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1、本章重点：本章重点：本章重点：本章重点：1 1、矢势的引入和它满足的微分方程、边值关系、矢势的引入和它满足的微分方程、边值关系、 静磁场的能量。静磁场的能量。2 2、引入磁标势的条件及磁标势满足的方程、引入磁标势的条件及磁标势满足的方程、 边值关系、边值关系、与静电势方程的比较。与静电势方程的比较。本章难点：利用矢势和磁标势解决具体问题本章难点：利用矢势和磁标势解决具体问题本章难点：利用矢势和磁标势解决具体问题本章难点：利用矢势和磁标势解决具体问题第三章第三章 静磁场静磁场第1页，共26页。一、稳恒电流磁场的矢势一、稳恒电流磁场的矢势一、稳恒电流磁场的矢势一、稳恒电流磁场的矢势1 1 1 1稳
2、恒电流磁场的基本方程稳恒电流磁场的基本方程稳恒电流磁场的基本方程稳恒电流磁场的基本方程稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不 随时间变化的磁场。随时间变化的磁场。随时间变化的磁场。随时间变化的磁场。基本方程基本方程基本方程基本方程边值关系边值关系边值关系边值关系3.1 3.1 矢势及其微分方程矢势及其微分方程矢势及其微分方程矢势及其微分方程第2页，共26页。稳恒电稳恒电稳恒电稳恒电流磁场流磁场流磁场流磁场物理意义：物理意义：物理意义：物理意义：2 2矢势的引
3、入及意义矢势的引入及意义矢势的引入及意义矢势的引入及意义静电场静电场静电场静电场（a a） 与与与与 的关系的关系的关系的关系其中其中其中其中S S S S 为以回路为以回路为以回路为以回路L L L L 为边界的任一曲面为边界的任一曲面为边界的任一曲面为边界的任一曲面第3页，共26页。（b b b b）磁通量只与曲面）磁通量只与曲面）磁通量只与曲面）磁通量只与曲面L L L L的边界有关，与曲面的具体形状无关的边界有关，与曲面的具体形状无关的边界有关，与曲面的具体形状无关的边界有关，与曲面的具体形状无关（c c c c）物理意义）物理意义）物理意义）物理意义、矢势的不唯一性、矢势的不唯一性、
4、矢势的不唯一性、矢势的不唯一性沿任意闭合回路的环量代表通过以该回路沿任意闭合回路的环量代表通过以该回路沿任意闭合回路的环量代表通过以该回路沿任意闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量为界的任一曲面的磁通量为界的任一曲面的磁通量为界的任一曲面的磁通量第4页，共26页。加辅助条件加辅助条件加辅助条件加辅助条件可减少矢势的任意性可减少矢势的任意性可减少矢势的任意性可减少矢势的任意性若若若若取另一解取另一解取另一解取另一解使使使使满足方程满足方程满足方程满足方程即只要即只要即只要即只要就有就有就有就有对对 所加的辅助条件称为所加的辅助条件称为规范条规范条件件第5页，共26页。二矢势满足的
5、方程及方程的解二矢势满足的方程及方程的解（2 2 2 2）与静电场中）与静电场中）与静电场中）与静电场中 形式相同形式相同形式相同形式相同1 1 满足的方程满足的方程满足的方程满足的方程（1 1 1 1）稳恒电流磁场矢势满足）稳恒电流磁场矢势满足）稳恒电流磁场矢势满足）稳恒电流磁场矢势满足( ( ( (矢量矢量矢量矢量) ) ) )泊松方程泊松方程泊松方程泊松方程（3 3 3 3）矢势为无源有旋场）矢势为无源有旋场）矢势为无源有旋场）矢势为无源有旋场第6页，共26页。2 2矢势的形式解矢势的形式解已已已已知知知知电电电电流流流流密密密密度度度度，可可可可从从从从方方方方程程程程直直直直接接接接
6、积积积积分分分分求求求求解解解解，但但但但一一一一般般般般电电电电流流流流分分分分布布布布与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。3 3 3 3 的解的解的解的解这正是毕奥这正是毕奥这正是毕奥这正是毕奥- - 萨伐尔定律萨伐尔定律萨伐尔定律萨伐尔定律通过类比通过类比第7页，共26页。4 4 4 4 的边值关系的边值关系的边值关系的边值关系12（a a）第8页，共26页。（b b）特殊情况：特殊情况：特殊情况：特殊情况： 若分界面为柱面，
7、柱坐标系中当若分界面为柱面，柱坐标系中当若分界面为柱面，柱坐标系中当若分界面为柱面，柱坐标系中当zxy或或或或对非铁磁介质适用对非铁磁介质适用对非铁磁介质适用对非铁磁介质适用适用于铁磁介质适用于铁磁介质适用于铁磁介质适用于铁磁介质第9页，共26页。三稳恒电流磁场的能量三稳恒电流磁场的能量三稳恒电流磁场的能量三稳恒电流磁场的能量已已已已知知知知均均均均匀匀匀匀介介介介质质质质中中中中总能量为总能量为总能量为总能量为 1 1在稳恒场中有在稳恒场中有 不是能量密度。不是能量密度。不是能量密度。不是能量密度。 能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。能量分布在磁场内，不
8、仅分布在电流区。能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。 若分界面为球面，当若分界面为球面，当若分界面为球面，当若分界面为球面，当xzy第10页，共26页。 导出过程导出过程导出过程导出过程第11页，共26页。2. 2. 电流分布在外磁场中的相互作用能电流分布在外磁场中的相互作用能最后一项称为相互作用能，记为最后一项称为相互作用能，记为 ，可以证明：可以证明：可以证明：可以证明：设设 为为外外磁磁场场电电流流分分布布， 为为外外磁磁场场的的矢矢势势； 为为处处于于外外磁场磁场 中的电流分布，它激发的场的矢势为中的电流分布，它激发的场的矢势为 。总能量：。总能量：第12页，共26页。例：无限大导体平
9、面上流有面密度为例：无限大导体平面上流有面密度为 的均匀面电流，的均匀面电流， 求空间中的矢势和磁感应强度求空间中的矢势和磁感应强度解：取直角坐标系，设导体平面为解：取直角坐标系，设导体平面为zox平平面，导体平面将空间分成两部分。电流面，导体平面将空间分成两部分。电流沿沿z轴方向，因而矢势轴方向，因而矢势 只有只有z分量，且分量，且与与x, z无关。因此无关。因此 满足的方程为满足的方程为通解为通解为第13页，共26页。由于空间关于由于空间关于 平面对称，有：平面对称，有：第14页，共26页。3.2 3.2 3.2 3.2 磁标势磁标势磁标势磁标势原因：静电力作功与路径无关，原因：静电力作功
10、与路径无关，原因：静电力作功与路径无关，原因：静电力作功与路径无关， 一引入磁标势的两个困难一引入磁标势的两个困难一引入磁标势的两个困难一引入磁标势的两个困难2 2 2 2在电流为零区域也不是都能引入磁标势。在电流为零区域也不是都能引入磁标势。在电流为零区域也不是都能引入磁标势。在电流为零区域也不是都能引入磁标势。1 1 1 1磁场为有旋场，不能在全空间引入标势。磁场为有旋场，不能在全空间引入标势。磁场为有旋场，不能在全空间引入标势。磁场为有旋场，不能在全空间引入标势。而静磁场即使电流为零的区域也可能不满足而静磁场即使电流为零的区域也可能不满足而静磁场即使电流为零的区域也可能不满足而静磁场即使
11、电流为零的区域也可能不满足第15页，共26页。二引入磁标势的条件二引入磁标势的条件即无自由电流分布的单连通域区域内可引入磁标势。即无自由电流分布的单连通域区域内可引入磁标势。讨论：讨论：1 1）在有电流存在时必须根据情况挖去一部分区域；）在有电流存在时必须根据情况挖去一部分区域；）在有电流存在时必须根据情况挖去一部分区域；）在有电流存在时必须根据情况挖去一部分区域；2 2）若空间仅有永久磁铁，则可在全空间引入。）若空间仅有永久磁铁，则可在全空间引入。）若空间仅有永久磁铁，则可在全空间引入。）若空间仅有永久磁铁，则可在全空间引入。用公式表示用公式表示显然只能在显然只能在显然只能在显然只能在 区域
12、引入，且在引入区域中任何回区域引入，且在引入区域中任何回区域引入，且在引入区域中任何回区域引入，且在引入区域中任何回路都不能与电流相链环。路都不能与电流相链环。路都不能与电流相链环。路都不能与电流相链环。第16页，共26页。 不不不不仅仅仅仅可可可可用用用用于于于于均均均均匀匀匀匀各各各各向向向向同同同同性性性性非非非非铁铁铁铁磁磁磁磁介介介介质质质质，而而而而且且且且也也也也可可可可讨讨讨讨论论论论铁铁铁铁磁磁磁磁介质或非线性介质。介质或非线性介质。介质或非线性介质。介质或非线性介质。即即即即将将将将 代入代入代入代入1无传导电流分布的单连通域磁场满足的方程无传导电流分布的单连通域磁场满足的
13、方程 三磁标势满足的方程三磁标势满足的方程第17页，共26页。2 2 满足的泊松方程满足的泊松方程满足的泊松方程满足的泊松方程与静电场方程 比较令引入磁标势引入磁标势引入磁标势引入磁标势代入代入 得磁标势满足的方程得磁标势满足的方程得磁标势满足的方程得磁标势满足的方程则有磁场强度 满足若将分子电流看作由一对若将分子电流看作由一对若将分子电流看作由一对若将分子电流看作由一对假想磁荷组成的磁偶极子，假想磁荷组成的磁偶极子，假想磁荷组成的磁偶极子，假想磁荷组成的磁偶极子，介质磁化后出现假想磁荷介质磁化后出现假想磁荷介质磁化后出现假想磁荷介质磁化后出现假想磁荷分布，密度为分布，密度为分布，密度为分布，
14、密度为或第18页，共26页。4 4 4 4边值关系边值关系边值关系边值关系或或或或或或或或第19页，共26页。四静电场与静磁场方程的比较四静电场与静磁场方程的比较四静电场与静磁场方程的比较四静电场与静磁场方程的比较静磁场静磁场静电场静电场第20页，共26页。静电势与磁标势的差别：静电势与磁标势的差别：静电势与磁标势的差别：静电势与磁标势的差别：到目前为止实验上还未真正发现以磁单极形式存在的自由磁荷。对静磁场人们认为分子电流具有磁偶极矩，将它们看作由一对磁荷构成，不能分开。 静电场可在全空间引入，无限制条件；静磁场要求在无自 由电流分布的单连通域中才能引入。 静电场中存在自由电荷，而静磁场无自由
15、磁荷。注注注注 意意意意 ： 在在在在 处处处处 理理理理 同同同同 一一一一 问问问问 题题题题 时时时时 ， 磁磁磁磁 荷荷荷荷 观观观观 点点点点 与与与与 分分分分 子子子子 电流观点不能同时使用。电流观点不能同时使用。电流观点不能同时使用。电流观点不能同时使用。虽虽然然磁磁场场强强度度与与电电场场强强度度表表面面上上相相对对应应，但但从从物物理理本本质质 上上看看只只有有磁磁感感应应强强度度才才与与电电场场强强度度地地位位相相当当。描描述述宏宏观观磁磁场场，磁场强度仅是个辅助量。磁场强度仅是个辅助量。第21页，共26页。例例1：证明 的磁性物质表面为等磁势面由边值关系：得：由于有得到
16、即 与表面垂直，表面为等磁势面第22页，共26页。例例2 2：求磁化强度矢量为：求磁化强度矢量为 的均匀磁化铁球产生的磁场。的均匀磁化铁球产生的磁场。时， 有限，得时， ，得解：解：取球坐标系，原点在球心，极轴沿 方向。铁球内外均为无传导电流的单连通区域，因而可引入磁标势，设球内外的磁标势分别为 和 ，它们均满足拉普拉斯方程。第23页，共26页。处，有得：解出磁标势为第24页，共26页。球外为磁偶极子产生的势磁偶极矩为球内磁场 和 反向， 线闭合， 线不闭合。（P85图）第25页，共26页。例例3：求电流线圈产生的磁标势设电流线圈载有电流 ，可看作线圈所围的一个曲面上许多载有电流 的小线圈组合而成。其中面元为 的小线圈的磁矩为解：解：产生的磁标势为 为 对场点所张的立体角。因此整个电流线圈产生的磁标势为第26页，共26页。
