系，就可以通过理想抽样所提供的桥梁，找到序列x(n)的z变换X(z)与连续时间信号的拉普拉斯变换之间的关系。是的周期延拓，即与与 的关系为的关系为第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析101/1862.4.2 z变换和傅里叶变换的关系我们知道，傅里叶变换可以看作是拉普拉斯变换在虚轴的特例,因而映射到z平面上为单位圆，即这就是说，序列在单位圆上的序列在单位圆上的z变换变换,就等于理

39、想抽样就等于理想抽样信号的傅里叶变换信号的傅里叶变换。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析102/186由第1章内容知道，连续时间信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓，即这就是与连续时间信号的傅里叶变换之间的关系。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析103/186若用数字频率作为z平面的单位圆的参数，表示z平面的辐角，且，即上式中，表示序列的傅里叶变换，在2.5节中将对其进行详细介绍。所以，序列在单位圆上的z变换等于序列的傅里叶变换。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析104/1862.

40、5 2.5 序列傅里叶变换的定义及性质序列傅里叶变换的定义及性质序列的傅里叶变换是分析离散时间信号与系统最重要的工具之一，它给出了序列频谱的概念，使在频域对离散时间信号与系统的分析成为可能。序列的傅里叶变换是以基函数对序列进行正交展开的。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析105/1862.5.1 非周期序列傅里叶变换的定义1. 序列的傅里叶正变换序列的傅里叶正变换非周期序列的傅里叶正变换定义为序列的傅里叶变换也称为离散时间傅里叶变换（DiscreteTimeFourierTransform,缩写为DTFT）。可见，是的幂级数，收敛的条件是第第2 2章离散时

41、间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析106/186即，若序列是绝对可和的，则它的傅里叶变换一定存在且连续。是序列傅里叶变换存在的充分条件，而非必要条件。有些序列，并不是绝对可和的，但也其傅里叶变化仍然存在。例如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析107/186是的连续函数，一般为复数，可表示为其中、分别为的实部和虚部，称为幅度谱或幅频特性，称为相位谱，并且有第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析108/186由于可以在的相位谱上加任意整数倍的，而不影响的结果

42、，因此，我们可以通过这种方法，将限制在之间，即主值区间。此外，由于，M为整数，则有可见， 还是 的周期函数，周期为 。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析109/1862序列的傅里叶反变换序列的傅里叶反变换序列在单位圆上的z变换就等于序列的傅里叶变换，则根据z反变换的定义，并将积分围线取在单位圆上可得到序列傅里叶反变换的公式为现将非周期序列的傅里叶变换重新归纳为正变换 反变换收敛的充分条件为第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析110/186例例2.5.1设，求的傅里叶变换。解依据傅里叶变换定义式，有第第2 2章离散时间信号

43、与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析111/186即的幅度谱为，相位谱为。设，则以及幅度与相位随变换曲线如图2.5.1所示。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析112/186图2.5.1以及其幅度谱与相位谱曲线第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析113/186*有些序列虽然不满足以上条件，但满足平方可有些序列虽然不满足以上条件，但满足平方可和，其傅立叶变换依然存在。见例和，其傅立叶变换依然存在。见例2-2-22-2-2*对于一些既不满足绝对可和的条件也不满足平方对于一些既不满足绝对可和的条件也不满足平方可和条件

44、的序列，例如可和条件的序列，例如u(n), , 一些周期序列等，一些周期序列等，若引入频域的冲击函数若引入频域的冲击函数 ，它们的傅立叶变换也，它们的傅立叶变换也存在。见例存在。见例2-2-3。 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析114/186例例 2-2-2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。 解：解：*上式给出的序列不是绝对可和的，而是平方可和的上式给出的序列不是绝对可和的，而是平方可和的 上式的求和利用了后面要介绍的傅立叶变换的帕思上式的求和利用了后面要介绍的傅立叶变换的帕思瓦定理瓦定理( (Parsev

45、al)Parseval)。 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析115/186计算计算 的傅立叶反变换，利用冲击函数的傅立叶反变换，利用冲击函数 的性质，有的性质，有 例例 2-2-3 证明复指数序列证明复指数序列 的傅立叶变的傅立叶变换为换为 证明：证明：当当 =0时，时， =1，由此得到常数，由此得到常数1的傅里叶变换为的傅里叶变换为 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析116/186例例 2-2-4 求余弦序列求余弦序列 的傅立叶变换的傅立叶变换 解：解：利用上式的结果得利用上式的结果得 *可见可见 的傅立叶变换表现

46、为在的傅立叶变换表现为在 处的冲处的冲击，强度为击，强度为 ，它还以，它还以2为周期进行周期延拓。为周期进行周期延拓。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析117/1862.5.2 序列傅里叶变换的性质与定理第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析118/1861.1.周期性周期性前述内容已提到，的周期性是指，M为整数,其周期是，且能展开成傅里叶级数。对离散时间信号（序列）的傅里叶变换，它同样表示了信号在频域的分布规律。但与连续时间信号的傅里叶变换不同的是，由于序列的傅里叶变换的周期性，所以在各频率点(M取整数)附近的频谱分布应

47、是相同的。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析119/186在点处表示信号的直流分量，距离这些点越远，频率应愈高，在点处频率达到最高。需要说明的是，所谓的直流分量，是指如图2.5.2(a)所示的波形。例如，当（M取整数）时，的序列值如图2.5.2(a)所示，它代表其直流分量；当时，波形如图2.5.2(b)所示，它代表最高频率信号，是一种变化最快的信号。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析120/186由于序列傅里叶变换的周期性，一般只分析之间或之间的DTFT，本书中在0，2区间进行分析。图2.5.2的波形第第2 2章离散时

48、间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析121/1862. 2. 线性性质线性性质满足均匀性与叠加性，即若则有式中a，b为常数。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析122/1863. 时移与频移性质时移与频移性质若，则时移性质是指频移性质是频移性质是第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析123/1864. 时间反转性质时间反转性质若则有5. 频域微分性质频域微分性质若则有6. 共轭性质共轭性质若则有第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析124/1867.对称性质对称性质一个共轭

49、对称序列定义为满足下式的序列：其中“*”表示复数共轭。若 是实序列，则上式变为 ，即 为偶对称序列。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析125/186类似地，一个共轭反对称序列定义为满足下式的序列：若所给的序列是实序列，则上式为，即为奇对称序列。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析126/186例例 2.5.22.5.2试分析的对称性。解将的用代替，再取共轭得到则有所以是共轭对称序列。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析127/186任一序列都可以表示成一个共轭对称序列与一个共轭反对称序

50、列之和，即式中类似的，的傅里叶变换函数也可以分解成一个共轭对称函数与一个共轭反对称函数之和，第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析128/186即式中与分别称为共轭对称函数和共轭反对称函数，它们满足第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析129/186由上面的分析可以得到下面一些对称性质，这些性质可以直接由z变换性质中代入而得到证明，亦可由序列的傅里叶变换的定义及性质得到。对称性质1：序列实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量，即第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析130/186对称

51、性质2：序列虚部乘j后的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量，即对称性质3：序列的共轭对称分量的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的实部，即对称性质4：序列的共轭反对称分量的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的虚部与j的乘积，即第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析131/186对称性质5：当是实序列时，其傅里叶变换满足共轭对称性，即若将表示成直角坐标形式，则由对称性质5得，即的实部为偶函数，虚部为奇函数。同样，若把极坐标的形式，则推出的幅度为偶函数，相位为奇函数。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析132/1867. 时域卷积

52、定理时域卷积定理若则证明因为所以第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析133/186令，则有第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析134/186该定理说明，两序列卷积的序列傅里叶变换服从乘积的关系。对于线性移不变系统，输出序列的傅里叶变换等于输入序列的傅里叶变换乘以单位脉冲响应的傅里叶变换。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析135/1868. 频域卷积定理频域卷积定理若则证明证明第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析136/186交换积分与求和的次序，得到

53、该定理表明，在时域相乘的两序列，转换到频域服从周期卷积关系。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析137/1869. 帕塞瓦尔（帕塞瓦尔（Parseval）定理）定理若则有证明证明第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析138/186帕斯瓦尔定理告诉我们，信号时域的总能量等于频域的总能量。要说明的是，这里频域总能量是指在一个周期内积分再乘以。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析139/1862.62.6利用利用z z变换求解差分方程变换求解差分方程在第1章中提到，描述离散时间系统的差分方程可通

54、过z变换转变成代数方程求解。由于一般的激励及响应都是有始序列，所以下面只讨论单边z变换求解差分方程的问题。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析140/186对于线性移不变离散时间系统，在零输入条件下，即激励时，其差分方程为，考虑响应为时的值，则初始条件为。两边取单边z变换，并根据z变换的位移性质，可得，1. 1. 零输入响应的零输入响应的z z域求解域求解第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析141/186故，响应的序列可由z反变换求得第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析142/186由上

55、式可知，对于离散时间系统零输入响应的求解，可先将系统的齐次方程进行z变换，代入初始条件，再将其展开为部分分式，最后进行z反变换，即得到系统的零输入响应。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析143/186例例 2.6.1若已知描述某离散时间系统的差分方程为初始条件为，求解零输入响应。解由于零输入时，有若记，则对上式两边取单边z变换，有第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析144/186可得因故零输入响应为第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析145/186N阶线性移不变离散时间系统的差分方程为

56、在零状态条件下，即时，对等式两边取单边z变换可得故零状态响应为2. 2. 零状态响应的零状态响应的z z域求解域求解第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析146/186由上式可知，求解离散时间系统的零状态响应时，可先对系统的非齐次差分方程两边进行z变换，再将其展开为部分分式，最后进行z反变换，即得到系统的零状态响应。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析147/186例例 2.6.2若已知且求系统的零状态响应。 解解则第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析148/186有故所求零状态响应为第第

57、2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析149/186对于线性移不变离散时间系统，若激励和初始状态均不为零，则对应的响应称之为全响应。根据线性移不变特性，全响应可按下式计算：和的求解方法如前所述。3. 3. 全响应的全响应的z z域求解域求解第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析150/186也可以直接由时域差分方程求z变换而进行计算，即在激励为，初始条件不全为零时，对方程式进行单边z变换，有由此可解得全响应的z变换，从而求得全响应。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析151/186例例 2.6.

58、3已知且求全响应。解设对差分方程两边取单边z变换，有第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析152/186则第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析153/186即所以系统全响应为结果与例2.6.1与例2.6.2结果之和相同。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析154/186 例2-3-2已知系统的输入输出满足以下差分方程，求输入信号x(n)=u(n)时系统的响应。初始条件y(-1)=1第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析155/186数字信号处理第2章200

59、42.7离散时间系统的系统函数和频率响应 本本节节将将以以系系统统函函数数和和传传输输函函数数为为核核心心来来研研究究系系统统的的变变换换域域分分析析方方法法，它它们们分分别别是是h(n)的的Z变变换换和和傅傅立叶变换。立叶变换。 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析156/186 2.7.1 系统函数的定义 则 已知系统单位脉冲响应为 ，那么线性时不变系统零状态响应的输入输出关系为称 为线性时不变系统的系统函数为线性时不变系统的系统函数，即系统函数即系统函数是系统输出序列是系统输出序列 变换与输入序列变换与输入序列 变换之比。变换之比。 两边取 变换得 第

60、第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析157/186是单位脉冲响应 的 变换 ，即 系统函数在单位圆上的 变换，即单位脉冲响应的傅立叶变换 即系统的频率响应。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析158/186系统函数与差分方程的关系线性移不变离散时间系统的差分方程的一般形式为对上式两边直接取单边 变换，可得仅由系统参数决定第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析159/186 所以，系统函数与差分方程有直接的关系，知道其中一个，就可以直接求得另一个。 表示因式分解的形式，即 除了比例常数K以外，

61、整个系统函数完全由其全部零、极点来确定。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析160/186系统的频率响应在连续时间系统中，系统的频率响应特性反映了系统在正弦函数激励下的稳态响应随频率变化的情况。同样，在离散时间系统中，也有必要研究系统在正弦序列或复指数序列激励下的稳态响应随频率变化的关系，即离散时间系统的频率响应特性及其意义。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析161/186若输入序列是频率为 的复指数序列，即系统的输出为若定义则由此可见，输出 也是与输入 同频率的复指数序列，但幅度和相位受到 的调制。 第第2 2章离散时

62、间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析162/186称 为系统的特征函数，而 既称为系统的频率响应或传输函数，又称为系统的特征值。显然， 是系统抽样响应 的傅里叶变换，它描述了复指数序列通过线性移不变系统后，复振幅的变化。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析163/186若的收敛域包括单位圆，则在单位圆上的变换就是，即得到 与差分方程的关系为也是仅由系统参数决定的。 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析164/186是频率的连续、周期复函数，周期为。一般将表示成直角坐标的形式极坐标形式其中 分别称为系统的幅

63、频响应(幅度响应)和相频响应(相位响应)。 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析165/186群延迟 表示系统的相位更为方便，即、分别为实部和虚部。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析166/186例例2.7.12.7.1 若系统的频率响应为 ，输入为正弦序列 ，求系统的输出序列 。解解 依据欧拉公式的响应为的响应为第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析167/186若为实序列，则其傅里叶变换满足共轭对称，即所以第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析168

64、/186例例2.7.22.7.2 设一阶系统的差分方程 为实数,求系统函数及系统的频率响应。解解 对差分方程两边取z变换，得则系统函数为假设系统函数的收敛域包含单位圆，则频率响应为 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析169/186幅频响应为相频响应为第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析170/1862.7.4 利用 的零极点分析系统1 1系统的稳定性和因果性判定系统的稳定性和因果性判定系统稳定性的判据：系统稳定性的判据：时域：时域：线性移不变系统稳定的充要条件是单位抽样响应绝对可和，即域：域：系统稳定的充要条件是 的收敛

65、域包含单位圆第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析171/186因果稳定系统的充要条件是系统函数的收敛域为即系统函数的极点全部位于单位圆内。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析172/186例例2.7.32.7.3 已知 ， ，分析其因果性和稳定性。解 的极点为 ， ，其零、极点分布如图2.7.2所示。（1）当收敛域为 时，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。 这是一个因果序列。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析173/186（2）当收敛域为时 ，对应的系统

66、是非因果系统，同时由于收敛域不包含单位圆，因此系统不稳定。 这是一个非因果序列。（3）当收敛域为 时，对应的系统是非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统，可求得单位抽样响应 ，这是一个双边序列。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析174/1862 2由零极点图分析系统的频率响应由零极点图分析系统的频率响应可以写成零极点的形式，即将 代入上式，得到系统的频率响应第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析175/186 对于因果系统，一般 。某一线性移不变系统的零极点分布如图2.7.3所示。 单位圆上的一点 ，也可以表示

67、成从原点到 的向量 。零点 、极点 也可以分别表示成从原点到该零点、极点的向量。 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析176/186 表示由零点 指向 的向量、 表示由极点 指向 的向量。 、为向量的模，、为向量的相角则系统的频率响应可表示为 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析177/186则的幅频响应为的相频响应为第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析178/186系统的频率响应曲线的绘制系统的频率响应曲线的绘制 当当 从从 变化到变化到 时，时， 从正实轴开始逆时从正实轴开始逆时针旋

68、转了一周，同时各零极点向量的终点针旋转了一周，同时各零极点向量的终点 沿单位沿单位圆也旋转了一周，依据这两式大致绘制出圆也旋转了一周，依据这两式大致绘制出 、 随随 变化的曲线，也就得到了系统的频率响应曲变化的曲线，也就得到了系统的频率响应曲线。线。 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析179/186距离零点越近，值越小，而距离极点越近，值越大，所以靠近单位圆的零点对的波谷有明显影响，而靠近单位圆的极点则对的波峰有明显影响。零点可以位于单位圆外，而不影响系统的稳定性，而极点位于单位圆外时，系统不稳定。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z

69、Z域分析域分析180/186例例2.7.42.7.4 已知描述某线性移不变系统的一阶差分方程为试定性绘制出该系统的频率响应特性曲线。解 对已知差分方程两端取 变换得到系统函数为该系统有一个零点 、一个极点 ，如图所示。图中， 、 为向量的模， 、 为向量的相角，由图可见 、第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析181/186所以则当从0变化到时，我们就可以大致画出的幅频响应和相频响应曲线。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析182/1863 3全通系统全通系统考虑具有如下形式系统函数的线性移不变稳定系统：其频率响应为第第2

70、2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析183/186 观察上式最右端表达式可以看出， 的幅值为1，而分子多项式和分母多项式互为复共轭，二者的幅值相等，则系统的幅频响应为 定义对所有频率，幅频响应为1的稳定系统称为全通系统。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析184/186 一个 阶的全通系统的系统函数表达式。对于单位抽样响应为实数的系统，可表示成一阶和二阶全通系统的乘积，即的零点和极点是共轭倒数的关系，而且二者的个数相等，所以复数零极点必以四个一组出现。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析185/

71、186一个典型的全通系统的零极点分布图。图示情况下，由图中可以看出零极点的关系。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析186/186信号通过全通系统后，幅度没有改变，仅有相位发生变化，这一种纯相位滤波，常用作相位均衡器或移相器。 由于全通系统的幅频响应为1，所以其频率响应可以表示为第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析187/1864 4最小相位系统最小相位系统因果稳定系统的极点全部位于单位圆内，而对零点位置并未作出要求。如果一个系统函数为的因果稳定系统在单位圆外有零点，则其逆系统（系统函数为）必有极点在单位圆外，成为不稳定系

72、统。对于某些问题，要求逆系统也是因果稳定系统，这样就需要的零点和极点都位于单位圆内。这种零极点都位于单位圆内的系统称零极点都位于单位圆内的系统称为最小相位系统。为最小相位系统。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析188/186最小相位系统具有一些有用的特性：2)最小相位系统具有最小群延迟和最小相位滞后特性。3)最小相位系统具有最小能量延迟的特性。1)任何有理系统函数都可以分解成一个最小相位系统函数和一个全通系统函数的级联，即第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析189/1862.7.5 无限单位脉冲响应系统与有限单位脉冲响应

73、系统 按系统单位抽样响应 (也称为单位脉冲响应)的特性来分，线性移不变系统可以分为无限长单位脉冲响应系统(简称IIR系统)与有限长单位脉冲响应系统(简称FIR系统)。IIR系统的单位脉冲响应 延伸到无限长，而FIR系统的 是一个有限长序列。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析190/186的一般表达式为 对于FIR系统，由于 为有限长序列，则 的 变换的收敛域为整个有限平面，我们知道在整个收敛域内不能有极点存在，这就等效于 分母多项式的系数 全部为零，即第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析191/186 只要在有限 平面上有一个极点，也就是不全为零，系统就是IIR系统。 由差分方程的形式来看，描述FIR系统的差分方程中的输出只和各 有关，而描述IIR系统的差分方程中的输出不仅和各 有关，而且还与以前时刻的输出 有关，即有输出的反馈。