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1、与它们与它们对应的是本节和对应的是本节和基本积分法基本积分法复合函数微分法和乘积的微分复合函数微分法和乘积的微分.在在积分运算积分运算中中,(两种两种).微分运算微分运算中有两个重要法则中有两个重要法则: 下节的换元积分法和分部积分法下节的换元积分法和分部积分法第四章第四章 不定积分不定积分1第二节第二节 换元积分法换元积分法第一换元积分法第一换元积分法第二换元积分法第二换元积分法小结小结 思考题思考题 作业作业integration by substitution第四章第四章 不定积分不定积分2解决方法解决方法将积分变量换成将积分变量换成令令因为因为一、第一换元积分法一、第一换元积分法换元积
2、分法换元积分法3定理定理第一类换元公式第一类换元公式 （凑微分法凑微分法凑微分法凑微分法）证证可导可导,则有换元公式则有换元公式设设具有原函数具有原函数,注注 “凑微分凑微分”的主要思想是的主要思想是:将所给出的积分将所给出的积分凑成积分表里已有的形式凑成积分表里已有的形式,合理选择合理选择 是凑微分的关键是凑微分的关键.换元积分法换元积分法4第一换元积分法第一换元积分法若遇到积分若遇到积分不易计算时不易计算时,通过变换通过变换 化为不定积分化为不定积分 来计算来计算,积分后再将积分后再将代入代入.换元积分法换元积分法5例例 求求法一法一 法二法二解解换元积分法换元积分法6 法三法三 同一个积
3、分用不同的方法计算同一个积分用不同的方法计算,可可能得到表面上不一致的结果能得到表面上不一致的结果,但是实际但是实际上都表示同一族函数上都表示同一族函数.注注换元积分法换元积分法7例例 求求解解换元积分法换元积分法8 对第一换元积分法熟练后对第一换元积分法熟练后,可以不再写出可以不再写出 中间变量中间变量.注注换元积分法换元积分法9例例 解解解解换元积分法换元积分法10小结小结常见的凑微分类型有常见的凑微分类型有换元积分法换元积分法11小结小结换元积分法换元积分法12换元积分法换元积分法13例例 求求解解换元积分法换元积分法14例例 求求解解换元积分法换元积分法15例例 解解 换元积分法换元积
4、分法16且有很大的灵活性且有很大的灵活性,加一项减一项、加一项减一项、可通过三角恒等变换、可通过三角恒等变换、一个因子等方法，一个因子等方法，第一换元积分法是不定积分的基础，第一换元积分法是不定积分的基础，代数运算、代数运算、上，下同除以上，下同除以使积分变得易求使积分变得易求.大体可分成两类大体可分成两类换元积分法换元积分法1. 某些有理函数和其他函数某些有理函数和其他函数2. 某些三角函数某些三角函数17例例 求求解解1. 某些有理函数和其他函数某些有理函数和其他函数换元积分法换元积分法18例例 求求解解 法一法一换元积分法换元积分法19法二法二换元积分法换元积分法20例例 解解原式原式=
5、换元积分法换元积分法21例例 求求解解换元积分法换元积分法隐隐 凑凑22例例 求求原式原式解解换元积分法换元积分法23例例 解解 原式原式=2. 某些三角函数某些三角函数换元积分法换元积分法24例例 求求解解（使用了三角函数恒等变形）使用了三角函数恒等变形）分分步步凑凑法一法一换元积分法换元积分法25类似可推出类似可推出法二法二换元积分法换元积分法26例例 求求解解换元积分法换元积分法27例例 求求解解凑微分凑微分;用用倍角公式倍角公式降幂降幂,再积分再积分. 注注换元积分法换元积分法28例例 求求解解 不同角度的正弦、余弦之积的积分常用不同角度的正弦、余弦之积的积分常用积化和差公式来化简积化
6、和差公式来化简.注注换元积分法换元积分法29例例 求求解解换元积分法换元积分法30例例 求求解解换元积分法换元积分法31解解令令对此类题对此类题,一般可用下列各种解一般可用下列各种解法法法一法一思考题思考题1换元积分法换元积分法32法二法二令令则则换元积分法换元积分法它是它是函数函数此方法中应注意此方法中应注意的涵义的涵义,33求求解解 思考题思考题2换元积分法换元积分法原式原式=34作业作业习题习题4-2 (2044-2 (204页页) ) 2. 双数至双数至 (32)换元积分法换元积分法35二、第二换元积分法二、第二换元积分法有根式有根式解决方法解决方法 消去根式消去根式,困难困难即即则则
7、 回代回代换元积分法换元积分法36对对积分积分作变换作变换有公式有公式第二类换元公式第二类换元公式第二换元积分法第二换元积分法不易计算时不易计算时,可作适当变换可作适当变换 化为不定积分化为不定积分积分后再将积分后再将若积分若积分 计算计算,代入代入.换元积分法换元积分法37例例 求求解解 令令辅助三角形辅助三角形 回回代代换元积分法换元积分法38例例 求求解解 令令 回回代代辅助三角形辅助三角形换元积分法换元积分法39通过变换通过变换利用相应的三角变换利用相应的三角变换,相仿地相仿地,可算出可算出还可得到还可得到重要公式重要公式换元积分法换元积分法40注注以上几例所使用的均为以上几例所使用的
8、均为三角代换的三角代换的目的目的当当被积函数被积函数中含有中含有令令令令令令双曲代换双曲代换 回代时回代时,一定要借助一定要借助辅助三角形辅助三角形.三角代换三角代换.是化掉根式是化掉根式.一般规律一般规律:双曲函数的恒等式双曲函数的恒等式 换元积分法换元积分法41例例 （三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）令令解解 回回代代换元积分法换元积分法42三角代换三角代换(或双曲代换或双曲代换)注注需根据被积函数的情况来定需根据被积函数的情况来定.积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用并不是绝对的并不是绝对的,换元积分法换元积分法43例例 求求解解令令法一法一原原式式= 回回代代
9、换元积分法换元积分法44法二法二 原原式式=回代回代换元积分法换元积分法45例例 求求解解 令令回代回代换元积分法换元积分法46例例 令令解解 法一法一回代回代换元积分法换元积分法倒代换倒代换注注可用来消去分母中的变量可用来消去分母中的变量.一些情况下一些情况下(如被积函数是分式如被积函数是分式,分母的方幂分母的方幂较高时较高时),47法二法二回代回代还有别的方法吗？还有别的方法吗？换元积分法换元积分法48法三法三换元积分法换元积分法49如如: : 倒代换倒代换对如下形式对如下形式都适用都适用.换元积分法换元积分法50例例 求求解解 令令（分母的次数较高）（分母的次数较高）换元积分法换元积分法
10、51回代回代换元积分法换元积分法52为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） 注注当被积函数含有两种或两种以上当被积函数含有两种或两种以上的根式的根式时，时， 可采用令可采用令（其中（其中换元积分法换元积分法53例例令令解解换元积分法换元积分法54基基本本积积分分表表(2)换元积分法换元积分法55希希自己添加自己添加!换元积分法换元积分法56解解换元积分法换元积分法57 下列各题求积方法有何不同下列各题求积方法有何不同? ?换元积分法换元积分法58两类换元积分法两类换元积分法凑微分凑微分三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换熟记基本积分表熟记基本积分表(2)三、小结三、小结换元积分法换元积分法第一第一换元积分法换元积分法:第二第二换元积分法换元积分法:59解解换元积分法换元积分法思考题思考题求积分求积分60作业作业习题习题4-2 (2054-2 (205页页) ) 2. 单数单数 (33)-(39),(40)换元积分法换元积分法61
