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1、第第3 3讲概率、随机变量及其分布讲概率、随机变量及其分布高考导航高考导航考题考情考题考情体验真题答案答案C答案答案D3(2018天天津津)已已知知某某单单位位甲甲、乙乙、丙丙三三个个部部门门的的员员工工人人数数分分别别为为24，16，16.现现采采用用分分层层抽抽样样的的方方法法从从中中抽取抽取7人，人，进进行睡眠行睡眠时间时间的的调查调查(1)应应从从甲甲、乙乙、丙丙三三个个部部门门的的员员工工中中分分别别抽抽取取多多少少人？人？(2)若若抽抽出出的的7人人中中有有4人人睡睡眠眠不不足足，3人人睡睡眠眠充充足足，现现从从这这7人中随机抽取人中随机抽取3人做人做进进一步的身体一步的身体检查检
2、查()用用X表表示示抽抽取取的的3人人中中睡睡眠眠不不足足的的员员工工人人数数，求求随随机机变变量量X的分布列与数学期望；的分布列与数学期望；()设设A为为事事件件“抽抽取取的的3人人中中，既既有有睡睡眠眠充充足足的的员员工工，也有睡眠不足的也有睡眠不足的员员工工”，求事件，求事件A发发生的概率生的概率1考查形式考查形式题题型：型：选择选择、填空、解答、填空、解答题题；难难度：中档或偏下度：中档或偏下2命题角度命题角度(1)几几何何概概型型主主要要考考查查几几何何概概型型概概率率公公式式；古古典典概概型型可可以以单单独独考考查查也也可可以以与与排排列列与与组组合合、统统计计等等知知识识交交汇汇
3、考考查查；感悟高考(2)互互斥斥事事件件的的概概率率，相相互互独独立立事事件件的的概概率率以以及及独独立立重重复复试试验验可可能能出出现现在在客客观观题题中中单单独独考考查查，也也可可能能在在解答解答题题中与其他知中与其他知识综识综合考合考查查；(3)以以实实际际问问题题为为背背景景，多多与与统统计计结结合合考考查查离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布列列、均均值值的的综综合合应应用用概概率率与与统统计计作作为为考考查查考考生生应应用用意意识识的的重重要要载载体体，已已成成为为近近几几年年高高考考的的一大亮点一大亮点3素养目标素养目标提升数学运算、数据分析、数学建模素养提升数学运算、数据分
4、析、数学建模素养.聚焦热点聚焦热点核心突破核心突破热点一古典概型与几何概型（基础练通）热点一古典概型与几何概型（基础练通）1利用古典概型求概率的关键及注意点利用古典概型求概率的关键及注意点(1)关关键键：正正确确求求出出基基本本事事件件总总数数和和所所求求事事件件包包含含的的基本事件基本事件总总数，数，这这常常用到排列、常常用到排列、组组合的有关知合的有关知识识(2)注注意意点点：对对于于较较复复杂杂的的题题目目计计数数时时要要正正确确分分类类，分分类类时时应应不不重重不不漏漏基基本本事事件件个个数数的的求求法法与与基基本本事事件件总总数求法的一致性数求法的一致性2几何概型的求解关键几何概型的
5、求解关键求求解解关关键键：构构成成试试验验的的全全部部结结果果的的区区域域和和事事件件发发生生的的区区域域的的寻寻找找是是关关键键，有有时时需需要要设设出出变变量量，在在坐坐标标系系中表示所需要的区域中表示所需要的区域通关题组通关题组答案答案C答案答案D (1)某某个个部部件件由由两两个个电电子子元元件件按按如如图图方方式式连连接接而而成成，元元件件1或或元元件件2正正常常工工作作，则则部部件件正正常常工工作作，设设两两个个电电子子元元件件的的使使用用寿寿命命(单单位位：小小时时)均均服服从从正正态态分分布布N(1 000，502)，且且各各个个元元件件能能否否正正常常工工作作相相互互独独立立
6、那那么么该该部部件件的的使使用用寿寿命命超超过过1 000小小时时的的概概率率为为_例例1互动探究互动探究若若将将本本例例(1)中中部部件件构构成成图图变变为为如如图图，其其中中元元件件3服服从从的的正正态态分分布布与与元元件件1，元元件件2相相同同，元元件件1或或元元件件2正正常常工工作作，且且元元件件3正正常常工工作作，则则部部件件正正常常工工作作则则该该部部件件的使用寿命超的使用寿命超过过1000小小时时的概率的概率为为_(2)(2018长长春春模模拟拟)乒乒乓乓球球比比赛赛规规则则规规定定：一一局局比比赛赛，双双方方比比分分在在10平平前前，一一方方连连续续发发球球2次次后后，对对方方
7、再再连连续续发发球球2次次，依依次次轮轮换换每每次次发发球球，胜胜方方得得1分分，负负方方得得0分分设设在在甲甲、乙乙的的比比赛赛中中，每每次次发发球球，发发球球方方得得1分分的的概概率率为为0.6，各各次次发发球球的的胜胜负负结结果果相相互互独独立立甲甲、乙乙的的一一局比局比赛赛中，甲先中，甲先发发球球求开始第求开始第4次次发发球球时时，甲、乙的比分，甲、乙的比分为为1比比2的概率；的概率；求开始第求开始第5次次发发球球时时，甲得分，甲得分领领先的概率先的概率CA1B2A2B1A2B2，P(C)P(A1B2A2B1A2B2)P(A1B2)P(A2B1)P(A2B2)P(A1)P(B2)P(A
8、2)P(B1)P(A2)P(B2)0.480.160.360.480.360.160.307 2.互动探究答案互动探究答案技巧方法技巧方法求复杂事件概率的方法及注意点求复杂事件概率的方法及注意点(1)直直接接法法：正正确确分分析析复复杂杂事事件件的的构构成成，将将复复杂杂事事件件转转化化为为几几个个彼彼此此互互斥斥事事件件的的和和事事件件或或几几个个相相互互独独立立事事件件同同时时发发生生的的积积事事件件或或独独立立重重复复试试验验问问题题，然然后后用用相相应概率公式求解应概率公式求解(2)间间接接法法：当当复复杂杂事事件件正正面面情情况况较较多多，反反面面情情况况较较少少，则则可可利利用用其
9、其对对立立事事件件进进行行求求解解对对于于“至至少少”“”“至多至多”等问题往往也用这种方法求解等问题往往也用这种方法求解(3)注注意意点点：注注意意辨辨别别独独立立重重复复试试验验的的基基本本特特征征：在在每每次次试试验验中中，试试验验结结果果只只有有发发生生与与不不发发生生两两种种情情况况；在每次试验中在每次试验中，事件发生的概率相同事件发生的概率相同突破练突破练1(2018宝宝鸡鸡质质检检)现现有有4个个人人去去参参加加春春节节联联欢欢活活动动，该该活活动动有有甲甲、乙乙两两个个项项目目可可供供参参加加者者选选择择，为为增增加加趣趣味味性性，约约定定：每每个个人人通通过过掷掷一一枚枚质质
10、地地均均匀匀的的骰骰子子决决定定自自己己去去参参加加哪哪个个项项目目联联欢欢，掷掷出出点点数数为为1或或2的的人人去去参参加加甲甲项项目目联欢联欢，掷掷出点数大于出点数大于2的人去参加乙的人去参加乙项项目目联欢联欢(1)求求这这4个人中恰好有个人中恰好有2人去参加甲人去参加甲项项目目联欢联欢的概率；的概率；(2)求求这这4个个人人中中去去参参加加甲甲项项目目联联欢欢的的人人数数大大于于去去参参加加乙乙项项目目联欢联欢的人数的概率的人数的概率热点三随机变量的分布列、均值热点三随机变量的分布列、均值(多维贯通多维贯通)1均值与方差的性质均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b(a，b为实为实
11、数数)(2)D(aXb)a2D(X)(a，b为实为实数数)2两点分布与二项分布的均值、方差两点分布与二项分布的均值、方差(1)若若X服从两点分布，服从两点分布，则则E(X)p，D(X)p(1p)(2)若若XB(n，p)，则则E(X)np，D(X)np(1p)命命题题点点1离散型随机离散型随机变变量的均量的均值值与方差与方差 (1)(2018全全国国卷卷)某某群群体体中中的的每每位位成成员员使使用用移移动动支支付付的的概概率率都都为为p，各各成成员员的的支支付付方方式式相相互互独独立立设设X为为该该群群体体的的10位位成成员员中中使使用用移移动动支支付付的的人人数数，D(X)2.4，P(X4)P
12、(X6)，则则pA0.7B0.6C0.4D0.3例例2(2)(2017全全国国卷卷)某某超超市市计计划划按按月月订订购购一一种种酸酸奶奶，每每天天进进货货量量相相同同，进进货货成成本本每每瓶瓶4元元，售售价价每每瓶瓶6元元，未未售售出出的的酸酸奶奶降降价价处处理理，以以每每瓶瓶2元元的的价价格格当当天天全全部部处处理理完完根根据据往往年年销销售售经经验验，每每天天需需求求量量与与当当天天最最高高气气温温(单单位位：)有有关关如如果果最最高高气气温温不不低低于于25，需需求求量量为为500瓶瓶；如如果果最最高高气气温温位位于于区区间间20，25)，需需求求量量为为300瓶瓶；如如果果最最高高气气
13、温温低低于于20，需需求求量量为为200瓶瓶为为了了确确定定六六月月份份的的订订购购计计划划，统统计计了了前前三三年年六六月月份份各各天天的的最高气温数据，得下面的最高气温数据，得下面的频频数分布表：数分布表：以以最最高高气气温温位位于于各各区区间间的的频频率率代代替替最最高高气气温温位位于于该该区区间间的概率；的概率；求求六六月月份份这这种种酸酸奶奶一一天天的的需需求求量量X(单单位位：瓶瓶)的的分分布列；布列；设设六六月月份份一一天天销销售售这这种种酸酸奶奶的的利利润润为为Y(单单位位：元元)，当当六六月月份份这这种种酸酸奶奶一一天天的的进进货货量量n(单单位位：瓶瓶)为为多多少少时时，Y
14、的数学期望达到最大的数学期望达到最大值值？最高最高气温气温10，15)15，20)20，25)25，30)30，35)35，40)天数天数216362574因此因此X的分布列为的分布列为由由题题意意知知，这这种种酸酸奶奶一一天天的的需需求求量量至至多多为为500瓶瓶，至少为至少为200瓶瓶，因此只需考虑因此只需考虑200n500.当当300n500时时，若最高气温不低于若最高气温不低于25，则则Y6n4n2n；若若最最高高气气温温位位于于区区间间20，25)，则则Y63002(n300)4n1 2002n；X200300500P0.20.40.4若若最最高高气气温温低低于于20，则则Y6200
15、2(n200)4n8002n.因因此此E(Y)2n0.4(1 2002n)0.4(8002n)0.26400.4n.当当200n300时时，若最高气温不低于若最高气温不低于20，则则Y6n4n2n；若若最最高高气气温温低低于于20，则则Y62002(n200)4n8002n，因因此此E(Y)2n(0.40.4)(8002n)0.21601.2n.所所以以n300时时，Y的的数数学学期期望望达达到到最最大大值值，最最大大值值为为520元元【答案答案】(1)B(2)略略命题点命题点2概率、分布列、统计的交汇创新概率、分布列、统计的交汇创新 (2018西西安安二二模模)某某大大学学为为调调研研学学生
16、生在在A，B两两家家餐餐厅厅用用餐餐的的满满意意度度，从从在在A，B两两家家餐餐厅厅都都用用过过餐餐的的学学生生中中随随机机抽抽取取了了100人人，每每人人分分别别对对这这两两家家餐餐厅厅进进行行评评分分，满满分分均均为为60分分整整理理评评分分数数据据，将将分分数数以以10为为组组距分成距分成6组组：0，10)，10，20)，20，30)，30，40)，40，50)，50，60，得得到到A餐餐厅厅分分数数的的频频率率分分布布直直方方图图和和B餐餐厅厅分数的分数的频频数分布表：数分布表：例例3B餐餐厅厅分数分数频频数分布表数分布表分数区分数区间间频频数数0，10)210，20)320，30)5
17、30，40)1540，50)4050，6035定定义义学生学生对对餐餐厅评厅评价的价的“满满意度指数意度指数”如下：如下：(1)在在抽抽样样的的100人人中中，求求对对A餐餐厅厅评评价价“满满意意度度指指数数”为为0的人数；的人数；(2)从从该该校校在在A，B两两家家餐餐厅厅都都用用过过餐餐的的学学生生中中随随机机抽抽取取1人人进进行行调调查查，试试估估计计其其对对A餐餐厅厅评评价价的的“满满意意度度指指数数”比比对对B餐餐厅评厅评价的价的“满满意度指数意度指数”高的概率高的概率分数分数0，30)30，50)50，60满满意度指数意度指数012(3)如如果果从从A，B两两家家餐餐厅厅中中选选择
18、择一一家家用用餐餐，你你会会选选择择哪哪一家？一家？请说请说明理由明理由【解解析析】(1)由由对对A餐餐厅厅评评分分的的频频率率分分布布直直方方图图，得得对对A餐餐厅厅“满满意意度度指指数数”为为0的的频频率率为为(0.0030.0050.012)100.2，所所以以，对对A餐餐厅厅评评价价“满满意意度度指指数数”为为0的人数为的人数为1000.220(人人)所以所以P(C)P(A1B0A2B0A2B1)P(A1)P(B0)P(A2)P(B0)P(A2)P(B1)0.40.10.40.10.40.550.3，所所以以该该校校学学生生对对A餐餐厅厅评评价价的的“满满意意度度指指数数”比比对对B餐
19、厅评价的餐厅评价的“满意度指数满意度指数”高的概率为高的概率为0.3.(3)(答答案案不不唯唯一一)如如果果从从学学生生对对A，B两两家家餐餐厅厅评评价价的的“满意度指数满意度指数”的期望角度看：的期望角度看：A餐厅餐厅“满意度指数满意度指数”X的分布列为：的分布列为：B餐厅餐厅“满意度指数满意度指数”Y的分布列为：的分布列为：因为因为E(X)00.210.420.41.2；E(Y)00.110.5520.351.25，所以所以E(X)E(Y)，会选择会选择B餐厅用餐餐厅用餐X012P0.20.40.4Y012P0.10.550.35方法技巧方法技巧1求解随机变量分布列问题的两个关键点求解随机
20、变量分布列问题的两个关键点(1)求求离离散散型型随随机机变变量量分分布布列列的的关关键键是是正正确确理理解解随随机机变变量量取取每每一一个个值值所所表表示示的的具具体体事事件件，然然后后综综合合应应用用各各类概率公式求概率类概率公式求概率(2)求求随随机机变变量量均均值值与与方方差差的的关关键键是是正正确确求求出出随随机机变变量量的的分分布布列列，若若随随机机变变量量服服从从二二项项分分布布，则则可可直直接接使使用公式法求解用公式法求解2现实生活中常用随机变量的均值与方差现实生活中常用随机变量的均值与方差，分析风分析风险正确决策险正确决策突破练突破练2(2018湖湖南南五五市市联联考考)为为响
21、响应应国国家家“精精准准扶扶贫贫，产产业业扶扶贫贫”战战略略的的号号召召，进进一一步步优优化化能能源源消消费费结结构构，某某市市决决定定在在地地处处山山区区的的A县县推推进进光光伏伏发发电电项项目目在在该该县县山山区区居居民民中中随随机机抽抽取取50户户，统统计计其其年年用用电电量量得得以以下下统统计计表表以以样样本的本的频频率作率作为为概率概率用用电电量量(单单位：度位：度)(0，200(200，400(400，600(600，800(800，1 000户户数数51510155(1)在在该该县县山山区区居居民民中中随随机机抽抽取取10户户，记记其其中中年年用用电电量不超量不超过过600度的度
22、的户户数数为为X，求，求X的数学期望；的数学期望；(2)已已知知该该县县某某山山区区自自然然村村有有居居民民300户户若若计计划划在在该该村村安安装装总总装装机机容容量量为为300千千瓦瓦的的光光伏伏发发电电机机组组，该该机机组组所所发发电电量量除除保保证证该该村村正正常常用用电电外外，剩剩余余电电量量国国家家电电网网以以0.8元元/度度的的价价格格进进行行收收购购经经测测算算每每千千瓦瓦装装机机容容量量的的发发电电机机组组年年平平均均发发电电1 000度度，试试估估计计该该机机组组每每年年所所发发电电量量除除保保证证正正常常用用电电外外还还能能为为该该村村创创造造直直接接收收益益多多少少元元
