《高等数学课件：6-2 平面曲线的弧长与曲率 (2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件：6-2 平面曲线的弧长与曲率 (2)（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.2 6.2 平面曲线的弧长与曲率平面曲线的弧长与曲率 * *旋转曲面的面积旋转曲面的面积一、平面曲线的弧长一、平面曲线的弧长二、二、平面曲线的曲率平面曲线的曲率一、平面曲线的弧长一、平面曲线的弧长1. 弧长的概念弧长的概念2. 弧长的计算公式弧长的计算公式(1) 直角坐标系情形直角坐标系情形弧长的微分弧长的微分（弧微分弧微分）弧微分的几何意义：弧微分的几何意义：ds 是是以以dx, , dy为直角边的为直角边的三角形（微分三角形）的三角形（微分三角形）的斜边长斜边长.解解例例1 1解解例例2 2(2) 参数方程情形参数方程情形解解例例3 3证明证明例例4 4(3) 极坐标情形极坐标情形解解
2、例例5 5解解例例6 6解解例例7 7二、平面曲线的曲率二、平面曲线的曲率1. 曲率的定义曲率的定义曲率是描述曲线曲率是描述曲线弯曲程度弯曲程度的量的量.)弧段弯曲程度越大，弧段弯曲程度越大，转角越大转角越大转角相同弧段越短，转角相同弧段越短，弯曲程度越大弯曲程度越大)曲线的弯曲程度与弧段切线的转角大小成正比，曲线的弯曲程度与弧段切线的转角大小成正比，与弧长成反比与弧长成反比. .)yxo定义定义注意：注意：(1) 直线的曲率处处为零；直线的曲率处处为零；(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数，且半圆上各点处的曲率等于半径的倒数，且半径越小曲率越大径越小曲率越大.如图所示：如图所示：2. 曲率
3、的计算公式曲率的计算公式解解例例1 1解解例例2 23. 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径定义定义注意：注意：1. 在在点点M处曲率圆与曲线的联系处曲率圆与曲线的联系. .(1) 有公切线；有公切线； (2) 凹向一致；凹向一致； (3) 曲率相同曲率相同. .2. 曲线上任一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲线上任一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数曲率互为倒数. .3. 曲线上一点处的曲率半径越大，曲线在该点处曲线上一点处的曲率半径越大，曲线在该点处的曲率越小（曲线越平坦）；曲率半径越小，曲的曲率越小（曲线越平坦）；曲率半径越小，曲率越大（曲线越弯曲）率越大（曲线越弯曲）. .内容小结内容小结1. 平面曲线的弧长平面曲线的弧长曲线方程曲线方程弧微分：弧微分：参数方程参数方程直角坐标系直角坐标系极坐标极坐标求弧长时积分下限求弧长时积分下限必须小于积分上限必须小于积分上限2. 曲率曲率曲率、曲率圆、曲率半径曲率、曲率圆、曲率半径Z 思考思考思考与练习思考与练习解解解解解解
