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1、第十章第十章 函数项级数函数项级数数学系聘请了来自数学系聘请了来自Mathematica软件开发公司软件开发公司（Wordfram Research）彭敏轩、陈向群两位）彭敏轩、陈向群两位工程师给大家讲工程师给大家讲如何使用如何使用Mathematica数学数学软件软件，欢迎同学参加。，欢迎同学参加。地点：教地点：教1-211时间：时间：5月月30日（周四）晚日（周四）晚7:00。 第三节第三节 Laurent级数级数 一、双边无穷级数一、双边无穷级数二、函数展成二、函数展成Laurent级数级数第十章第十章 函数项级数函数项级数3一、双边无穷级数一、双边无穷级数第十章第十章 函数项级数函数项
2、级数4规定规定: :于是于是称为称为收敛圆环域收敛圆环域。 幂级数在收敛圆内所具有的性质，双边级数在收敛环域幂级数在收敛圆内所具有的性质，双边级数在收敛环域内也具有。例如，在收敛圆环域内其和函数是解析的可以逐内也具有。例如，在收敛圆环域内其和函数是解析的可以逐项积分、逐项求导等。项积分、逐项求导等。第十章第十章 函数项级数函数项级数5二、函数展开为二、函数展开为Laurent级数级数 下面讨论相反的问题，即如果函数在圆环域内解析，下面讨论相反的问题，即如果函数在圆环域内解析，能否展为双边级数？能否展为双边级数？第十章第十章 函数项级数函数项级数6注注 1 .Laurent级数中的系数公式，虽然
3、在形式上与级数中的系数公式，虽然在形式上与Taylor级数中的系数（用积分表示）一样，但它们有着本质级数中的系数（用积分表示）一样，但它们有着本质差别差别.即使即使n为正整数，为正整数，Laurent系数不能用高阶导数表示。系数不能用高阶导数表示。第十章第十章 函数项级数函数项级数72.2.用直接法求展式是很麻烦的，根据含正、负幂级数的唯用直接法求展式是很麻烦的，根据含正、负幂级数的唯 一性，往往用代数运算、代换、求导和积分等方法展开。一性，往往用代数运算、代换、求导和积分等方法展开。第十章第十章 函数项级数函数项级数8从上面的分析与例子可见：从上面的分析与例子可见：（1）Taylor级数在级数在 的展开区域只有一个以的展开区域只有一个以 为中心的为中心的圆域；而圆域；而Laurent级数在级数在 的展开区域可能多于一个，的展开区域可能多于一个，域内有不同的域内有不同的Laurent展式展式,在一个圆环域内在一个圆环域内Laurent展展式只有一个式只有一个.且它们是以且它们是以 为中心的同心圆环域为中心的同心圆环域.在不同的圆环在不同的圆环 第十章第十章 函数项级数函数项级数9第十章第十章 函数项级数函数项级数10作作 业业 习习 题题 10.3（P249P249）1 1（1 1）（）（2 2）（）（5 5）；）；2 2
