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1、第第0章章 基本知识基本知识一、什么是高等数学一、什么是高等数学 ?初等数学 研究对象为常量常量, 以静止观点研究问题.高等数学 研究对象为变量变量, 运动运动和辩证法辩证法进入了数学.数学中的转折点转折点是笛卡儿的变数变数.有了变数 , 运动运动进入了数学,有了变数，辩证法辩证法进入了数学 ,有了变数 , 微分和积分微分和积分也就立刻成为必要的了. 恩格斯恩格斯1教学运用1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分(上册)(下册)3. 向量代数与空间解析几何4. 无穷级数5. 常微分方程二、主要内容二、主要内容多元微积分2教学运用三、如何学习高等数学三、如何学习高等
2、数学 ?1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.会运用数学能力。2. 学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习聪明在于学习 , 天才在于积累天才在于积累 .学而优则用学而优则用 , 学而优则创学而优则创 .由薄到厚由薄到厚 , 由厚到薄由厚到薄 .马克思马克思 一门科学, 只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步 .华罗庚华罗庚3教学运用3 3、极限的思维方法、极限的思维方法1 1） 计算圆的周长计算圆的周长圆内接正圆内接正n 边形边形Or)4教学运用5教学运用abxyo3)计算曲边梯形面积计算曲边梯形面积曲边梯形面积为曲边梯形面积为6教学运用4)无穷级数7教学运用具备的数学素
3、质： 从实际问题抽象出数学模型的能力 计算与分析的能力 了解和使用现代数学语言和符号的能力 使用数学软件学习和应用数学的能力8教学运用一、基本概念一、基本概念1.1.集合集合: :具有某种特定性质的对象的具有某种特定性质的对象的全体全体.组成集合的事物称为该集合的组成集合的事物称为该集合的元素元素.P（x)表示元素具有性质表示元素具有性质 第第0 0章章 基本知识基本知识9教学运用2.2.邻域邻域: :10教学运用二、函数11教学运用函数类别： 显函数 y=f(x) 隐函数 F(x,y)=0 参量函数 初等代数函数(只含代数运算显函数） 分段表达函数 单值函数 多值函数基本初等函数（基本初等函
4、数（幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和三角函数和反三角函数）反三角函数）.12教学运用 (1) 符号函数符号函数几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyo13教学运用(2) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线14教学运用有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3) 狄利克雷函数狄利克雷函数15教学运用(4) 取最值函数取最值函数yxoyxo 在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则对应法则用不同的式子来表示的函
5、数用不同的式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.16教学运用复合函数复合函数定义定义: 设函数设函数y=f(u),u U，函数，函数u= (x), x X, 其值其值域域为为 (X)=uu= (x), x X U，则称函数，则称函数y=f (x)为为x的的复合函数复合函数。代入法代入法17教学运用复合函数 则设有函数链称为由, 确定的复合函数 , 复合映射的特例 u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 不可少. 例如例如, 函数链 :函数但函数链不能构成复合函数 .可定义复合18教学运用注注: :0复合函数可以由两个以上的函数经过复合复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成构成.
6、复合函数复合函数代入法代入法19教学运用 初等函数初等函数定义定义: 由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算所构成并可用一个式子表示的显函数，称为初等函数。运算所构成并可用一个式子表示的显函数，称为初等函数。例：例：不是初等函数不是初等函数为初等函数为初等函数不是初等函数不是初等函数为初等函数为初等函数可表为故为初等函数.20教学运用双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数奇函数奇函数.偶函数偶函数.双曲函数双曲函数21教学运用奇函数奇函数,有界函数有界函数,22教学运用双曲函数常用公式双曲函数常用公式23教学运用2.反双曲函数反双曲函数奇
7、函数奇函数,24教学运用25教学运用奇函数奇函数,26教学运用三三. 函数的几种特性函数的几种特性设函数且有区间(1) 有界性有界性使称 A为上界，B为下界。 (2) 单调性单调性为有界函数.当时,称 为 I 上的单调增函数 ;称 为 I 上的单调减函数 .27教学运用(3) 奇偶性奇偶性且有若则称 f (x) 为偶函数;若则称 f (x) 为奇函数. 说明说明: 若在 x = 0 有定义 ,为奇函数奇函数时,则当必有例如, 偶函数双曲余弦 记28教学运用例例1 1 判断函数判断函数 的奇偶性的奇偶性. .解：解： f(x) f(x)是奇函数是奇函数. .例例2 2 设设f(x)f(x)在在R
8、 R上定义，证明上定义，证明f(x)f(x)可分解为一个奇函数与可分解为一个奇函数与一个偶函数的和。一个偶函数的和。证明：设证明：设显然显然 g g( (x x) )是偶函数，是偶函数，h h( (x x) )是奇函数是奇函数, ,而而 故命题的证故命题的证. . 29教学运用(4) 周期性周期性且则称为周期函数 ,若称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).周期为 周期为注注: 周期函数不一定存在最小正周期 .例如, 常量函数狄里克雷函数x 为有理数x 为无理数30教学运用四四. 反函数反函数若函数为单射, 则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为 f 的反函数 .其反函数(减)(减) .
9、1) yf (x) 单调递增且也单调递增 性质: 31教学运用2) 函数与其反函数的图形关于直线对称 .例如 ,对数函数互为反函数 ,它们都单调递增, 其图形关于直线对称 .指数函数32教学运用例例1 1 证明若函数证明若函数 y = y = f f (x)(x)是奇函数且存在反函数是奇函数且存在反函数 x = x = f f 1 1(y), (y), 则反函数也是奇函数则反函数也是奇函数。证明：证明：反函数是奇函数。反函数是奇函数。例例2 2解解: : 当当x x 0 0时时,y,y 1,1,当当xx0 0时时,y1,x=y-1,y N2 时, 有收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当
10、n N1 时, 假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, 故假设不真 !满足的不等式37教学运用两边夹准则证证: 由条件 (2) ,当时,当时,令则当时, 有由条件 (1)即故 38教学运用两边夹法则.若则：39教学运用例例. 证明数列是发散的. 证证: 用反证法.假设数列收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .取则存在 N ,但因交替取值 1 与1 , 内,而此二数不可能同时落在长度为 1 的开区间 使当 n N 时 , 有因此该数列发散 .40教学运用例例(P10) (P10) 证明证明 若若X2k-1a,Xa,X2k2ka(k),a(k), 则则数列数列Xn收敛于收敛于a。证：对任0,K1,当kK1 时X2k 落在a-,a+即满足|2k-a|(1) K2当kK2时X2k-1 落在a-,a+即满足|2k-1-a| (2) 取N=max2K1,2K2-1, 当nN,必有Xn落在a-,a+即满足|n-a| 41教学运用例例解解由夹逼定理得由夹逼定理得42教学运用例例 讨论下列极限讨论下列极限：（1） (3(3）设）设x x1 1=1,x=1,xn+1n+1=1+2x=1+2xn n(n=1,2(n=1,2) )讨论讨论(5) (5) 若等比级数若等比级数43教学运用例题例题44教学运用
