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1、定积分概念与性质定积分概念与性质6.1定积分概念与性质定积分概念与性质一一、定积分问题举例、定积分问题举例1曲边梯形的面积曲边梯形的面积 .上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出设 在区间 上非负、连续由曲线 及直线 所围成的 图形称为曲边梯形，下面我们讨论如何求这个曲边梯形的面积上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出记 , 当 时，和式 的极限即为物体在时间间隔内所走过的路程即二、定积分的定义定积分的定义上面的两个例子 面积 路程 .上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出 抛开这些问题的具体意义，抓住它们在数量上共同的本定义1设函数 在区间 上有界，在 中任意插入个分点 分成 把
2、区间 个小区间 各小区间的长度依次为质与特性加以概括，我们可以抽象出下述定积分的概念 .上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出在每个小区间 上任取一点 ，作乘积 ，再作和式（6-1） 记 ,如果不论对 怎样分法，也不论在小区间上点 怎样取法，只要当 .上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出时，和 总趋于确定的极限 ，这时我们称这个极限为函数 在区间 上的定积分定积分(简称积分积分)，记作 , 即 (6-2)其中 叫做被积函数， 叫做被积表达式， 叫做积分变量，叫做积分下限， 叫做积分上限， 叫做积分区间 上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出注 当和式 的极限存在时，其极限值仅与被
3、积函数及积分区间 有关，而与积分变量所用的字母无关，即如果 在上的定积分存在，我们就说 在上可积相应的和式 也称为积分和 .上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出对于定积分，有这样一个重要问题：函数 在 上满足怎样的条件， 上一定可积? 在 定理定理1 设 在区间 上连续，则 上可积 在 定理定理2 设 在区间 上有界，且只有有限个间断点，则在 上可积利用定积分的定义，前面所讨论的实际问题可以分别表述如下： . 上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出曲线 与轴及两条直线 所围成的曲边梯形的面积 等于函数 在区间 上的定积分即 物体以变速 作直线运动，从时刻 到时刻 ，物体经过的路程等于
4、函数 在区间上的定积分，即 . .上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出三 、 定积分的几何意义 在区间 上 时，我们已经知道，定积分 在几何上表示曲线 及两条直线 与 轴所围成的曲边梯形的面积；在 上 时，由曲线 及两条直线 与 轴所围成的曲边梯形位于 轴的下方，定积分 在几何上表示上述曲边 .上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出梯形面积的负值；在 上 既取得正值又取得负值时，函数的图形某些部分在 轴上方，而其他部分在轴的下方(图6-2)如果我们对面积赋以正负号，在 轴上方的图形面积赋以正号，在 轴下方的图形面积赋以负号，此时定积分表示介于 轴、函数 的图形及两条直线 之间的各部分
5、面积的代数和图（6-2） .上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出四 、定积分的性质为了以后计算及应用方便起见，先对定积分作以下两点补充规定：(1) 当 时， (2) 当 时， 在下面的讨论中，积分上下限的大小，如不特别指明，均不加限制；并假定各性质中所列出的定积分都是存在的 . .上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出性质性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)，即性质性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即( 是常数) 性质性质3如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设 ，则 . 上一页上一页目录目录下一页下一页退退
6、出出按定积分的补充规定，不论的相对位置如何，总有等式成立例如，当 时，由于于是得 . 上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出性质性质4如果在区间 上, ，则性质性质5如果在区间 上， ，则 推论推论1如果在区间 上， ,则 . 上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出推论推论2 证证因为所以由推论1及性质2可得即 . 上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出性质性质6设 及 分别是函数 在区间 上的最大值及最小值，则证证因为 , 所以由性质5及推论1得再由性质2及性质4，即得到所要证的不等式 上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出例例1 估计定积分 的值 解解 因 在 连续，所以在
7、 上可积，又因为所以 上单调减少，从而有在 于是由性质6有上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出性质性质7(定积分中值定理定积分中值定理)如果函数 在闭区间 上连续，则在积分区间 上至少存在一点，使下式成立： 这个公式叫做积分中值公式证证由性质6得上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出这表明，确定的数值 介于函数 的最小值及最大值 之间根据闭区间上连续函数的介值定理，在上至少存在一点 ，使得函数 在点 处的值与这个确定的数值相等，即应有两端各乘以 ，即得所要证的等式上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出图6-3积分中值公式有如下的几何解释：在区间 上至少存在一点，使得以区间 为底边、以曲线 为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为 个矩形的面积(图6-3)的一上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出显然，积分中值公式（ 在 与 之间） 不论 或 都是成立的. 称为函数在区间 上的平均值结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！29
