《测试信号英文版课件：Chapter3 Discrete-Time Signals in the Transform Domain_Lec2_part2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《测试信号英文版课件：Chapter3 Discrete-Time Signals in the Transform Domain_Lec2_part2（62页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、Copyright 2001, S. K. MitraDFT ApplicationsNumerical Computation of the DTFT for discrete-time signal Using the DFT Digital spectrum analysis of continuous-time signal Using the DFTLinear Convolution Using the DFT1Copyright 2001, S. K. Mitra主要内容时域的有限化和离散化一频域的有限化和离散化二误差产生原因及解决办法三谱分析时DFT参数的选择四Copyrigh
2、t 2001, S. K. Mitra一、时域的有限化和离散化 时域的有限化时域的有限化，就是对信号的延续时间沿时间轴进就是对信号的延续时间沿时间轴进行截断，反映在下图中，是把时间区间由（行截断，反映在下图中，是把时间区间由（，）限定为（）限定为（0 0， ）。）。Copyright 2001, S. K. Mitra一、时域的有限化和离散化 时域的离散化时域的离散化，就是对连续信号进行抽样，采样后，就是对连续信号进行抽样，采样后，有有 ， 则则 ， ，其结果如下图所示。，其结果如下图所示。 Copyright 2001, S. K. Mitra一、时域的有限化和离散化（5-3） Copyri
3、ght 2001, S. K. Mitra二、频域的有限化和离散化 Xs()以s=2fs为周期Copyright 2001, S. K. Mitra二、频域的有限化和离散化频域的离散化，就是对一个周期内的频谱进行抽样， 有 （ ）,则 Copyright 2001, S. K. Mitra二、频域的有限化和离散化Copyright 2001, S. K. Mitra二、频域的有限化和离散化有了上式，就可将对连续信号的谱分析用离散有了上式，就可将对连续信号的谱分析用离散信号的谱分析信号的谱分析(DFT)(DFT)来逼近，从而采用来逼近，从而采用FFTFFT算法。算法。该式就是对非周期连续信号进行
4、数字谱分析的该式就是对非周期连续信号进行数字谱分析的基本原理。基本原理。Copyright 2001, S. K. Mitra考虑一被噪声污染的信号，很难看出它所包含的频率分量，如一个50 Hz和120 Hz正弦信号构成的信号，受零均值随机噪声的干扰，采样频率为1000 Hz。现可通过fft函数来分析其信号频率成分。程序如下应用实例应用实例Copyright 2001, S. K. Mitrat=0:0.001:0.5; %采样频率为1000 Hz ；%两不同频率的正弦信号 叠加 y=x+1.5*randn(1,length(t); % 正弦信号同随机噪声叠加Y=fft(y,512); %求含
5、噪声信号的离散傅里叶变换（数字谱）P=Y.*conj(Y)/512; %计算功率谱密度f=1000*(0:255)/512 %取结果的一半plot(f,P(1:256) %作图 这样可得到如图所示的信号及功率谱密度，从图中可以很容易地推测，信号集中在120Hz和50Hz。Copyright 2001, S. K. MitraCopyright 2001, S. K. Mitra三、误差产生原因及解决办法 对连续非周期信号的数字谱分析实质上对连续非周期信号的数字谱分析实质上是用是用有限长抽样序列有限长抽样序列的的DFTDFT（离散谱离散谱）来）来近似近似无限长连续信号无限长连续信号的频谱（的频谱
6、（连续谱连续谱），），其结果必然会产生误差，主要的误差包其结果必然会产生误差，主要的误差包括：括：栅栏效应、混叠效应和频谱泄漏栅栏效应、混叠效应和频谱泄漏三三种。种。Copyright 2001, S. K. M三、误差产生原因及解决办法（一）栅栏效应（一）栅栏效应 非周期信号具有连续谱，但用非周期信号具有连续谱，但用DFTDFT来计算非周来计算非周期信号的频谱时，只能观察到有限个（期信号的频谱时，只能观察到有限个（N N个）个）离散频谱值，而频谱间隔中的值就观察不到了，离散频谱值，而频谱间隔中的值就观察不到了，就好像通过栅栏观察景物一样，一部分景物被就好像通过栅栏观察景物一样，一部分景物被阻
7、挡了，这种现象称为栅栏效应。将能够感受阻挡了，这种现象称为栅栏效应。将能够感受到的频谱最小间隔值称为频谱分辨率，一般用到的频谱最小间隔值称为频谱分辨率，一般用F F表示。频谱分辨率反映了谱分析算法能将信表示。频谱分辨率反映了谱分析算法能将信号中两个靠得很近的谱保持分开的能力。若时号中两个靠得很近的谱保持分开的能力。若时域抽样周期为，抽样点数为域抽样周期为，抽样点数为N N，则有，则有 Copyright 2001, S. K. Mitra15Copyright 2001, S. K. Mitra三、误差产生原因及解决办法NTNT实实际际上上就就是是信信号号在在时时域域上上的的截截断断长长度度
8、，分分辨辨率率 与与 成成反反比比。栅栅栏栏效效应应是是由由于于频频域域的的离离散散化化引引起起的的，使使得得在在频频谱谱抽抽样样间间隔隔之之间间的的频频谱谱无无法法反反映映出出来来，因因此此是是数数字字谱谱分分析析不不可可避避免免的的。为为了了改改善栅栏效应，提高频率分辨率善栅栏效应，提高频率分辨率 Copyright 2001, S. K. Mitra三、误差产生原因及解决办法（二）混叠效应（二）混叠效应时域信号的离散化是通过抽样实现的，当采样频时域信号的离散化是通过抽样实现的，当采样频率率 不够高时，采样信号相对原信号就会产不够高时，采样信号相对原信号就会产生频谱的混叠，引起频谱失真。频
9、谱混叠效应是生频谱的混叠，引起频谱失真。频谱混叠效应是由于时域的离散化引起的，克服的办法是提高采由于时域的离散化引起的，克服的办法是提高采样频率，设法满足采样定理，保证样频率，设法满足采样定理，保证 ，其，其中中 是原信号的最高频率。如果时间记录长度为是原信号的最高频率。如果时间记录长度为 ， 则在则在 时间内的采样点数时间内的采样点数N N必须满足必须满足Copyright 2001, S. K. Mitra三、误差产生原因及解决办法（三）频谱泄漏三）频谱泄漏频谱泄漏又称截断误差，是由于对信号进行截断，频谱泄漏又称截断误差，是由于对信号进行截断，把无限长的信号限定为有限长，即令有限区间外把无
10、限长的信号限定为有限长，即令有限区间外的函数值均为零值，相当于用一个矩形（窗）信的函数值均为零值，相当于用一个矩形（窗）信号乘相应的信号，如下图所示。号乘相应的信号，如下图所示。图 用矩形窗截断信号 Copyright 2001, S. K. Mitra三、误差产生原因及解决办法由上图得，由上图得， ，由频域卷积定理有，由频域卷积定理有，信号被截断后的频谱为信号被截断后的频谱为而原信号 的频谱是显然， 和 是不同的。 Copyright 2001, S. K. Mitra三、误差产生原因及解决办法例如，设例如，设 ，有，有v画成频谱图，如下图所示。 Copyright 2001, S. K.
11、Mitra三、误差产生原因及解决办法 频谱泄漏现象频谱泄漏现象Copyright 2001, S. K. Mitra三、误差产生原因及解决办法余弦信号被矩形窗信号截断后，两根冲激谱线变余弦信号被矩形窗信号截断后，两根冲激谱线变成了以成了以 为中心的为中心的sincsinc形状的连续谱，相当于形状的连续谱，相当于频谱从频谱从 处处“泄漏泄漏”到其他频率处，也就是说，到其他频率处，也就是说，原来一个周期内只有一个频率上有非零值，而现原来一个周期内只有一个频率上有非零值，而现在几乎所有频率上都有非零值，这就是频谱泄漏在几乎所有频率上都有非零值，这就是频谱泄漏现象。现象。复杂的信号，造成复杂的复杂的信
12、号，造成复杂的“泄漏泄漏”，他们互相叠，他们互相叠加，结果使信号难以分辨。频谱泄漏是由时域信加，结果使信号难以分辨。频谱泄漏是由时域信号的截断引起的，减小频谱泄漏的方法一般有两号的截断引起的，减小频谱泄漏的方法一般有两种。种。1 1）增加截断长度。）增加截断长度。2 2）改变窗口形状）改变窗口形状 ( (矩形窗矩形窗汉宁窗、汉明窗等汉宁窗、汉明窗等) )Copyright 2001, S. K. Mitra从原理上看，要减少截断误差，应使主瓣和从原理上看，要减少截断误差，应使主瓣和/ / 或旁瓣缩小，从而使实际频谱接近原频谱。但或旁瓣缩小，从而使实际频谱接近原频谱。但是从能量守恒的角度分析：旁
13、瓣减小，则主瓣是从能量守恒的角度分析：旁瓣减小，则主瓣增大；或旁瓣增大，则主瓣缩小，后者容易造增大；或旁瓣增大，则主瓣缩小，后者容易造成旁瓣、主瓣分辨不清，引起有两个主瓣的误成旁瓣、主瓣分辨不清，引起有两个主瓣的误解。因此，一般宁可以增大主瓣为代价，缩小解。因此，一般宁可以增大主瓣为代价，缩小旁瓣，使能量集中于主瓣。旁瓣，使能量集中于主瓣。23Copyright 2001, S. K. MitraFixed Window Functions24Copyright 2001, S. K. MitraFixed Window FunctionsPlots of magnitudes of the
14、DTFTs of these windows for M = 25 are shown below:25Copyright 2001, S. K. Mitra可以考虑改用幂窗、三角函数窗和指数窗。由可以考虑改用幂窗、三角函数窗和指数窗。由于这些窗口函数时域上变化相对平缓，窗口的于这些窗口函数时域上变化相对平缓，窗口的边缘值为零，高频分量衰减增快，旁瓣明显受边缘值为零，高频分量衰减增快，旁瓣明显受到抑制，减少了频谱泄漏。但旁瓣受到抑制的到抑制，减少了频谱泄漏。但旁瓣受到抑制的同时，主瓣相应加宽，而且旁瓣只是受到抑制，同时，主瓣相应加宽，而且旁瓣只是受到抑制，不可能完全被消除，因此不管采用哪种窗函
15、数，不可能完全被消除，因此不管采用哪种窗函数，频谱泄漏只能减弱，不能消除，抑制旁瓣和减频谱泄漏只能减弱，不能消除，抑制旁瓣和减小主瓣也不可能同时兼顾，小主瓣也不可能同时兼顾， 应根据实际需要应根据实际需要进行综合考虑。进行综合考虑。26Copyright 2001, S. K. Mitra四、谱分析时DFT参数的选择应用应用DFT(DFT(或或FFT)FFT)进行信号的频谱分析时，要根据进行信号的频谱分析时，要根据给定的要求，确定给定的要求，确定DFTDFT的参数。一般情况下，已知的参数。一般情况下，已知（或先估计）：信号的最高频率（或先估计）：信号的最高频率 、频谱分辨率、频谱分辨率 、抽样
16、时能够达到的最高抽样频率、抽样时能够达到的最高抽样频率 。需要。需要确定的参数通常包括：截取的信号长度（数据长确定的参数通常包括：截取的信号长度（数据长度）度） 、抽样频率、抽样频率 （或采样间隔（或采样间隔 ）、点数）、点数N N及选择什么样的窗口函数等。及选择什么样的窗口函数等。Copyright 2001, S. K. M四、谱分析时DFT参数的选择选择参数的总原则是：选择参数的总原则是：尽可能减少混叠、频谱泄漏和栅栏效应等项误尽可能减少混叠、频谱泄漏和栅栏效应等项误差，保证信号处理的精度和可靠性。在实际分差，保证信号处理的精度和可靠性。在实际分析中，根据这个原则，通常采用以下的基本步析
17、中，根据这个原则，通常采用以下的基本步骤来选定相应的骤来选定相应的DFTDFT参数。参数。Copyright 2001, S. K. Mitra四、谱分析时DFT参数的选择1 1）估计待分析信号中频率范围和频率上限）估计待分析信号中频率范围和频率上限 。2 2）选定抽样频率）选定抽样频率 。3 3）根据分析精度，确定模拟信号有效长度）根据分析精度，确定模拟信号有效长度 。4 4）确定点数）确定点数N N。5 5）选窗口。）选窗口。Copyright 2001, S. K. Mitra1 1）估计频率上限）估计频率上限f fm m 及及 2 2）频率）频率f fs s根据时域抽样定理，应当满足：
18、fs 2 fh ，即1/T2 fh ，则T1/2fh 。有的时候fh 的值并不清楚，可以先估计一个值，进行计算，若结果不理想，将fh 再增加一倍，再进行运算，直至满足要求为止。30Copyright 2001, S. K. Mitra3 3）数据长度）数据长度T T1 1数据长度T1由于1/T1F ，要求频谱分辨力高，即 F 要小，则T1 应加长，只要有可能，T1尽量取大些。但T1 = NT ，T为采样间隔（周期），如果T1要大，而点数N不能增加，T就需要增加，这就意味着采样频率的下降，造成频谱混叠的加剧，这是需要注意的。31Copyright 2001, S. K. Mitra4 4）点数）
19、点数N N如上所述，如果一味追求高频谱分辨力，T不变，必然要增加N ，加大数据处理量。而N不增加，则T就需要增，就会加重频谱的混叠，因此对频谱分辨力的要求要适当。同时，由32Copyright 2001, S. K. Mitra33从而可知：若N不变，fh增加，F也增加，分辨力下降，相反N不变，fh 减小，分辨力提高，因此fh 的高低，直接影响分辨力，fh称为高频容量。Copyright 2001, S. K. Mitra5 5）选窗口）选窗口为了减小频谱泄漏误差，通常可以选择适当的窗函数来解决。如果待分析的信号无需截断，就不必加窗34Copyright 2001, S. K. MitraLi
20、near Convolution Using DTFTxnhnynDTFTDTFTIDTFT35= xn hn, *Copyright 2001, S. K. MitraDFT Properties36xnhnynDFTDFTIDFT?Linear convolutionCircular convolution?Copyright 2001, S. K. MitraCircular Shift of a SequenceConsider length-N sequences defined forSample values of such sequences are equal to zero
21、 for values of n 0 and 37Copyright 2001, S. K. MitraCircular Shift of a SequenceIf xn is such a sequence, then for any arbitrary integer , the shifted sequenceis no longer defined for the rangeWe thus need to define another type of a shift that will always keep the shifted sequence in the range38Cop
22、yright 2001, S. K. MitraCircular Shift of a SequenceThe desired shift, called the circular shift, is defined using a modulo operation:modulo operation N=m modulo N,Let r=N, then r = m + iN, where i is an integer chosen to make m+iN is a number between 0 and N-1.7=4 7=539Copyright 2001, S. K. MitraCi
23、rcular Shift of a Sequence40Copyright 2001, S. K. MitraCircular Shift of a SequenceIllustration of the concept of a circular shift41Copyright 2001, S. K. MitraCircular Shift of a SequenceAs can be seen from the previous figure, a right circular shift by is equivalent to a left circular shift by samp
24、le periodsA circular shift by an integer number greater than N is equivalent to a circular shift by42Copyright 2001, S. K. MitraCircular ConvolutionThis operation is analogous to linear convolution, but with a subtle differenceConsider two length-N sequences, gn and hn, respectivelyTheir linear conv
25、olution results in a length- sequence given by43Copyright 2001, S. K. MitraCircular ConvolutionTo develop a convolution-like operation resulting in a length-N sequence , we need to define a circular time-reversal, and then apply a circular time-shiftResulting operation, called a circular convolution
26、, is defined by44Copyright 2001, S. K. MitraCircular time-reversalSince N=N-n for 1=n=N-1 ,45xN=xN-n, 1=n=N-1 xn, n=0Time-reversingPeriodically extension, use the principle period Copyright 2001, S. K. MitraCircular ConvolutionSince the operation defined involves two length-N sequences, it is often
27、referred to as an N-point circular convolution, denoted as yn = gn hnThe circular convolution is commutative, i.e.gn hn = hn gnNNN46Copyright 2001, S. K. MitraCircular Convolution v. s. Linear Convolution47Suppose gn and hn are both of length NCopyright 2001, S. K. MitraCircular ConvolutionExample -
28、 Determine the 4-point circular convolution of the two length-4 sequences:as sketched belownn48Copyright 2001, S. K. Mitra49Copyright 2001, S. K. Mitra50Copyright 2001, S. K. Mitra51Copyright 2001, S. K. Mitra52Copyright 2001, S. K. Mitra53Copyright 2001, S. K. MitraCircular Convolution 54yec0=he7ge
29、m=2Copyright 2001, S. K. MitraLinear Convolution 55ye0=he-mgem=2Copyright 2001, S. K. MitraIn this case, hence, the procedure of circular convolution is equivalent to that of linear convolution over the region of principle value. Obviously, this conclusion always holds when the length of Circular Co
30、nvolution is not less than 756Copyright 2001, S. K. MitraSummaryProvided that the length of Circular Convolution is not less than N+M1 where N and M are the lengths of the two sequences involved, the procedure of circular convolution is equivalent to that of linear convolution57Copyright 2001, S. K.
31、 MitraLinear Convolution Using the DFTLinear convolution is a key operation in many signal processing applicationsSince a DFT can be efficiently implemented using FFT algorithms (FFT is about 200 times faster than the direct DFT implementation), it is of interest to develop methods for the implement
32、ation of linear convolution using the DFT58Copyright 2001, S. K. MitraLinear Convolution of Two Finite-Length SequencesLet gn and hn be two finite-length sequences of length N and M, respectivelyDenoteDefine two length-L sequences59Copyright 2001, S. K. MitraLinear Convolution of Two Finite-Length S
33、equencesThenThe corresponding implementation scheme is illustrated below*LZero-paddingwithpoint DFTZero-paddingwithpoint DFTgnhnLength-Npoint IDFTLength-MLength-60Copyright 2001, S. K. MitraLinear Convolution Using DTFTgnhnynDTFTDTFTIDTFT61= gn hn, *Length-NLength-MLength-(N+M-1)Copyright 2001, S. K. MitraCircular Shift of a Sequencecircular shift (in graphic)Applications of DFT properties 62
