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1、定积分的概念1abxyo原型原型 （求曲边梯形的面积）求曲边梯形的面积）一、抽象定积分概念现实原型2面积怎么求？面积怎么求？面积怎么求？面积怎么求？元素法元素法元素法元素法3 利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，可可概括概括“分割分割- -取近似取近似- -求和求和- -取极限取极限” 的步骤的步骤. .将曲边梯形的底，即将曲边梯形的底，即a ,b进行分割进行分割( (用垂直于用垂直于x轴的直线轴的直线).).第一步第一步 分割；分割；曲边梯形的面积的解决思路：曲边梯形的面积的解决思路：a bxyo4取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积取出典型小区
2、域，用矩形面积近似曲边梯形面积. .第二步第二步 取近似；取近似；a bxyo用矩形面积近似用矩形面积近似用矩形面积近似用矩形面积近似小曲边梯形面积小曲边梯形面积小曲边梯形面积小曲边梯形面积底底典型小区域面积典型小区域面积 5a bxyo第三步第三步 求和；求和；矩形面积和与曲边梯矩形面积和与曲边梯形面积不相等形面积不相等有误差有误差有误差有误差将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所有的小矩形面积加起来有的小矩形面积加起来. .6第四步第四步 取极限取极限. .当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之和越
3、近似于曲边梯形面积和越近似于曲边梯形面积. .a bxyo78二、 定积分的定义定义定义以直代曲以直代曲求和求和9被被积积函函数数被被积积表表达达式式积分上限积分上限积分下限积分下限积积分分变变量量积分和积分和取极限取极限10注意：注意：11曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值定积分的几何意义12几何意义13例例1解解1415定理定理三、定积分的性质定理定理16补充：不论补充：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.定理定理 （积分区间的可加性）（积分区间的可加性）abcSacScbS17定理定理18对定积分的补充规定对定积分的补充规定:19
4、20定理定理（保序性保序性）推论（保号性）推论（保号性）21定理定理 （有界性）（有界性）22例例2解解.2324定理（绝对值不等式）定理（绝对值不等式）用保序性证得用保序性证得25定理（积分中值定理）定理（积分中值定理）积分中值公式的几何解释积分中值公式的几何解释26定积分的计算27定积分计算定积分计算如何计算定积分？如何计算定积分？ 定义很复杂，直接计算很困定义很复杂，直接计算很困难难. .需要转换新的思路需要转换新的思路. . 根据几何意义，图不好画根据几何意义，图不好画28定理定理牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式微积分基本定理29微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：求定积分问
5、题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题30例例1 求求 解解提示与分析：提示与分析：先看成不定积分问题，先看成不定积分问题，求出原函数求出原函数. .31例例2例如例如3233问题问题解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令第一换元法第一换元法3435考虑考虑到底该令哪个式子为到底该令哪个式子为u u3637一定要换积分上、下限一定要换积分上、下限38第一换元（凑微分）法常用的几种配元形式第一换元（凑微分）法常用的几种配元形式: : 3940解解例例4 计算计算41说明说明: :使用第一换元法的关键在于将使用第一换元法的关键在于将化为化
6、为观察重点不同，所得结论形式不同观察重点不同，所得结论形式不同. .42例例5 计算计算解一解一提示与分析：提示与分析： 用凑微分法求解用凑微分法求解.解二解二43解三解三44第第一一类类换换元元法法难难 求求 易易 求求第二换元积分法第第二二类类换换元元法法难难 求求 易易 求求45 定积分的第二换元积分法46应用换元公式时要注意应用换元公式时要注意: :47第第二二换换元元法法48例例7 7计算计算解解 令令如何去掉根式？如何去掉根式？三角代换三角代换495051= =0解解例例8 计算计算52解解例例9 9 计算计算531 1 求求2 2 求求 练习 541 1 求求552 2 求求56提示与分析：提示与分析：含有根式含有根式,可采用换元定积分可采用换元定积分,去去掉根号掉根号.57
