概率论与数理统计教程 第七章 假设检验

《概率论与数理统计教程 第七章 假设检验》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计教程 第七章 假设检验（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第1 1页页第七章 假设检验 7.1 假设检验的基本思想与概念7.2 正态总体参数假设检验7.3 其它分布参数的假设检验7.4 分布拟合检验第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第2 2页页7.1 假设检验的基本思想与概念 7.1.1 假设检验问题 例7.1.1 某厂生产的合金强度服从 ，其中 的设计值 为不低于110(Pa)。为保证质量，该 厂每天都要对生产情况做例行检查，以判断生 产是否正常进行,即该合金的平均强度不低于 110(Pa)。某天

2、从生产中随机抽取25块合金， 测得强度值为x1, x2 , , x25，其均值为 (Pa)，问当日生产是否正常？ 第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第3 3页页(1) 是参数估计问题吗？(2) 回答“是”还是“否” ，假设检验问题。(3) 命题“合金平均强度不低于110Pa”正确与 否仅涉及如下两个参数集合： 这两个非空参数集合都称作统计假设，简称假设。 (4) 我们的任务是利用样本去判断假设（命题） “ ”是否成立。这里的“判断”在统计学中 称为检验或检验法则。 第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20

3、247/27/2024第第4 4页页7.1.2 假设检验的基本步骤 一、一、建立假设 在假设检验中，常把一个被检验的假设称为原假设，用 表示，通常将不应轻易加以否定的假设作为原假设。当 被拒绝时而接收的假设称为备择假设，用 表示，它们常常成对出现。在例7.1.1中，我们可建立如下两个假设： 第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第5 5页页二、选择检验统计量，给出拒绝域形式由样本对原假设进行判断总是通过一个统计量完成的，该统计量称为检验统计量。使原假设被拒绝的样本观测值所在区域称为拒绝域，一般用W 表示，在例7.1.1中，样本均值 愈大，

4、意味着总体均值 也大，因此，合理的拒绝域形如第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第6 6页页正如在数学上我们不能用一个例子去证明一个结论一样，用一个样本（例子）不能证明一个命题（假设）是成立的，但可以用一个例子（样本）推翻一个命题。因此，从逻辑上看，注重拒绝域是适当的。事实上，在“拒绝原假设”和“拒绝备择假设（从而接收原假设）”之间还有一个模糊域，如今我们把它并入接收域，所以接收域是复杂的，将之称为保留域也许更恰当，但习惯上已把它称为接收域，没有必要再进行改变，只是应注意它的含义。第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学

5、7/27/20247/27/2024第第7 7页页三、选择显著性水平检验可能犯以下两类错误： 其一是 为真但样本观测值落在拒绝域中， 从而拒绝原假设 ，这种错误称为第一类错 误，其发生的概率称为犯第一类错误的概率， 或称拒真概率，通常记为 其二是 不真（即 为真）但样本观测值落 在接受域中，从而接受原假设 ，这种错误称 为第二类错误，其发生的概率称为犯第二类错 误的概率,或称受伪概率，通常记为 。第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第8 8页页观测数据情况总体情况犯第一类错误正确正确犯第二类错误为真 为真第七章第七章 假设检验假设检验

6、华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第9 9页页则称该检验是显著性水平为 的显著性检验，简称水平为 的检验。 定义7.1.2 对检验问题对如果一个检验满足对任意的 ，都有 第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第1010页页四、给出拒绝域确定显著性水平后，可以定出检验的拒绝域W。 在例7.1.1中，若取=0.05, 由于g()关于 单调减，只需要成立即可。这给出c 的值为=108.684检验的拒绝域为第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第1111页页若令则

7、拒绝域有另一种表示:第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第1212页页五、作出判断 在有了明确的拒绝域后，根据样本观测值我们可以做出判断： 当 或 时，则拒绝 即接收 ； 当 或 时，则接收 在例7.1.1中，由于因此拒绝原假设，即认为该日生产不正常。第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第1313页页7.2 正态总体参数假设检验 参数假设检验常见的有三种基本形式(1)(2)(3) 当备择假设 在原假设 一侧时的检验称 为单侧检验； 当备择假设 分散在原假设 两侧时的检验 称为双侧

8、检验。 第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第1414页页7.2.1 单个正态总体均值的检验一、已知 时的u 检验设 是来自 的样本，考虑关于 的检验问题。检验统计量可选为三种假设的拒绝域形式分别见下图：第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第1515页页(a)(b)(c)第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第1616页页该检验用 u 检验统计量，故称为u 检验。 下面以 为例说明：由 可推出具体的拒绝域为该检验的势函数是

9、的函数，它可用正态分布写出，具体为 第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第1717页页势函数是 的增函数（见图），只要 就可保证在 时有7.2.1 (a) 的图形第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第1818页页对单侧检验 是类似的，只是拒绝域变为:其势函数为对双侧检验问题(7.2.3)，拒绝域为其势函数为第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第1919页页7.2.1(b)(c) 的图形第七章第七章 假设检验假设检验 华东师

10、范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第2020页页例7.2.1 从甲地发送一个讯号到乙地。设乙地接 受到的讯号值服从正态分布 其中 为甲地发送的真实讯号值。现甲地重复发送同 一讯号5次，乙地接收到的讯号值为 8.05 8.15 8.2 8.1 8.25设接受方有理由猜测甲地发送的讯号值为8，问能否接受这猜测？ 第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第2121页页解：这是一个假设检验的问题，总体X N(, 0.22),检验假设:这个双侧检验问题的拒绝域为取置信水平 =0.05，则查表知 u0.975=1.96。用观测值可

11、计算得u 值未落入拒绝域内，故不能拒绝原假设，即接受原假设，可认为猜测成立。第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第2222页页二、 未知时的t 检验由于 未知，一个自然的想法是将（7.2.4）中未知的 替换成样本标准差s，这就形成t 检验统计量(7.2.9)三种假设的检验拒绝域分别为第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第2323页页例例7.2.2 某厂生产的某种铝材的长度服从正态分 布，其均值设定为240厘米。现从该厂抽取5件 产品，测得其长度为（单位：厘米）239.7 239.

12、6 239 240 239.2试判断该厂此类铝材的长度是否满足设定要求？ 解：这是一个关于正态均值的双侧假设检验问题。 采用t 检验，拒绝域为:第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第2424页页现由样本计算得到:t =2.7951由于2.79512.776，故拒绝原假设，认为该厂生产的铝材的长度不满足设定要求。 若取 =0.05，则 t0.975(4)= 2.776.故第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第2525页页检验法条件检验统计量拒绝域u 检验 已知t 检验 未知原假设备

13、择假设表7.2.1 单个正态总体的均值的检验问题第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第2626页页三、假设检验与置信区间的关系 这里用的检验统计量与6.5.5节中置信区间所用的枢轴量是相似的。这不是偶然的，两者之间存在非常密切的关系。 设 是来自正态总体 的样本，现在 未知场合讨论关于均值 的检验问题。考虑双侧检验问题: 第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第2727页页它可以改写为并且有若让0 在(- )内取值，就可得到 的1- 置置信区间： 这里0并无限制.则水平为的检验接收

14、域为 第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第2828页页关于 的水平为 的显著性检验。是一一对应的。 类似地，“参数 的1- 置信上限”与“关于 的单侧检验问题的水平 的检验”反之若有一个如上的1- 置信区间，也可获得所以: “正态均值 的1- 置信区间”与“关于 的双侧检验问题的水平 的检验”参数 的1- 置信下限与另一个单侧检验也是一一对应的。是一一对应的。 第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第2929页页7.2.2 两个正态总体均值差的检验检验法条件原假设备择假设检验统计

15、量拒绝域u检验已知t 检验未知第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第3030页页大样本检u 验 未知m,n充分大近似t 检验未知m,n不很大第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第3131页页例7.2.3 某厂铸造车间为提高铸件的耐磨性而 试制了一种镍合金铸件以取代铜合金铸件， 为此，从两种铸件中各抽取一个容量分别为 8和9的样本，测得其硬度为 镍合金： 76.43 76.21 73.58 69.69 65.29 70.83 82.75 72.34铜合金： 73.66 64.27

16、69.34 71.37 69.77 68.12 67.27 68.07 62.61 根据经验，硬度服从正态分布，且方差保持不变。试在显著性水平下判断镍合金的硬度是否有明显提高。第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第3232页页解：用X 表示镍合金的硬度，Y 表示铜合金的硬 度，则由假定， 要检验的假设是： 经计算， 从而第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第3333页页查表知由于故拒绝原假设，可判断镍合金硬度有显著提高。第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/

17、27/20247/27/2024第第3434页页7.2.3 正态总体方差的检验一、单个正态总体方差的检验 设 是来自 的样本，对方差亦可考虑如下三个检验问题： 通常假定 未知，它们采用的检验统计量是第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第3535页页相同的，均为 若取显著性水平为 ，则对应三个检验问题的拒绝域依次分别为第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第3636页页例7.2.4 某类钢板每块的重量X 服从正态分布， 其一项质量指标是钢板重量的方差不得超过 0.016 (kg2)。

18、现从某天生产的钢板中随机抽取 25块，得其样本方差S2=0.025(kg2)，问该天生 产的钢板重量的方差是否满足要求。解：原假设为备择假设为此处n=25，若取 =0.05，则查表知第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第3737页页由此，在显著性水平0.05下，我们拒绝原假设，认为该天生产的钢板重量不符合要求。现计算可得第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第3838页页二、两个正态总体方差比的F 检验 设 是来自 的样本， 是来自 的样本。考虑如下三个假设检验问题 通常 , 均未

19、知，记 , 分别是由算得的 的无偏估计和由 算得的 的无偏估计.第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第3939页页可建立检验统计量:三种检验问题对应的拒绝域依次为。 或第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第4040页页例7.2.5 甲、乙两台机床加工某种零件，零件 的直径服从正态分布，总体方差反映了加工 精度，为比较两台机床的加工精度有无差别， 现从各自加工的零件中分别抽取7件产品和8 件产品，测得其直径为 X (机床甲)16.2 16.4 15.8 15.5 16.7 15.6

20、 15.8Y (机床乙)15.9 16.0 16.4 16.1 16.5 15.8 15.7 15.0第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第4141页页这就形成了一个双侧假设检验问题，原假设是 备择假设为 此处 m=7，n=8，经计算查表知于是 ，若取 =0.05，其拒绝域为第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第4242页页由此可见，样本未落入拒绝域，即在0.05水平下可以认为两台机床的加工精度一致。 第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/

21、27/2024第第4343页页7.4.3 正态性检验正态分布是最常用的分布，用来判断总体分布是否为正态分布的检验方法称为正态性检验，它在实际问题中大量使用。一、 正态概率纸正态概率纸可用来作正态性检验，方法如下：利用样本数据在概率纸上描点，用目测方法看这些点是否在一条直线附近，若是的话，可以认为该数据来自正态总体，若明显不在一条直线附近，则认为该数据来自非正态总体。第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第4444页页例7.4.4 随机选取10个零件，测得其直径与标 准尺寸的偏差如下：（单位：丝） 9.4 8.8 9.6 10.2 10.1

22、 7.2 11.1 8.2 8.6 9.6 在正态概率纸上作图步骤如下： (1) 首先将数据排序： 7.2 8.2 8.6 8.8 9.4 9.6 9.8 10.1 10.2 11.1; (2) 对每一个i，计算修正频率 (i-0.375)/(n+0.25), i=1,2,n,第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第4545页页 (3) 将点 逐一点在正态概率纸上, (4) 观察上述n个点的分布: 若诸点在一条直线附近,则认为该批数 据来自正态总体； 若诸点明显不在一条直线附近，则认为 该批数据的总体不是正态分布。 第七章第七章 假设检验

23、假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第4646页页从图7.4.2可以看到，10个点基本在一条直线附近，故可认为直径与标准尺寸的偏差服从正态分布。 第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第4747页页如果从正态概率纸上确认总体是非正态分布时，可对原始数据进行变换后再在正态概率纸上描点，若变换后的点在正态概率纸上近似在一条直线附近，则可以认为变换后的数据来自正态分布，这样的变换称为正态性变换。常用的正态性变换有如下三个：对数变换 、倒数变换 和根号变换 。 第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师

24、范大学7/27/20247/27/2024第第4848页页图7.4.3 给出这10个点在正态概率纸上的图形，这10个点明显不在一条直线附近，所以可以认为该电子元件的寿命的分布不是正态分布。例7.4.5 随机抽取某种电子元件10个,测得其寿 命数据如下:110.47, 99.16, 97.04, 77.60, 4269.82,539.35, 179.49, 782.93, 561.10, 286.80.第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第4949页页 图7.4.3 例7.4.5 的正态概率纸第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华

25、东师范大学7/27/20247/27/2024第第5050页页对该10个寿命数据作对数变换,结果见表7.4.8 表7.4.8 对数变换后的数据 1 32.623.4849 0.061 6286.80 5.6588 0.5492 97.04 4.5752 0.159 7539.35 6.2904 0.6463 99.16 4.5967 0.256 8561.10 6.3299 0.7434 110.47 4.7048 0.354 9 782.936.6630 0.8415 179.49 5.1901 0.451 10 2269.82 7.7275 0.939ii第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第5151页页利用表7.4.8 中最后两列上的数据在正态概率纸上描点，结果见图7.4.4，从图上可以看到10个点近似在一条直线附近，说明对数变换后的数据可以看成来自正态分布。这也意味着，原始数据服从对数正态分布第七章第七章 假设检验假设检验 华东师范大学华东师范大学7/27/20247/27/2024第第5252页页图7.4.4 变换后数据的正态概率纸