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1、专题研究专题研究 函数模型及其应用函数模型及其应用题型一题型一 二次函数模型二次函数模型(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，则当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【答案】(1)年产量为200吨时，每吨平均成本最低，最低为32万元(2)年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元探究1二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴
2、较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得某企业为打入国际市场，决定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产已知投资生产这两种产品的有关数据如下表所示：(单位：万美元)思考题思考题1项目类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A产品20m10200B产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m6,8另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税假设生产出来的产品都能在当年销售出去(1)写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数
3、关系，并指明其定义域；(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)？请你作出规划【解析】(1)由年销售量为x件，按利润的计算公式，得生产A，B两种产品的年利润y1，y2分别为y110x(20mx)(10m)x20(xN,0x200)，y2 18x (40 8x) 0.05x2 0.05x2 10x40(xN,0x120)(2)因为6m8，所以10m0，函数y1(10m)x20在0,200上是增函数所以当x200时，生产A产品有最大利润为(10m)200201 980200m(万美元)【答案】(1)y1(10m)x20(xN,0x200)y20.05x210x40(xN,0x120)(2)当6m7.
4、6时，可投资生产A产品200件；当m7.6时，生产A产品与生产B产品均可；当7.6m8时，可投资生产B产品100件例2某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图(一条折线)、图(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图是每件样品的销售利润与上市时间的关系题型二题型二 分段函数模型分段函数模型(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等
5、于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由探究2(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费【解析】(1)当甲的用
6、水量不超过4吨时，即5x4，乙的用水量也不超过4吨，y1.8(5x3x)14.4x；思考题思考题2例3某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)(1.012101.127,1.012151.196,1.012161.210)题型三题型三 指数函数的模型指数函数的模型【解析】(1)1年后该城市人口总数为y1001001.2%100(11.2%)，2年后该城市人口总数为y100(11
7、.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2，3年后该城市人口总数为y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)2(11.2%)100(11.2%)3.x年后该城市人口总数为y100(11.2%)x(xN*)(2)10年后人口总数为100(11.2%)10112.7(万人)(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100(11.2%)x120，xlog1.0121.2016(年)因此，大约16年以后该城市人口将达到120万人【答案】(1)y100(11.2%)x(xN*)(2)112.7万人(3)16探究3此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函
8、数模型yN(1p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型ya(1x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解2009年12月20日是世界人口日：(1)世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？(2)我国人口在2009年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，则我国人口在2019年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：思考题思考题3数N1.0101.0151.0171.3102.000对数lgN0.004 30.006 50.007 30.117 30.301 0数N3.0005.
9、00012.4813.1113.78对数lgN0.477 10.699 01.096 21.117 61.139 2【思路】增长率问题是指数函数与幂函数问题，利用已知条件，列出函数模型(2)依题意，y12.48(11%)10，得lgylg12.4810lg1.011.139 2.y13.78，故人口至多有13.78亿【答案】(1)每年人口平均增长率为1.7%(2)2019年人口至多有13.78亿解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；建模：把自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；求模：求解数学模型，得出数学结论；还原：将数学结论还原为实际问题的意义
