《高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 6.6 数学归纳法课件 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 6.6 数学归纳法课件 理（81页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六节数学归纳法【知识梳理【知识梳理】数学归纳法数学归纳法一般地一般地, ,证明一个与正整数证明一个与正整数n n有关的命题有关的命题, ,可按下列步骤可按下列步骤进行进行: :(1)(1)(归纳奠基归纳奠基) )证明当证明当n n取取_(n_(n0 0NN* *) )时命题时命题成立成立. .第一个值第一个值n n0 0(2)(2)(归纳递推归纳递推) )假设当假设当n=k(knn=k(kn0 0,kN,kN* *) )时命题成立时命题成立, ,证明当证明当_时命题也成立时命题也成立. .只要完成这两个步骤只要完成这两个步骤, ,就可以断定命题对就可以断定命题对_都成立都成立, ,上述证明方
2、法叫做数学归纳法上述证明方法叫做数学归纳法. .n=k+1n=k+1从从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n n【特别提醒【特别提醒】1.1.数学归纳法证题时数学归纳法证题时, ,误把第一个值误把第一个值n n0 0认为是认为是1,1,如证明如证明多边形内角和定理多边形内角和定理(n-2)(n-2)时时, ,初始值初始值n n0 0=3.=3.2.2.数学归纳法证题的关键是第二步数学归纳法证题的关键是第二步, ,证题时应注意证题时应注意: :(1)(1)必须利用归纳假设作基础必须利用归纳假设作基础. .(2)(2)证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法证明中可利用综合法、分析法、反
3、证法等方法. .(3)(3)解题时要搞清从解题时要搞清从n=kn=k到到n=k+1n=k+1增加了哪些项或减少了增加了哪些项或减少了哪些项哪些项. .【小题快练【小题快练】链接教材练一练链接教材练一练1.(1.(选修选修2-2P992-2P99习题习题B B组组T1T1改编改编) )在应用数学归纳法证在应用数学归纳法证明凸明凸n n边形的对角线为边形的对角线为 n(n-3)n(n-3)条时条时, ,第一步检验第一步检验n n等等于于( () )A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【解析【解析】选选C.C.三角形是边数最少的凸多边形三角形是边数最少的凸多边形, ,故第一步故第一步应检
4、验应检验n=3.n=3.2.(2.(选修选修2-2P962-2P96习题习题2.3A2.3A组组T1(3)T1(3)改编改编) )用数学归纳法证用数学归纳法证明明“1+2+21+2+22 2+ +2+2n-1n-1=2=2n n-1(nN-1(nN* *) )”的过程中的过程中, ,第二步第二步n=kn=k时等式成立时等式成立, ,则当则当n=k+1n=k+1时时, ,应得到应得到( () )A.1+2+2A.1+2+22 2+ +2+2k-2k-2+2+2k-1k-1=2=2k+1k+1-1-1B.1+2+2B.1+2+22 2+ +2+2k k+2+2k+1k+1=2=2k k-1+2-1
5、+2k+1k+1C.1+2+2C.1+2+22 2+ +2+2k-1k-1+2+2k+1k+1=2=2k+1k+1-1-1D.1+2+2D.1+2+22 2+ +2+2k-1k-1+2+2k k=2=2k+1k+1-1-1【解析【解析】选选D.D.由条件知由条件知, ,左边从左边从2 20 0,2,21 1到到2 2n-1n-1都是连续的都是连续的, ,因此当因此当n=k+1n=k+1时时, ,左边应为左边应为1+2+21+2+22 2+ +2+2k-1k-1+2+2k k, ,而右边应而右边应为为2 2k+1k+1-1.-1.感悟专题试一试感悟专题试一试3.(20163.(2016延安模拟延
6、安模拟) )利用数学归纳法证明不等式利用数学归纳法证明不等式 f(n)(n2,nN1)n1)时时, ,第一步第一步: :不等式的左边是不等式的左边是_._.【解析【解析】用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式 (nN(nN* *且且n1)n1)时时, ,第一步第一步: :不等式的左边是不等式的左边是 答案答案: : 考向一考向一利用数学归纳法证明等式利用数学归纳法证明等式【典例【典例1 1】(2016(2016宜春模拟宜春模拟) )求证求证 (nN(nN* *).).【解题导引【解题导引】根据数学归纳法证明等式的步骤进行证根据数学归纳法证明等式的步骤进行证明明. .【规范解答【规范解答】
7、(1)(1)当当n=1n=1时时, ,左边左边= = 右边右边= = 左边左边= =右边右边. .(2)(2)假设假设n=kn=k时等式成立，时等式成立，即即则当则当n=k+1n=k+1时，时，即当即当n=k+1n=k+1时，等式也成立时，等式也成立. .综合综合(1)(2)(1)(2)可知，对一切可知，对一切nNnN* *，等式成立，等式成立. .【规律方法【规律方法】数学归纳法证明等式的思路和注意点数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)(1)思路思路: :用数学归纳法证明等式问题用数学归纳法证明等式问题, ,要要“先看项先看项”, ,弄清等式两边的构成规律弄清等式两边的构成规律, ,等式两
8、边各有多少项等式两边各有多少项, ,初始初始值值n n0 0是多少是多少. .(2)(2)注意点注意点: :由由n=kn=k时等式成立时等式成立, ,推出推出n=k+1n=k+1时等式成立时等式成立, ,一一要找出等式两边的变化要找出等式两边的变化( (差异差异),),明确变形目标明确变形目标; ;二要充分二要充分利用归纳假设利用归纳假设, ,进行合理变形进行合理变形, ,正确写出证明过程正确写出证明过程. .易错提醒易错提醒: :数学归纳法强调步骤数学归纳法强调步骤“程式化程式化”, ,要充分利用要充分利用归纳假设归纳假设, ,否则就不是数学归纳法否则就不是数学归纳法. .【变式训练【变式训
9、练】设设f(n)= (nNf(n)= (nN* *).).求证求证:f(1)+f(2)+:f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n)-1(n2,nN+f(n-1)=nf(n)-1(n2,nN* *).).【证明【证明】(1)(1)当当n=2n=2时时, ,左边左边=f(1)=1,=f(1)=1,右边右边= = 左边左边= =右边右边, ,等式成立等式成立. .(2)(2)假设假设n=k(k2,kNn=k(k2,kN* *) )时时, ,结论成立结论成立, ,即即f(1)+f(2)+f(1)+f(2)+f(k-1)=kf(k)-1,+f(k-1)=kf(k)-1,那么那么, ,当当n=k+1n
10、=k+1时时, ,f(1)+f(2)+f(1)+f(2)+f(k-1)+f(k)+f(k-1)+f(k)=kf(k)-1+f(k)=(k+1)f(k)-k=kf(k)-1+f(k)=(k+1)f(k)-k =(k+1)f(k+1)-(k+1)=(k+1)f(k+1)-1,=(k+1)f(k+1)-(k+1)=(k+1)f(k+1)-1,所以当所以当n=k+1n=k+1时结论仍然成立时结论仍然成立. .综合综合(1)(2)(1)(2)可知可知, ,对一切对一切n2,nNn2,nN* *, ,等式成立等式成立. .【加固训练【加固训练】1.1.用数学归纳法证明用数学归纳法证明: :对任意的对任意的
11、nNnN* *, , 【证明【证明】(1)(1)当当n=1n=1时时, ,左边左边= = 右边右边= = 左边左边= =右边右边, ,等式成立等式成立. .(2)(2)假设当假设当n=k(kNn=k(kN* *且且k1)k1)时等式成立时等式成立, ,即有即有 则当则当n=k+1n=k+1时时, ,所以当所以当n=k+1n=k+1时时, ,等式也成立等式也成立, ,由由(1)(2)(1)(2)可知可知, ,对一切对一切nNnN* *等式都成立等式都成立. .2.2.用数学归纳法证明用数学归纳法证明1+a+a1+a+a2 2+ +a+an-1n-1= (a1,nN= (a1,nN* *).).【
12、证明【证明】(1)(1)当当n=1n=1时时, ,左边左边=1,=1,右边右边= =1,= =1,等式成立等式成立. .(2)(2)假设当假设当n=k(kNn=k(kN* *) )时时, ,等式成立等式成立, ,即即1+a+a1+a+a2 2+ +a+ak-1k-1= = 那么那么n=k+1n=k+1时时, ,左边左边=1+a+a=1+a+a2 2+ +a+ak-1k-1+a+ak k= +a= +ak k所以等式也成立所以等式也成立. .由由(1)(2)(1)(2)可知可知, ,对任意对任意nNnN* *等式均成立等式均成立. .考向二考向二利用数学归纳法证明不等式利用数学归纳法证明不等式【
13、典例【典例2 2】已知数列已知数列aan n,a,an n0,a0,a1 1=0, a=0, an+1n+12 2+a+an+1n+1-1=a-1=an n2 2. .求证求证: :当当nNnN* *时时,a,an naan+1n+1. .【解题导引【解题导引】按照数学归纳法的步骤进行证明按照数学归纳法的步骤进行证明. .【规范解答【规范解答】(1)(1)当当n=1n=1时时, ,因为因为a a2 2是方程是方程a a2 22 2+a+a2 2-1=0-1=0的的正根正根, ,所以所以a a2 2= ,= ,即即a a1 1aa2 2成立成立. .(2)(2)假设当假设当n=k(kNn=k(k
14、N* *,k1),k1)时时,0a,0ak ka0,+1)0,又又a ak+1k+1aak k0,0,所以所以a ak+2k+2+a+ak+1k+1+10,+10,所以所以a ak+1k+1aak+2k+2, ,即当即当n=k+1n=k+1时时,a,an naan+1n+1也成立也成立. .综上综上, ,可知可知a an naan+1n+1对任何对任何nNnN* *都成立都成立. .【母题变式【母题变式】1.1.在本例中把题设条件中的在本例中把题设条件中的“a an n00”改为改为“当当n2n2时时,a,an n-1-1”, ,其余条件不变其余条件不变, ,求证求证: :当当nNnN* *时
15、时,a,an+1n+1aaa2 2成立成立. .(2)(2)假设当假设当n=k(kNn=k(kN* *,k1),k1)时时,a,ak+1k+1aak k, ,因为因为a ak+1k+12 2-a-ak k2 2=(a=(ak+2k+2-a-ak+1k+1)(a)(ak+2k+2+a+ak+1k+1+1),a+1),ak+1k+1aak k-1,0,0,又又a ak+2k+2+a+ak+1k+1+1-1+(-1)+1=-1,+1-1+(-1)+1=-1,所以所以a ak+2k+2-a-ak+1k+10,0,所以所以a ak+2k+2aak+1k+1, ,即当即当n=k+1n=k+1时时, ,命题
16、成立命题成立. .由由(1)(2)(1)(2)可知可知, ,对任意对任意nNnN* *时时,a,an+1n+1a2),2),对一切对一切nNnN* *,a,an n0,a0,an+1n+1= = 试证明试证明a an n2.2.【证明【证明】当当n=1n=1时时,a,a1 1=a2,=a2,故命题故命题a an n22成立成立; ;假设假设n=k(k1n=k(k1且且kNkN* *) )时命题成立时命题成立, ,即即a ak k2,2,那么那么, , 所以所以a ak+1k+12,2,即即n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立. .综上所述综上所述, ,命题命题a an n22对一切正整
17、数都成立对一切正整数都成立. .【规律方法【规律方法】应用数学归纳法证明不等式的适用范围应用数学归纳法证明不等式的适用范围及关键及关键(1)(1)适用范围适用范围: :当遇到与正整数当遇到与正整数n n有关的不等式证明时有关的不等式证明时, ,应用其他办法不容易证应用其他办法不容易证, ,则可考虑应用数学归纳法则可考虑应用数学归纳法. .(2)(2)关键关键: :用数学归纳法证明不等式的关键是由用数学归纳法证明不等式的关键是由n=kn=k成立成立, ,推证推证n=k+1n=k+1时也成立时也成立, ,证明时用上归纳假设后证明时用上归纳假设后, ,可采用分可采用分析法、综合法、求差析法、综合法、
18、求差( (求商求商) )比较法、放缩法等证明比较法、放缩法等证明. .【变式训练【变式训练】(2014(2014安徽高考改编安徽高考改编) )设整数设整数p1.p1.证明证明: :当当x-1x-1且且x0x0时时,(1+x),(1+x)p p1+px.1+px.【证明【证明】当当p=2p=2时时,(1+x),(1+x)2 2=1+2x+x=1+2x+x2 21+2x,1+2x,原不等式成原不等式成立立. .假设当假设当p=k(k2,kNp=k(k2,kN* *) )时时, ,不等式不等式(1+x)(1+x)k k1+kx1+kx成立成立. .则当则当p=k+1p=k+1时时,(1+x),(1+
19、x)k+1k+1=(1+x)(1+x)=(1+x)(1+x)k k(1+x)(1+x)(1+kx)(1+kx)=1+(k+1)x+kx=1+(k+1)x+kx2 21+(k+1)x.1+(k+1)x.所以当所以当p=k+1p=k+1时时, ,原不等式也成立原不等式也成立. .综合综合可得可得, ,当当x-1x-1且且x0x0时时, ,对一切整数对一切整数p1,p1,不等式不等式(1+x)(1+x)p p1+px1+px均成立均成立. .【加固训练【加固训练】1.1.等比数列等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,已知对任意的已知对任意的nNnN* *, ,点点(n,S(
20、n,Sn n) )均在函数均在函数y=by=bx x+r(b+r(b00且且b1,b,rb1,b,r均为常数均为常数) )的图的图象上象上. .(1)(1)求求r r的值的值. .(2)(2)当当b=2b=2时时, ,记记b bn n=2(log=2(log2 2a an n+1)(nN+1)(nN* *),),证明证明: :对任意的对任意的nNnN* *, ,不等式不等式 成立成立. .【解析【解析】(1)(1)由题意由题意,S,Sn n=b=bn n+r+r, ,当当n2n2时时,S,Sn-1n-1=b=bn-1n-1+r.+r.所以所以a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=b=
21、bn-1n-1(b-1),(b-1),由于由于b0b0且且b1,b1,所以所以n2n2时时,a,an n 是以是以b b为公比的等比数列为公比的等比数列, ,又又a a1 1=b+r,a=b+r,a2 2=b(b-1),=b(b-1),故故 =b,=b,即即 解得解得r=-1.r=-1.(2)(2)由由(1)(1)知知a an n=2=2n-1n-1, ,因此因此b bn n=2n(nN=2n(nN* *),),所证不等式为所证不等式为当当n=1n=1时时, ,左边左边= ,= ,右边右边= ,= ,左边左边 右边右边, ,所以结论成所以结论成立立. .假设假设n=k(k1,kNn=k(k1,
22、kN* *) )时结论成立时结论成立, ,即即 则当则当n=k+1n=k+1时时, , 要证当要证当n=k+1n=k+1时结论成立时结论成立, ,只需证只需证 即证即证 由均值不等式由均值不等式 成立成立, ,故故 成立成立, ,所以所以, ,当当n=k+1n=k+1时时, ,结论成立结论成立. .由由可知可知nNnN* *时时, ,不等式不等式成立成立. .2.2.设设nNnN* *,n1,n1,求证求证: : 【证明【证明】( (用数学归纳法证明用数学归纳法证明) )(1)(1)当当n=2n=2时时, ,不等式左边不等式左边= = =右边右边. .(2)(2)假设假设n=k(kn=k(k1
23、,kN1,kN* *) )时时, ,不等式成立不等式成立, ,即即 那么当那么当n=k+1n=k+1时时, ,有有 所以当所以当n=k+1n=k+1时时, ,不等式也成立不等式也成立. .由由(1)(2)(1)(2)可知对任何可知对任何nNnN* *,n1,n1, 均成立均成立. .3.3.若不等式若不等式 对一切正整数对一切正整数n n都都成立成立, ,求正整数求正整数a a的最大值的最大值, ,并证明结论并证明结论. .【解析【解析】当当n=1n=1时时, , 即即 所以所以a26.a26.而而a a是正整数是正整数, ,所以取所以取a=25,a=25,下面用数学归纳法证明下面用数学归纳法
24、证明(1)(1)当当n=1n=1时时, ,已证得不等式成立已证得不等式成立. .(2)(2)假设当假设当n=k(kNn=k(kN* *) )时时, ,不等式成立不等式成立, ,即即 则当则当n=k+1n=k+1时时, ,有有 因为因为 所以当所以当n=k+1n=k+1时不等式也成立时不等式也成立. .由由(1)(2)(1)(2)知知, ,对一切正整数对一切正整数n,n,都有都有 所以所以a a的最大值等于的最大值等于25.25.4.4.已知已知f(n)= g(n)= nNf(n)= g(n)= nN* *. .(1)(1)当当n=1,2,3n=1,2,3时时, ,试比较试比较f(nf(n) )
25、与与g(ng(n) )的大小的大小. .(2)(2)猜想猜想f(nf(n) )与与g(ng(n) )的大小关系的大小关系, ,并给出证明并给出证明. .【解析【解析】(1)(1)当当n=1n=1时时,f(1)=1,g(1)=1,f(1)=1,g(1)=1,所以所以f(1)=g(1);f(1)=g(1);当当n=2n=2时时,f(2)= ,g(2)= ,f(2)= ,g(2)= ,所以所以f(2)g(2);f(2)g(2);当当n=3n=3时时,f(3)= ,g(3)= ,f(3)= ,g(3)= ,所以所以f(3)g(3).f(3)g(3).(2)(2)由由(1)(1)猜想猜想f(n)g(nf
26、(n)g(n),),下面用数学归纳法给出证明下面用数学归纳法给出证明. .当当n=1,2,3n=1,2,3时时, ,不等式显然成立不等式显然成立, ,假设当假设当n=k(k3)n=k(k3)时不等式成立时不等式成立, ,即即 那么那么, ,当当n=k+1n=k+1时时, ,f(k+1)=f(kf(k+1)=f(k)+ )+ 因为因为 所以所以f(k+1) =g(k+1).f(k+1)2-123 3-1,-1,由此猜想由此猜想:a:an n22n n-1.-1.下面用数学归纳法证明这个猜想下面用数学归纳法证明这个猜想: :当当n=1n=1时时,a,a1 1221 1-1=1,-1=1,结论成立结
27、论成立; ;假设假设n=k(k1n=k(k1且且kNkN* *) )时结论成立时结论成立, ,即即a ak k22k k-1.-1.当当n=k+1n=k+1时时, ,由由g(xg(x)=(x+1)=(x+1)2 2-1-1在区间在区间1,+)1,+)上单调递上单调递增知增知a ak+1k+1(a(ak k+1)+1)2 2-12-122k2k-12-12k+1k+1-1,-1,即即n=k+1n=k+1时时, ,结论也成立结论也成立. .由由知知, ,对任意对任意nNnN* *, ,都有都有a an n22n n-1.-1.即即1+a1+an n22n n, ,所以所以 所以所以 命题方向命题方
28、向2:2:与数列有关的证明题与数列有关的证明题【典例【典例4 4】(2014(2014广东高考广东高考) )设数列设数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,满足满足S Sn n=2na=2nan+1n+1-3n-3n2 2-4n,nN-4n,nN* *, ,且且S S3 3=15.=15.(1)(1)求求a a1 1,a,a2 2,a,a3 3的值的值. .(2)(2)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式. .【解题导引【解题导引】(1)(1)取取n=1,n=2,n=1,n=2,结合结合S S3 3=15=15列方程组求列方程组求a a1 1,a,a2 2,a,a3
29、 3. .(2)(2)利用利用a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1(n2),(n2),先猜出先猜出a an n, ,再用数学归纳法给再用数学归纳法给出证明出证明. .【规范解答【规范解答】(1)(1)由已知得由已知得解得解得a a1 1=3,a=3,a2 2=5,a=5,a3 3=7.=7.(2)(2)猜测猜测a an n=2n+1.=2n+1.由由S Sn n=2na=2nan+1n+1-3n-3n2 2-4n-4n得得S Sn-1n-1=2(n-1)a=2(n-1)an n-3(n-1)-3(n-1)2 2-4(n-1)(n2),-4(n-1)(n2),当当n2n2时时,a,an
30、 n=S=Sn n-S-Sn-1n-1, ,所以两式相减所以两式相减, ,整理得整理得a an n=2na=2nan+1n+1-2(n-1)a-2(n-1)an n-6n-1,-6n-1,又又a a2 2=5,a=5,a1 1=3,=3,满足式子满足式子, ,建立了建立了a an n与与a an+1n+1的递推关系的递推关系(nN(nN* *););因为当因为当n=1n=1时时,a,a1 1=3,=3,假设假设a ak k=2k+1=2k+1成立成立, ,那么那么n=k+1n=k+1时时, ,综上对于综上对于nNnN* *, ,有有a an n=2n+1,=2n+1,所以数列所以数列aan n
31、 的通项公式为的通项公式为a an n=2n+1.=2n+1.【技法感悟【技法感悟】1.1.“归纳归纳猜想猜想证明证明”的一般步骤的一般步骤(1)(1)计算计算( (根据条件根据条件, ,计算若干项计算若干项).).(2)(2)归纳猜想归纳猜想( (通过观察、分析、综合、联想通过观察、分析、综合、联想, ,猜想出一猜想出一般结论般结论).).(3)(3)证明证明( (用数学归纳法证明用数学归纳法证明).).2.2.与与“归纳归纳猜想猜想证明证明”相关的常用题型的处相关的常用题型的处理策略理策略(1)(1)与函数有关的证明题与函数有关的证明题: :由已知条件验证前几个特殊由已知条件验证前几个特殊
32、值正确得出猜想值正确得出猜想, ,充分利用函数的有关性质及数学归纳充分利用函数的有关性质及数学归纳法证明法证明. .(2)(2)与数列有关的证明题与数列有关的证明题: :利用已知条件利用已知条件, ,当直接证明遇当直接证明遇阻时阻时, ,可考虑应用数学归纳法并结合数列的概念、判定可考虑应用数学归纳法并结合数列的概念、判定及性质进行证明及性质进行证明. . 【题组通关【题组通关】1.(20161.(2016上饶模拟上饶模拟) )已知等差数列已知等差数列aan n 的公差的公差d d大于大于0,0,且且a a2 2,a,a5 5是方程是方程x x2 2-12x+27=0-12x+27=0的两根的两
33、根, ,数列数列bbn n 的前的前n n项和项和为为T Tn n且且T Tn n=1- b=1- bn n. .(1)(1)求数列求数列aan n,b,bn n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)设数列设数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,试比较试比较 与与S Sn+1n+1的大小的大小, ,并说明理由并说明理由. .【解析【解析】(1)(1)由已知得由已知得又因为又因为aan n 的公差大于的公差大于0,0,所以所以a a5 5aa2 2, ,所以所以a a2 2=3,a=3,a5 5=9,=9,所以所以d= =2,ad= =2,a1 1=1,=1,因为因为T
34、Tn n=1- b=1- bn n,b,b1 1= ,= ,当当n2n2时时,T,Tn-1n-1=1- b=1- bn-1n-1, ,因为因为b bn n=T=Tn n-T-Tn-1n-1= = 化简化简, ,得得b bn n= b= bn-1n-1, ,所以所以bbn n 是首项为是首项为 , ,公比为公比为 的等比数列的等比数列, ,即即 所以所以a an n=2n-1,b=2n-1,bn n= .= .(2)(2)因为因为 所以所以S Sn+1n+1=(n+1)=(n+1)2 2, ,以下比较以下比较 与与S Sn+1n+1的大小的大小: :当当n=1n=1时时, S, S2 2=4,=
35、4,所以所以 SS2 2, ,当当n=2n=2时时, S, S3 3=9,=9,所以所以 SS3 3, ,当当n=3n=3时时, S, S4 4=16,=16,所以所以 SSS5 5, ,猜想猜想:n4:n4时时, S, Sn+1n+1. .下面用数学归纳法证明下面用数学归纳法证明: :当当n=4n=4时时, ,已证已证. .假设当假设当n=k(kNn=k(kN* *,k4),k4)时时, S, Sk+1k+1, ,即即 (k+1)(k+1)2 2, ,那么那么,n=k+1,n=k+1时时, ,=3k=3k2 2+6k+3=(k+6k+3=(k2 2+4k+4)+2k+4k+4)+2k2 2+
36、2k-1(k+1)+1+2k-1(k+1)+12 2=S=S(k+1)+1(k+1)+1. .综合综合,当当n4n4时时, S, Sn+1n+1. .2.(20142.(2014重庆高考重庆高考) )设设a a1 1=1,a=1,an+1n+1= +b(nN= +b(nN* *).).(1)(1)若若b=1,b=1,求求a a2 2,a,a3 3及数列及数列aan n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)若若b=-1,b=-1,问问: :是否存在实数是否存在实数c c使得使得a a2n2ncaca2n+12n+1对所有对所有nNnN* *成立成立? ?证明你的结论证明你的结论. .【解析【解
37、析】(1)(1)方法一方法一:a:a2 2=2,a=2,a3 3= +1.= +1.再由题设条件知再由题设条件知(a(an+1n+1-1)-1)2 2=(a=(an n-1)-1)2 2+1.+1.从而从而(a an n-1)-1)2 2 是首项为是首项为0,0,公差为公差为1 1的等差数列的等差数列. .故故( (a an n-1)-1)2 2=n-1,=n-1,即即a an n= +1(nN= +1(nN* *).).方法二方法二:a:a2 2=2,a=2,a3 3= +1.= +1.可写为可写为 因此猜想因此猜想 下面用数学归纳法证明上式下面用数学归纳法证明上式: :当当n=1n=1时结
38、论显然成立时结论显然成立. .假设假设n=kn=k时结论成立时结论成立, ,即即a ak k= .= .则则这就是说这就是说, ,当当n=k+1n=k+1时结论成立时结论成立. .所以所以a an n= +1(nN= +1(nN* *).).(2)(2)设设f(xf(x)= -1,)= -1,则则a an+1n+1=f(a=f(an n).).令令c=f(cc=f(c).).即即c= c= 解得解得c= .c= .下面用数学归纳法证明命题下面用数学归纳法证明命题a a2n2ncaca2n+12n+11.1.当当n=1n=1时时,a,a2 2=f(1)=0,a=f(1)=0,a3 3=f(2)=
39、 -1,=f(2)= -1,所以所以a a2 2 a a3 31,1,结论成立结论成立. .假设假设n=kn=k时结论成立时结论成立, ,即即a a2k2kcaca2k+12k+11.f(a)f(a2k+12k+1)f(1)=a)f(1)=a2 2, ,即即1ca1ca2k+22k+2aa2 2. .再由再由f(xf(x) )在在( (-,1-,1上为减函数得上为减函数得c=f(cc=f(c)f(a)f(a2k+22k+2)f(a)f(a2 2) )=a=a3 31.1.故故caca2k+32k+31,1,因此因此a a2(k+1)2(k+1)caca2(k+1)+12(k+1)+11.1.这就是说这就是说, ,当当n=k+1n=k+1时结论成立时结论成立. .综上综上, ,符合条件的符合条件的c c存在存在, ,其中一个值为其中一个值为c= .c= .
