李雅普洛夫稳定性分析

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1、李亚普洛夫稳定性分析李亚普洛夫稳定性分析讲解人：讲解人：1主要内容主要内容1.1.系统稳定性概述系统稳定性概述2.2. 李亚普洛夫稳定性定义李亚普洛夫稳定性定义3.3.3. 3. 李雅普诺夫判稳第一方法李雅普诺夫判稳第一方法4.4.4. 4. 李雅普诺夫判稳第李雅普诺夫判稳第二二方法方法5.5.5. 5. 李雅普诺夫方法在李雅普诺夫方法在线性系统中的应用线性系统中的应用4 控制系统稳定性属于系统的基本结构特性，通常有两种控制系统稳定性属于系统的基本结构特性，通常有两种定义：定义：1 1 1 1、外部稳定性、外部稳定性、外部稳定性、外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态，是指系统在零初

2、始条件下通过其外部状态，即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。有界有界有界有界输入有界输出稳定输入有界输出稳定输入有界输出稳定输入有界输出稳定(BIBO)(BIBO)(BIBO)(BIBO)。2 2 2 2、内部稳定性、内部稳定性、内部稳定性、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变指系统在零输入条件下通过其内部状态变化所定义的内部稳定性。化所定义的内部稳定性。状态稳定。状态稳定。状态稳定。状态稳定。 外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系统，而且也适用于非线性系统

3、。对于同一个线性系统，线性系统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。 不管哪一种稳定性，不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，稳定性是系统本身的一种特性，只只和系统本身的结构和参数有关，与输入输出无关。和系统本身的结构和参数有关，与输入输出无关。1 1 系统稳定性概述系统稳定性概述5 2）平衡状态状态空间中满足 属性的一个状态。3. 3. 系统稳定性系统稳定性 系统运动稳定性的实质：系统运动稳定性的实质：自治系统自治系统平衡状态的稳定性。平衡状态的稳定性。 它是偏离平衡状态的它是偏离平衡状态

4、的受扰运动受扰运动能否仅依靠系统内部的结能否仅依靠系统内部的结构因素使之限制在构因素使之限制在平衡状态平衡状态的有限领域内或使之最终返回的有限领域内或使之最终返回到平衡状态到平衡状态系统偏差量过渡过程的收敛性。系统偏差量过渡过程的收敛性。 1）自治系统不受外部影响即没有输入作用的一类动态系统。即 3）受扰运动自治系统因初始扰动X0引起的一类状态运动。用X0u(t)表示。其呈现为状态空间中从X0出发的一条轨线。62 2 李亚普洛夫稳定性定义李亚普洛夫稳定性定义2.1 系统的平衡状态系统的平衡状态2.2 状态向量范数状态向量范数2.3 李雅普诺夫意义下稳定性定义（李雅普诺夫意义下稳定性定义（4种）

5、种）稳定稳定渐近稳定渐近稳定大范围渐近稳定大范围渐近稳定不稳定不稳定72.1 2.1 系统的平衡状态系统的平衡状态系统的平衡状态系统的平衡状态平衡状态平衡状态平衡状态平衡状态：对所有时间：对所有时间t，如果满足，如果满足 ，称，称xe为系统为系统的平衡状态或平衡点。的平衡状态或平衡点。稳定性稳定性针对平衡状态而言。针对平衡状态而言。3、对任意、对任意 ，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标原，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标原点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。说明说明说明说明：1、对于线性定常系统：、对于线性定常系统： A为非奇

6、异阵时，为非奇异阵时，x=0是其唯一的平衡状态。是其唯一的平衡状态。 A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。4、孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这样、孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这样的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态。的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态。89符号符号 称为向量的范数，称为向量的范数， 为状态向量端点至为状态向量端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义为平衡状态向量端点的范数，其几何意义为“状态偏

7、差状态偏差向量向量”的空间距离的尺度，其定义式为：的空间距离的尺度，其定义式为： 2.2 状态向量范数状态向量范数 范数范数 表示初始偏差都在以表示初始偏差都在以Xe 为中心，为中心，为半为半径的径的 闭球域闭球域S()内内. 表示表示X 0u偏差都在以偏差都在以Xe 为中心，为中心，为半径的闭为半径的闭 球域球域S()内内10李氏稳定几何表示法：李氏稳定几何表示法：2.3 2.3 李雅普诺夫意义下稳定性意义李雅普诺夫意义下稳定性意义李雅普诺夫意义下稳定性意义李雅普诺夫意义下稳定性意义1 1、稳定与一致稳定稳定与一致稳定稳定与一致稳定稳定与一致稳定： （系统的自由响应是有界的）（系统的自由响应

8、是有界的）（系统的自由响应是有界的）（系统的自由响应是有界的） 设设 为动力学系统的一个孤立平衡状态。如果对球域为动力学系统的一个孤立平衡状态。如果对球域 或任意正实数或任意正实数 ，都可以找到另一个正实数，都可以找到另一个正实数 或球域或球域 ，当初始状态，当初始状态 满足满足 时，对由此出发的时，对由此出发的X的运动轨迹有的运动轨迹有 ， 则称平衡状态则称平衡状态 在李雅普诺夫在李雅普诺夫意义下是意义下是稳定稳定的。的。 如果如果 与初始时刻与初始时刻 无关，则称平衡状态是无关，则称平衡状态是一致稳定一致稳定的。的。11如果如果 与初始时刻与初始时刻 无关，则称平衡状态无关，则称平衡状态x

9、 xe e为为一致渐近稳定一致渐近稳定。 设设x xe e为系统的孤立平衡状态，如果它是李氏稳定的，且当为系统的孤立平衡状态，如果它是李氏稳定的，且当t t趋趋向于无穷大时，有：向于无穷大时，有：即收敛于平衡状态即收敛于平衡状态x xe e，则称平衡状态，则称平衡状态x xe e为为渐近稳定渐近稳定的。的。渐近稳定渐近稳定几何表示法：几何表示法：2 2 渐近稳定和一致渐近稳定渐近稳定和一致渐近稳定渐近稳定和一致渐近稳定渐近稳定和一致渐近稳定123 3、大范围渐近稳定大范围渐近稳定大范围渐近稳定大范围渐近稳定 如果对状态空间的任意点，如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大不管初始偏差有多大不

10、管初始偏差有多大不管初始偏差有多大，都有渐，都有渐近稳定特性，即：近稳定特性，即： 对所有点都成立，称平衡状态对所有点都成立，称平衡状态x xe e为大范围渐近稳定的。其为大范围渐近稳定的。其渐近稳定的最大范围是整个状态空间。渐近稳定的最大范围是整个状态空间。结论结论结论结论：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范围渐近稳定的。围渐近稳定的。必要性必要性必要性必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有（假设有2 2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范个平衡状态，则每个都有自己的稳定范围，其稳定范围不

11、可能是整个状态空间。）围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）134 4、不稳定不稳定不稳定不稳定 如果对于某一实数如果对于某一实数 ，不论，不论 取得多么小，由取得多么小，由 内内出发的轨迹，只要有一个轨迹超出出发的轨迹，只要有一个轨迹超出 ，则称平衡状态，则称平衡状态xe是不稳定的。是不稳定的。不稳定几何表示法：不稳定几何表示法：说明：虽然不稳定的轨迹超出了说明：虽然不稳定的轨迹超出了 ，但并不一定趋向于，但并不一定趋向于无穷远处，有可能趋向于无穷远处，有可能趋向于 外的某个极限环。外的某个极限环。143 李雅普诺夫判稳第一方法李雅普诺夫判稳第一方法李氏第一法判稳思路：李氏第一法判稳思路：

12、（间接法）（间接法）1、线性定常系统特征值判断、线性定常系统特征值判断2、非线性系统首先线性化，然后用线性化系统、非线性系统首先线性化，然后用线性化系统的特征值判断的特征值判断15线性定常连续系统的传递函数是线性定常连续系统的传递函数是 ，当且，当且仅当其极点都在仅当其极点都在s的左半平面时，系统才是的左半平面时，系统才是输入输出稳定输入输出稳定的。的。否则系统是不稳定的（在此，虚轴上的临界稳定，对应等幅否则系统是不稳定的（在此，虚轴上的临界稳定，对应等幅周期振荡，控制工程上认为是不稳定的）。周期振荡，控制工程上认为是不稳定的）。外部稳定性判据外部稳定性判据：稳稳定定区区不不稳稳定定区区临临界

13、界稳稳定定S S平面平面图解表示图解表示：3.1 3.1 线性定常系统的李亚普洛夫第一法线性定常系统的李亚普洛夫第一法线性定常系统的李亚普洛夫第一法线性定常系统的李亚普洛夫第一法输出稳定输出稳定( (有界输入有界输出有界输入有界输出) )的充要条件是传递函的充要条件是传递函数数G(S)=C(SI-A)G(S)=C(SI-A)-1-1B B的极点具有负实部的极点具有负实部。16内部稳定性判据内部稳定性判据线性定常连续系统线性定常连续系统渐近稳定渐近稳定的充分必要条件为：的充分必要条件为：A阵的所有特阵的所有特征值征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的全为负实数或具有负实部的共轭复

14、根。等同于特征方程的根全部位于根全部位于s s平面的左半部。平面的左半部。17 例例例例 设系统方程为：设系统方程为： 试确定其外部稳定性、内部稳定性。试确定其外部稳定性、内部稳定性。 解解解解 （1）系统的传递函数为：）系统的传递函数为：极点位于极点位于s左半平面，左半平面，s=2的极点被对消掉了。的极点被对消掉了。系统是有界输入有界输出稳定的。系统是有界输入有界输出稳定的。（2 2） 求系统的特征方程：求系统的特征方程：系统不是渐近稳定的。系统不是渐近稳定的。1819203.2 3.2 非线性系统的李亚普洛夫第一法非线性系统的李亚普洛夫第一法非线性系统的李亚普洛夫第一法非线性系统的李亚普洛

15、夫第一法 对非线性系统 当f (X,t)为与X 同维的矢量函数，且对X 具有连续偏导数，则可将其作线性化处理，在Xe 领域内展开成泰勒级数 。式中，R(X)为高价导数项，称为Jacobian矩阵21令令X=X Xe，可得系统的线性化方程 1 若若A阵的所有特征值都具有负实部，阵的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统的平衡状则原非线性系统的平衡状态态X e是渐近稳定的，且系统稳定性与是渐近稳定的，且系统稳定性与R(X)无关。无关。 2 若若A阵的特征值至少一个具有正实部，则原非线性系统的平衡阵的特征值至少一个具有正实部，则原非线性系统的平衡状态状态X e是不稳定的是不稳定的 3 若若A阵的特征

16、值至少一个零实部，则原非线性系统的平衡状态阵的特征值至少一个零实部，则原非线性系统的平衡状态X e稳定性取决于高价导数项稳定性取决于高价导数项R(X)， A阵的特征值无法确定。阵的特征值无法确定。2223244 李雅普诺夫判稳第二方法李雅普诺夫判稳第二方法25264 李雅普诺夫判稳第二方法李雅普诺夫判稳第二方法1）如果系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即）如果系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即 。那。那么随着系统的运动，其贮存的能量将随时间增长而衰减，直至么随着系统的运动，其贮存的能量将随时间增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。趋于平衡状态而能量趋于极小值。2 ）实际系统很难找到一个统

17、一的能量函数。）实际系统很难找到一个统一的能量函数。3 ）虚）虚 构一个广义能量函数，称为构一个广义能量函数，称为李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数（李氏函数）（李氏函数），根据它和它的一阶导数的正负来判断系统稳定性。，根据它和它的一阶导数的正负来判断系统稳定性。4）第二法判稳的过程，只要找到一个正定的标量函数）第二法判稳的过程，只要找到一个正定的标量函数 ，而而 是负定的，这个系统就是稳定的。而是负定的，这个系统就是稳定的。而 就是李氏函数。就是李氏函数。 李氏第二法思路李氏第二法思路李氏第二法思路李氏第二法思路：直接法，用能量观点分析稳定性：直接法，用能量观点分析稳定性274.1 李雅普诺夫函数

18、说明李雅普诺夫函数说明 1）李氏函数是一个标量函数，且为正定，其一阶导数为）李氏函数是一个标量函数，且为正定，其一阶导数为(半半)负定。负定。 2 ）对于给定系统，如果存在李氏函数，它不是唯一的。用）对于给定系统，如果存在李氏函数，它不是唯一的。用第二法判稳时，找到一个李氏函数就可以。第二法判稳时，找到一个李氏函数就可以。 3 ）李氏函数最简单形式是二次型）李氏函数最简单形式是二次型 ，P是是正定实对正定实对称方阵称方阵。284.2 4.2 标量函数标量函数标量函数标量函数V(x)V(x)的符号性质的符号性质的符号性质的符号性质标量函数标量函数V(x)：1 1）正定性：当且仅当）正定性：当且仅

19、当x=0x=0时，才有时，才有 ；对任意；对任意 非零非零X X，恒有，恒有 ，则，则 为正定。为正定。2）负定性：当仅当）负定性：当仅当X=0时，才有时，才有 ；对任意非；对任意非零零x,恒有恒有 ，则，则 为负定。为负定。293）半正定和半负定）半正定和半负定 如果对任意如果对任意 ，恒有，恒有 , 则则V(X)为半正为半正定。定。 如果对任意如果对任意 ，恒有，恒有 , 则则V(X)为半负为半负定。定。5）不定性）不定性 如果无论取多么小的零点的某个邻域，如果无论取多么小的零点的某个邻域，V(X)可为可为正值也可为负值，则正值也可为负值，则V(x)为不定。为不定。4）(半半)正定和正定和

20、(半半)负定间的关系负定间的关系 V(x)为正定，则为正定，则V(x)为负定；为负定； V(x)为半正定，则为半正定，则V(x)为半负定；为半负定；30314.3 4.3 二次型标量函数二次型标量函数二次型标量函数二次型标量函数X XT TPXPX如果如果 ，则称，则称P P为实对称矩阵。为实对称矩阵。1、二次型函数、二次型函数V(x)：321）二次型二次型 为正定，或实对称矩阵为正定，或实对称矩阵P为正定的充为正定的充要条件是要条件是P的所有主子行列式均为正，即：的所有主子行列式均为正，即： 则则P为正定，即为正定，即V(x)正定。正定。 如果如果 2）二次型二次型 为为负定负定，或实对称阵

21、，或实对称阵P为负定的充为负定的充要条件是要条件是P的主子行列式满足的主子行列式满足 ； （ i为偶数）为偶数）i=1，2，3，,n。2、二次型函数、二次型函数V(x)正正(负负)定性判定：定性判定：赛尔维斯特判据赛尔维斯特判据33判据判据1：设系统的状态方程为设系统的状态方程为 为其平衡状态，为其平衡状态， 如果有连续一阶偏导数的标如果有连续一阶偏导数的标量函数量函数 存在，并且满足以下条件：存在，并且满足以下条件： 1） 是正定的。是正定的。 2） 是负定的。是负定的。 则在原点处的平衡状态是则在原点处的平衡状态是渐近稳定渐近稳定的。如果随着的。如果随着 ，有，有 ，则原点处的平衡状态是，

22、则原点处的平衡状态是大范围渐近稳定大范围渐近稳定的。的。说明说明说明说明：判据：判据1是充分条件，判稳过程是寻找李氏函数是充分条件，判稳过程是寻找李氏函数V(x)，如果没，如果没找到，不能判断系统不稳定，只是可能还没有找到而已。找到，不能判断系统不稳定，只是可能还没有找到而已。4.4 4.4 稳定性判据稳定性判据稳定性判据稳定性判据34判据判据2：设系统的状态方程为设系统的状态方程为 为其唯一的平衡状态，为其唯一的平衡状态， 如果有连续一阶偏导如果有连续一阶偏导数的标量函数数的标量函数 存在，并且满足以下条件：存在，并且满足以下条件： 1） 是是正定正定的。的。 2） 是是半负定半负定的。的。

23、 3）对任意初始时刻）对任意初始时刻 时的任意状态时的任意状态 ，在，在 时，除了在时，除了在 时有时有 外，外， 不恒等于不恒等于零。零。则在原点处的平衡状态是则在原点处的平衡状态是渐近稳定渐近稳定的。如果随着的。如果随着 ，有有 ，则原点处的平衡状态是，则原点处的平衡状态是大范围渐近稳定大范围渐近稳定的。的。说明说明说明说明： 恒等于零意味着运动轨迹是某个特定的曲面恒等于零意味着运动轨迹是某个特定的曲面 。不恒等于零意味着仅在某个特定时刻，在某个点上和某个特定不恒等于零意味着仅在某个特定时刻，在某个点上和某个特定的曲面相切。的曲面相切。35判据判据判据判据3 3：设系统状态方程为：设系统状

24、态方程为： 为其平衡状态。如果存在一个标量函数为其平衡状态。如果存在一个标量函数 ，它具有连续的一阶偏函数，且满足下列条件：，它具有连续的一阶偏函数，且满足下列条件： 在原点的某一邻域内是在原点的某一邻域内是正定正定的，的， 在同样的邻域内是在同样的邻域内是正定正定的，的， 则系统在原点处的平衡状态是则系统在原点处的平衡状态是不稳定不稳定的。的。36令令 ，得，得 是系统唯一的平衡状态。是系统唯一的平衡状态。 2）选取李氏函数）选取李氏函数 选选 ，则，则 正定的正定的 解解解解 ：1）平衡状态）平衡状态 3）当）当 ，即，即，得，得则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。则在原点处的平衡状态

25、是大范围渐近稳定的。由判据由判据1可知可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。 例例例例 设系统方程为，设系统方程为，试确定其平衡状态的稳定性。试确定其平衡状态的稳定性。37 例例例例 设系统方程为：设系统方程为： 试确定其平衡状态的稳定性。试确定其平衡状态的稳定性。 解解解解 ：1）平衡状态）平衡状态 令令 ，得，得 是系统唯一的平衡状态。是系统唯一的平衡状态。同时有同时有 不可能恒为零。不可能恒为零。 2）选李氏函数）选李氏函数由判据由判据2可知可知，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。38例例 判断

26、下列线性系统的平衡状态稳定性：判断下列线性系统的平衡状态稳定性：解解 原点是平衡状态。原点是平衡状态。设设 ， ，显见，显见 负半定，且在负半定，且在任意非零状态任意非零状态 恒为零，故系统具有李雅普诺恒为零，故系统具有李雅普诺夫意义下的稳定性。夫意义下的稳定性。39例例 判断下列线性系统的平衡状态稳定性：判断下列线性系统的平衡状态稳定性： 解解 原点是平衡状态。设原点是平衡状态。设 ， ，由于，由于 与与 无无关，显见非零状态关，显见非零状态 有有 ，故，故 正半定。正半定。令令 ，知，知 ， ，由状态方程知，由状态方程知 ，得全零，得全零解，表明非零状态不恒为零解，表明非零状态不恒为零,且

27、大于零，故原点不稳定，即线且大于零，故原点不稳定，即线性系统不稳定。性系统不稳定。40讨论讨论讨论讨论：选择二次型函数：选择二次型函数 为李氏函数。为李氏函数。目的目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 的稳定性的稳定性负定负定正定正定由上一节讨论的判据由上一节讨论的判据1知道系统渐近稳定，故有以下判据：知道系统渐近稳定，故有以下判据：且标量函数且标量函数 就是系统的一个李氏函数。就是系统的一个李氏函数。判据判据判据判据4 4：线性连续定常系统：线性连续定常系统： 在平衡状态在平衡状态 处渐近稳定的充要条件是：给定处渐近稳定的充要条件是：给定一个正定对称矩

28、阵一个正定对称矩阵Q，存在一个正定实对称矩阵，存在一个正定实对称矩阵P，使满足：使满足： 5.1 线性定常连续系统的稳定性分析线性定常连续系统的稳定性分析5 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用李雅普诺夫方法在线性系统中的应用41 1）因为）因为正定对称矩阵正定对称矩阵Q的形式可任意给定，且最终判断的形式可任意给定，且最终判断结果和结果和Q的不同形式选择无关，所以通常取的不同形式选择无关，所以通常取 。 2）该定理阐述的条件，是充分且必要的。）该定理阐述的条件，是充分且必要的。说明说明说明说明： 3）如果）如果 除了在除了在 时有时有 外，外， 不恒等于零不恒等于零, 则则由上一节判据由上一节判据

29、2可知，可知，Q可可 取做取做半正定半正定。为计算简单，此时。为计算简单，此时Q可取作如下矩阵：可取作如下矩阵：42 例例例例 用李氏第二法，求使下列系统稳定的用李氏第二法，求使下列系统稳定的K值。值。 解解解解 ：1、写出状态空间表达式、写出状态空间表达式43状态空间状态空间描述为：描述为：2、用李氏第二法判稳（、用李氏第二法判稳（令令u=0）1）Q能不能取做半正定？能不能取做半正定？2）计算使实对称矩阵）计算使实对称矩阵P为正定的为正定的k值范围值范围由判据由判据4 得：得：44注意：注意：P为正定实对称矩阵。为正定实对称矩阵。解得：解得：根据赛尔维斯特法则：如果根据赛尔维斯特法则：如果P

30、正定，则正定，则12-2k0，且，且k0 所以系统稳定的所以系统稳定的k值范围为值范围为0k645例例 试用李雅普诺夫方程判断下列线性系统的稳定性试用李雅普诺夫方程判断下列线性系统的稳定性解解 利用线性定常系统特征值判据，显见利用线性定常系统特征值判据，显见特征值为特征值为-2、1，故系统不稳定。，故系统不稳定。46令令 于是有于是有解得解得47校验校验 的正定性：的正定性：故故 不定。系统非渐近稳定，属不稳定。不定。系统非渐近稳定，属不稳定。48 小结小结 1）稳定性是表征系统运动行为的一类重要结构特性。是系统能够正常运行的前提。本章偏重讨论Liapunov直接法，这一方法是现今控制理论研究

31、稳定性问题的最基本工具。 2）两类稳定性：外部稳定性（BIBO稳定性)；内部稳定性（由状态空间描述的系统自治运动的稳定性）。对线性定常系统，前者为传递函数矩阵的所有极点均具有负实部，后者为系统特征值均具有负实部，若系统既能观又能控，则两者等价。 3）liapunov直接法：给出系统大范围渐近稳定的充分性判据。判据的核心是构造一个liapunov函数V(X)0， 0或 ，且当 ，这一方法实用于所有系统。 55 5）线性定常系统的liapunov判据：对连续系统，归结为对A和任给正定阵Q，求解 PA+ATP= -Q 并判别P阵的正定性。对离散系统，归结为对G和任给正定阵Q，求解 GT PG -P= -Q 并判别P阵的正定性。 这是一个充要判据，主要用于系统分析和系统综合。 说明： 稳定性的鲁棒分析是在稳定性研究领域出现的一个新的生长点和热点问题。 鲁棒分析讨论线性定常系统在参数摄动情况下稳定性的判别准则和保持条件。其研究途径包括矩阵范数分析和特征多项式区间分析。 4）构造V(X)是liapunov直接法的关键和难点。对较简单系统，可采用一些规则化方法构造，对复杂系统，至今仍采用基于经验的试凑方法。56祝祝各位同学各位同学工作学习工作学习开心！开心！57