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1、则弧长微分(wi fn)公式为或几何(j h)意义:若曲线由参数(cnsh)方程表示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共19页第一页，共20页。二、曲率二、曲率(ql)及其计及其计算公式算公式在光滑弧上自点(z din) M 开始取弧段, 其长为对应(duyng)切线定义弧段 上的平均曲率点 M 处的曲率注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 转角为第2页/共19页第二页，共20页。例例1.求半径为求半径为R的圆上任意的圆上任意(rny)点点处的曲率处的曲率.解: 如图所示 ,可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲(wnq)得愈厉害 ;R 愈
2、大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲(wnq)得愈小 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共19页第三页，共20页。有曲率(ql)近似计算公式故曲率(ql)计算公式为又曲率曲率(ql)K的计的计算公式算公式二阶可导,设曲线弧则由机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共19页第四页，共20页。说明说明(shumng):(1) 若曲线由参数(cnsh)方程给出, 则(2) 若曲线(qxin)方程为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共19页第五页，共20页。例例2.我国铁路常用我国铁路常用(chnyn)立方抛物线立方抛物线作缓和(hunh)曲线,处的曲率(ql).点击图片任意处
3、播放暂停说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点机动 目录 上页 下页 返回 结束 且 l R. 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 离心力必须连续变化 ,因此铁道的曲率应连续变化 . 第6页/共19页第六页，共20页。例例2.我国铁路我国铁路(til)常用常用立方抛物线立方抛物线作缓和(hunh)曲线,且 l R. 处的曲率(ql).其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:显然第7页/共19页第七页，共20页。例例3.求椭圆求椭圆(tuyun)在何处(h ch)曲率最大?解:故曲率(q
4、l)为K 最大最小机动 目录 上页 下页 返回 结束 求驻点: 第8页/共19页第八页，共20页。设从而(cng r) K 取最大值 .这说明(shumng)椭圆在点处曲率(ql)机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算驻点处的函数值:最大.第9页/共19页第九页，共20页。三、三、曲率曲率(ql)圆与曲率圆与曲率(ql)半径半径设 M 为曲线(qxin) C 上任一点 ,在点在曲线(qxin)把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆( 密切圆 ) ,R 叫做曲率半径,D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1) 有公切线;(2) 凹向一致;(3) 曲率
5、相同 .M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共19页第十页，共20页。设曲线设曲线(qxin)方程为方程为且求曲线(qxin)上点M 处的曲率(ql)半径及曲率(ql)中心设点M 处的曲率圆方程为故曲率半径公式为满足方程组的坐标公式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共19页第十一页，共20页。由此可得曲率中心(zhngxn)公式(注意与异号 )当点 M (x , y) 沿曲线(qxin) 移动(ydng)时,的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 ,相应的曲率中心曲率中心公式可看成渐曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 .
6、机动 目录 上页 下页 返回 结束 屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停第12页/共19页第十二页，共20页。例例4.设一工件内表面的截痕为一椭圆设一工件内表面的截痕为一椭圆(tuyun),现现要用砂轮磨要用砂轮磨削其内(q ni)表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?解: 设椭圆(tuyun)方程为由例3可知, 椭圆在处曲率最大 ,即曲率半径最小, 且为显然, 砂轮半径不超过时, 才不会产生过量磨损 ,或有的地方磨不到的问题.例3 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共19页第十三页，共20页。( 仍为摆线(bi xin) )例例5.求摆线求摆线(bixin)的渐屈线方
7、程(fngchng) . 解:代入曲率中心公式 ,得摆线 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共19页第十四页，共20页。内容内容(nirng)小结小结1. 弧长微分(wi fn)或2. 曲率(ql)公式3. 曲率圆曲率半径曲率中心机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共19页第十六页，共20页。思考思考(sko)与练习与练习1. 曲线(qxin)在一点处的曲率圆与曲线(qxin)有何密切关系?答: 有公切线 ;凹向一致(yzh) ;曲率相同.2. 求双曲线的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小?解:则利用机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共19页第十七页，共20页。
8、作业作业(zuy)第八节 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 P175 4 ； 5 ； 7 ； 8 ； 9 第18页/共19页第十八页，共20页。2024/7/27阜师院数科院感谢您的欣赏(xnshng)！第19页/共19页第十九页，共20页。内容(nirng)总结则弧长微分公式为。点 M 处的曲率。注意: 直线上任意点处的曲率为 0。解: 如图所示 ,。(3) 曲率相同 .。的凹向一侧法线上取点 D 使。屈线的参数方程(参数为x).。例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨。削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适。或有的地方磨不到的问题.。( 仍为摆线 )。半径(bnjng)为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时 ,。1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系。第18页/共19页第二十页，共20页。
