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1、Statistics第第7章章 参数参数估计估计抽样抽样估估计计总体总体样样本本总体的特征总体的特征 总体参数总体参数样本信息样本信息样本统计量样本统计量Statistics第第7章章 参数参数估计估计 7.1 点估计点估计 7.2 单单个个总总体体参参数数的的区区间间估估计计*7.3 两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计 7.4 必要抽样数目的确定必要抽样数目的确定Statistics第一节第一节 点估计点估计5.1.1 矩估计法矩估计法5.1.2 极大似然估计法极大似然估计法5.1.3 评价点估计优劣的标准评价点估计优劣的标准Statistics点估计问题就是要构造一个适当的统计量
2、点估计问题就是要构造一个适当的统计量 的形式为已知的形式为已知, , 设总体设总体X X的分布函数的分布函数是相应的样本是相应的样本是是X X的一个样本的一个样本, , 是待估参数是待估参数. .去估计总体的未知参数去估计总体的未知参数 。点估计问题的一般提法点估计问题的一般提法为为 的一个的一个估计值估计值. .观测值。观测值。称为称为 的的点估计量点估计量。4Statistics在不致混淆的情况下在不致混淆的情况下, , 统称估计量和估计值为估计统称估计量和估计值为估计, ,并都简记为并都简记为构造估计量的两种常用方法构造估计量的两种常用方法极大似然估计法极大似然估计法由于估计量是样本的函
3、数由于估计量是样本的函数, ,因此对于不同的样本值因此对于不同的样本值, , 的估计值往往是不同的的估计值往往是不同的. .矩估计法矩估计法点估计的方法有多种，包括矩估计法、极大似然估计法、点估计的方法有多种，包括矩估计法、极大似然估计法、顺序统计量法以及最小二乘法等等。顺序统计量法以及最小二乘法等等。 5Statistics一、矩估计法一、矩估计法许多常见的分布的参数可以表示为总体矩的函数。许多常见的分布的参数可以表示为总体矩的函数。所以参数估计可转化为总体矩的估计。所以参数估计可转化为总体矩的估计。是根据是根据1900年英国统计学家年英国统计学家K.Pearson的替换原的替换原则提出的：
4、则提出的：用样本矩作为相应总体矩的估计量。用样本矩作为相应总体矩的估计量。其理论依据在于辛钦大数定律：其理论依据在于辛钦大数定律：若总体若总体k阶原点矩阶原点矩 存在，有：存在，有：即即样样本本k阶阶原点矩依概率收原点矩依概率收敛敛于于总总体体k阶阶原点矩原点矩 。6Statistics矩估计量矩估计量设总体分布为设总体分布为 ，有，有K个参数个参数 ，总体总体X的的K阶矩存在且为阶矩存在且为 的函数的函数,记为记为 样本相应的样本相应的k阶矩记为阶矩记为 令令 =解上述方程组，解上述方程组， 的解（记为的解（记为 ）称为参数）称为参数 的的矩估计量矩估计量。将样本观测值代入估计量即得将样本观
5、测值代入估计量即得矩估计值。矩估计值。 7Statistics样本均值（样本均值（样本一阶原点矩）作为样本一阶原点矩）作为总体均值总体均值E(X)=（总体一阶原点矩）的估计量。（总体一阶原点矩）的估计量。推而广之，把推而广之，把二阶样本矩二阶样本矩作为二阶作为二阶总体矩总体矩的估计量的估计量, 把三阶样本矩作为三阶总体矩的估计量把三阶样本矩作为三阶总体矩的估计量, , . .这种方法就是这种方法就是矩估计法矩估计法. . 矩估计量（续）矩估计量（续）8Statistics 例例 设总体设总体X X的均值的均值 及方差及方差 均存在均存在 , ,且且 0,0,但但 均为未知均为未知. .又设又设
6、 是一个样本是一个样本, ,试求试求 的估计量的估计量. .解解 总体的一阶矩及二阶矩分别为总体的一阶矩及二阶矩分别为: :样本的一阶矩和二阶矩分别为样本的一阶矩和二阶矩分别为: : 和和令令即得即得: :9Statistics例例现随机抽出现随机抽出8件电子元器件，测得使用寿命分别为件电子元器件，测得使用寿命分别为1310，1207，1304，1267，1596，1325，1294，1462小时，小时，试对总体均值和方差进行估计。试对总体均值和方差进行估计。=1345.625（小时）S2=13465.23=116.0410Statistics例例2 2 设总体设总体X X服从二点分布服从二点
7、分布X X 0 1 0 1P P 1- 1-P PP P其中其中00P15, n(1- p)=605，1- = 0.95， /2=1.96以以95的的置置信信度度可可推推断断该该企企业业每每天天看看电电视视一一小小时时以以上上的职工比例在的职工比例在63.6%76.4%之间。之间。（0.7-0.064，0.7+0.064）（0.636，0.764）例例78Statistics例例随机从随机从60000桶桶罐头中抽取罐头中抽取300桶调查，桶调查，发现有发现有6桶不合桶不合格。以格。以95.45%的概的概率估计全部罐率估计全部罐头的不合格率头的不合格率和不合格桶数。和不合格桶数。解：解：已知已知
8、 n =300 ，p0.02, n p =6 5, n(1- p)=2945，1- = 0.9545, /2=2不合格率不合格率的置信区间的置信区间为：（2-1.616，2%+1.616%) 不合格品总数不合格品总数的区间的区间为：（0.38460000，3.61660000）（230.4，2169.6） （单位：桶）79Statistics（三）正态总体方差的区间估计（三）正态总体方差的区间估计设设总总体体服服从从正正态态分分布布，则则与与样样本本方方差差S2和和待待估估计计的的总总体体方方差差2 有有关关的的枢枢轴轴量量及及其其分分布为：布为：80Statistics正态总体方差的区间估计
9、（续）正态总体方差的区间估计（续）置信度与卡方分布的分位数置信度与卡方分布的分位数c c2 2/2/2（1 1- - ）由于 对于给定的置信度(1-)，有临界值 和 满足：81Statistics总体方差总体方差2 的置信区间：的置信区间：或：或：正态总体方差的区间估计（续）正态总体方差的区间估计（续）由得：82Statistics 例例四，随机从某车间加工的同类零件中抽取16件，测得其的平均长度为12.8厘米，方差为0.0023。假定零件的长度服从正态分布，求方差及标准差的置信区间（置信度为95）。例例83Statistics 已知16， 0.0023， 1-0.95，查 分布表得: 代入数
10、据，可得所求代入数据，可得所求: 方差方差的置信区间为的置信区间为:（0.0013，0.0059） 标准差标准差的置信区间（的置信区间（0.036，0.077）解：84Statistics大样本条件下，样本标准差大样本条件下，样本标准差S S的分布趋近于正的分布趋近于正态分布：态分布：其均值 E(S)，其标准差（亦即S的抽样平均误差）所以，所以，总体标准差总体标准差的的1-的置信区间为：的置信区间为：大样本条件下总体标准差的置信区间大样本条件下总体标准差的置信区间85Statistics前提条件前提条件待估计总待估计总体参数体参数置信区间置信区间 （置信度为（置信度为 ）正态总体正态总体方差已
11、知方差已知(小样本小样本)总体总体均值均值正态总体正态总体方差未知方差未知（小样本）（小样本）总体总体均值均值非正态总体非正态总体或总体方差未或总体方差未知（大样本）知（大样本） 总体总体 均值均值（单总体）（单总体）置信区间公式一览表置信区间公式一览表86Statistics前提条件前提条件待估计总待估计总体参数体参数置信区间置信区间正态总体正态总体总体总体方差方差一个属性总体一个属性总体大样本大样本估计总体估计总体成数成数87Statistics三、抽样数目（样本量）三、抽样数目（样本量）的确定的确定 对各地区人口进行随机抽样时，对对各地区人口进行随机抽样时，对每个地区的估计误差和置信度都
12、有同每个地区的估计误差和置信度都有同样的要求（其他要求相同的条件下），样的要求（其他要求相同的条件下），对于人口多的地区，是否需要一个较对于人口多的地区，是否需要一个较大的样本量？大的样本量？88Statistics三、样本容三、样本容量量的确定的确定（一）确定（一）确定样本量的样本量的意义意义样本量与抽样误差和费用的关系样本量与抽样误差和费用的关系n 大，抽样误差越小大，抽样误差越小n 大，调查的耗费越多大，调查的耗费越多必要样本量的定义必要样本量的定义为使抽样误差在一定置信度下不超过允为使抽样误差在一定置信度下不超过允许范围所必须的样本量（最低限）许范围所必须的样本量（最低限） 。89St
13、atistics1、估计总体均值必须的样本量、估计总体均值必须的样本量 在在 1 的置信度下估计总体均值的的置信度下估计总体均值的允许误差为允许误差为 ，则必要的样本量为：，则必要的样本量为：重复抽样下：重复抽样下：必要样本量的计算公式必要样本量的计算公式可由允许误差的公式反推出可由允许误差的公式反推出90Statistics不重复抽样下：不重复抽样下：91Statistics 【例】某食品厂要检验本月生产的10,000袋某产品的重量，根据上月资料，这种产品每袋重量的标准差为25克。要求在95.45的概率保证程度下，平均每袋重量的误差范围不超过5克，至少应抽查多少至少应抽查多少袋产品？ 解：解
14、：已知：10,000，25， ， 95.45, 即Z/2 292Statistics在重复抽样条件下：在重复抽样条件下： (袋袋)在不重复抽样条件下：在不重复抽样条件下：=99(袋)93Statistics2、估计总体成数时的样本量、估计总体成数时的样本量设设 为为估估计计总总体体成成数数的的允允许许误误差差，在在1的的置信度下，样本量置信度下，样本量 n 为：为： 重复抽样下：重复抽样下： 不重复抽样下：不重复抽样下：94Statistics 1、总体方差（或总体标准差、总体方差（或总体标准差） 其它条件不变的条件下，总体方差与必要的抽其它条件不变的条件下，总体方差与必要的抽样数目成正比。样
15、数目成正比。怎样估计总体方差呢？通常有下列代替方法：怎样估计总体方差呢？通常有下列代替方法：是用以前同类调查的资料代替，是用以前同类调查的资料代替，用同类地区的资料代替，用同类地区的资料代替，若有多个方差数值供参考时，应选其中最大的方若有多个方差数值供参考时，应选其中最大的方差。差。对于成数，选择最接近对于成数，选择最接近0.5的成数来计算的成数来计算（三）影响样本容量的因素（三）影响样本容量的因素95Statistics【例例】 某企业对一批产品进行质量检验，这批产品的总数为5,000件，过去几次同类调查所得的产品合格率为93、95和96，为了使合格率的允许误差不超过3，在99.73的置信度
16、下至少应抽查多少件至少应抽查多少件产品？解：解：已知已知5000， ， 199.73， Z /2=3， P 取取 0.93 来计算来计算96Statistics【例例】一一家家公公司司想想估估计计某某地地区区电电脑脑的的家家庭庭所所占占的的比比例例。并并要要求求对对总总体体比比例例的的估估计计误误差差不不超超过过5，可可靠靠程程度度为为95%，应应抽抽多多大大容容量量的的样样本本（没没有有可可利用的利用的 P 估计值）。估计值）。解解: 已已知知 =0.05，1 =0.95，Z /2=1.96，P 未未知知,用用最最大大方方差差0.25 来来计计算算，则则应应抽抽取取的的样样本本量量为：为：9
17、7Statistics2、允许误差范围允许误差范围 允允许许误误差差增增大大，意意味味着着推推断断的的精精度度要要求求降降低低，在在其其他他条条件件不不变变的的情情况况下下，必必要要的的样本量可减少。样本量可减少。反反之之，缩缩小小允允许许误误差差，就就要要增增加加必必要要的的抽抽样数目。样数目。98Statistics【例例】在其它条件不变的情况下在其它条件不变的情况下,若抽若抽样样允许误差扩大到原来的允许误差扩大到原来的 2倍倍,样本量会样本量会为原来的多少为原来的多少? 若抽样允许误差减少到原若抽样允许误差减少到原来的来的1/2,样本容量会如何变化样本容量会如何变化? 都采用重复抽样下的
18、公式来推算都采用重复抽样下的公式来推算99Statistics3、置信度置信度 因因置置信信度度与与置置信信区区间间是是同同方方向向变变化化的的，所所以以在在其其它它条条件件不不变变的的情情况况下下，要要提提高高推推断断的的置信度，就必须增加抽样数目。置信度，就必须增加抽样数目。100Statistics 4、抽样方法、抽样方法 相同条件下，采用重复抽样应比不重复抽相同条件下，采用重复抽样应比不重复抽样多抽一些样本单位。样多抽一些样本单位。 不过，很大时，二者差异很小。为简便不过，很大时，二者差异很小。为简便起见，实际中当很大时，一般都按重复抽起见，实际中当很大时，一般都按重复抽样公式计算必要的抽样数目。样公式计算必要的抽样数目。 101Statistics 5、抽样组织方式、抽样组织方式上述公式适用于简单随机抽样下样本量的上述公式适用于简单随机抽样下样本量的确定确定其它抽样组织方式下样本量的计算也可根其它抽样组织方式下样本量的计算也可根据相应的误差公式来推导。据相应的误差公式来推导。 102
