《概率论与数理统计：连续型随机变量（XY）的函数的概率分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计：连续型随机变量（XY）的函数的概率分布（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二连续型随机变量（二连续型随机变量（X，Y）的函数）的函数的概率分布的概率分布 1.已知已知（X，Y）f (x , y)，求求Z= （X，Y）的的概率分布概率分布 (1)FZ(z)=P(Z z) =P （X，Y） z (2)若若Z为连续型随机变量为连续型随机变量，则有则有例例5：已知已知X,Y 相互独立且均服从相互独立且均服从N(0, 2)，的概率密度。的概率密度。求求解：解：X和和Y的密度函数分别为的密度函数分别为先求先求Z的分布函数的分布函数 F(z)当当z0时，易知时，易知F(z)=0当当z0时，且由独立性知时，且由独立性知极坐标变换极坐标变换即：即：Z的分布函数为的分布函数为故：故：Z
2、的密度函数为的密度函数为或或2已知已知（X，Y）f (x, y)，求求Z=X+Y 的概率密度的概率密度定定理理:若若(X, Y )的的联联合合概概率率密密度度为为f(x , y)，则则Z=X+Y 的概率密度为的概率密度为证明证明: :Z=X+Y的分布函数是的分布函数是: :FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)这里积分区域这里积分区域D=(x,y):x+yz是直线是直线x+y=z 左下方的半平面左下方的半平面.化成累次积分化成累次积分, ,得得固定固定z和和y,对对方括号内的积分作变量代换方括号内的积分作变量代换 令令x=u-y,得得由此由此 由由X 和和Y 的对称性的对称性,fZ (z)又
3、可写成又可写成特别，当特别，当X和和Y独立，设独立，设(X,Y)关于关于X,Y的边缘密度分的边缘密度分别为别为fX(x),fY(y),则上述两式化为则上述两式化为: :例例6:若若X和和Y 独立独立, ,具有相同的分布具有相同的分布N(0,1),求求Z=X+Y的分布的分布. .解：解：X和和Y的密度函数分别为的密度函数分别为则则Z的密度函数为的密度函数为可以证明可以证明: :特别地，若特别地，若X和和Y 独立，且独立，且则则则则 若若相互独立相互独立,例例6: 若若X,Y 相互独立，其概率密度函数分别为相互独立，其概率密度函数分别为求求Z=X+Y 的概率密度函数的概率密度函数fZ (z) 被积
4、函数不为被积函数不为0的区域的区域 解解: : 由于由于也即也即于是于是例例7 已知已知( X ,Y )的联合概率密度为的联合概率密度为Z = X + Y ,求求f Z (z)解法一（图形定限法）解法一（图形定限法）显然显然X ,Y 相互独立相互独立, ,且且zxz = xz-1 = x121被积函数不为被积函数不为0的区域的区域 即即解法二解法二 从分布函数出发从分布函数出发x+y = z当当z 0时时，1yx1x+y = z当当0 z 1时，时，1yx1zzx+y = z当当1 z 2时，时，z-11yx1zz1yx1x+y = z22当当2 z 时，时，对于对于 X ,Y 不相互独立的情
5、形可同样的用不相互独立的情形可同样的用直接求直接求密度函数密度函数与与通过分布函数求密度函数通过分布函数求密度函数两种方法两种方法求和的分布求和的分布例例8 已知已知 ( X ,Y ) 的联合密度函数为的联合密度函数为Z = X + Y ,求求f Z (z)解解 （图形定限法）（图形定限法）由公式由公式（1）非非0区域为区域为zxz = xz = 2xx = 112当当z 2, zzzz当当0z 1, 当当1z z,YzFN(z)=PNz=1- -PNz=1- - PXzPYz=1-1-PXz1-PYz设设X1,Xn是是n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量, ,它们的它们的分布函数分别为
6、分布函数分别为 我们来求我们来求M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的分布函数的分布函数. .(i =0,1，,n)特别，当特别，当X1,Xn相互独立且具有相同分相互独立且具有相同分布函数布函数F(x)时，有时，有N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为: :FM(z)=F(z)nFN(z)=1-1-F(z)n解解:PY=n=Pmax(X1,X2)=n=PX1=n,X2n+PX2=n,X1n例例9设设随随机机变变量量X1,X2相相互互独独立立, ,并并且且有有相相同同的的几几何何分分布布P(X1=k)=p(1-p)k-1,
7、k=1,2,，求求Y=max(X1,X2)的的分布分布.n=0,1,2,解二解二:PY=n=PYn- -PYn-1=Pmax(X1,X2)n- -Pmax(X1,X2)n-1=PX1n,X2n- -PX1n-1,X2n-1n=0,1,2,例例10: 系系统统L 由由两两个个相相互互独独立立的的子子系系统统L1, L2联联结结而而成成。已已知知L1, L2的的使使用用寿寿命命X , Y 分分别别服服从从参参数数为为 ， （0， 0, ）的的指指数数分分布布。分分别别在在下下列三种情况下列三种情况下，求系统求系统L 的使用寿命的使用寿命Z的分布的分布.（1）子系统子系统L1, L2串联串联;（2）
8、子系统子系统L1, L2并联并联;（3）子系统子系统L2冷备冷备.解：解：X和和Y的密度函数为的密度函数为且其分布函数为且其分布函数为（1） 当为串联系统时，系统当为串联系统时，系统L的寿命为的寿命为Z=min(X,Y)故其分布函数为故其分布函数为Fmin(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)其密度函数为其密度函数为(2)当为并联系统时，系统当为并联系统时，系统L的寿命为的寿命为Z=max(X,Y)故其分布函数为故其分布函数为其密度函数为其密度函数为(3)子系统子系统L2 冷备时，此时系统冷备时，此时系统L的寿命为的寿命为两子系统寿命之和，两子系统寿命之和，即：即：Z=X+Y此时按照卷积公式求其密度函数此时按照卷积公式求其密度函数即即当当z0时，其概率密度为时，其概率密度为当当z0时，时，f(z)=0于是于是Z=X+Y的密度函数为的密度函数为
