数理方程第讲

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1、1数理方程第讲Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望2第二章 分离变量法2.1 有界弦的自由振动3在高等数学中我们知道一个普通的函数f(x)经常能够展开成级数. 例如, 幂级数的形式就是:f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+其中无穷多个函数v0(x)=1, v1(x)=x, v2(x)=x2, , 等等, 构成了级数展开的一个函数系.而三角级数的形式就是f(x)=a0+a1sinx+b1cosx+a2sin2x+b2cos2x+其中的无穷多个函数1, sinx, c

2、osx, sin2x, cos2x, , 也构成了级数展开的一个函数系.4因此, 一般而言, 一个函数f(x)能够在一个函数系v0(x), v1(x), v2(x), 下展开成级数的形式为f(x)=a0v0(x)+a1v1(x)+a2v2(x)+那么, 一个二元函数u(x,t), 将t固定住视为常数, 看作x的函数, 则也能够在函数系v0, v1, v2, 下展开成级数的形式 u(x,t)=a0(t)v0(x)+a1(t)v1(x)+a2(t)v2(x)+其中的每一项都是两个一元函数的乘积ai(t)vi(x), 这样构成的二元函数我们称之为可分离变量的. 而如果级数中的每一项都是线性偏微分方程

3、的解, 则此级数也就是线性偏微分方程的解.5讨论两端固定的弦自由振动的定解问题:设u(x,t)=X(x)T(t)则6代入方程(2.1)得X(x)T(t)=a2X(x)T(t)或此式左端仅是x的函数, 右端仅是t的函数, 一般情况不可能相等, 除非它们均为常数, 令此常数为-l, 则有这样可以得到两个常微分方程:7再利用边界条件(2.2), 由于u(x,t)=X(x)T(t),X(0)T(t)=0, X(l)T(t)=0.但T(t)0, 如果T(t)=0, 这种解称为平凡解, 所以X(0)=X(l)=0(2.6)因此, 要求方程(2.1)满足条件(2.2)的变量分离形式的解, 就先要求解下列常微

4、分方程的边值问题8要确定l取何值时(2.5)才有满足条件(2.6)的非零解, 又要求出这个非零解X(x). 这样的问题称为常微分方程(2.5)在条件(2.6)下的特征值问题, 使问题(2.5),(2.6)有非零解的l称为该问题的特征值, 相应的非零解X(x)称为它的特征函数.下面分l0三种情况来讨论, 将得出结论l0和l=0不能成立.910而方程X(x)+lX(x)=0的特征方程为r2+l=0当l0时, 特征根为方程的通解为111 设l0, 并令l=b2, b为非零常数. 此时方程(2.5)的通解为 X(x) = A cos bx+B sin bx,由条件(2.6)得A = 0B sin bl

5、 = 0由于B不能为零, 所以sin bl=0, 即从而14(2.5),(2.6)的一系列特征值及相应的特征函数为:将上式中的特征值代入到(2.4)得15其通解为:因此可分离变量的方程的特解为其中 是任意常数.16为满足初始条件(2.3), 求出原问题的解, 将(2.10)中所有函数un(x,t)叠加起来:17将初始条件(2.3)代入上式得:18复习高等数学中周期为2l的傅立叶级数:如果周期为2l的周期函数f(x)为奇函数, 则有其中系数bn为:192021 解： 令u(x,t)=X(x)T(t)是齐次方程和齐次边界条件的非零解,则有22方程的特解为23这时l=10, 并给定a2=10000.

6、 这个问题的傅里叶级数形式解可由(2.11)给出. 其系数按(2.12)式为Dn=0,24因此, 所求的解为25解题中常用到的积分表的内容:26分析一下级数形式解(2.11)的物理意义. 先固定t, 看看任意指定时刻波是什么形状; 再固定x, 看该点的振动规律. (2.11)中的一项:其中27282930某一时刻n=1,2,3的驻波形状xOulxOulxOuln=1n=2n=331综合上述, 可知u1(x,t),u2(x,t),un(x,t),是一系列驻波, 它们的频率, 位相与振幅都随n不同而不同. 因此一维波动方程用分离变量法解出的结果u(x,t)是由一系列驻波叠加而成的, 而每一个驻波的

7、波形由特征函数确定, 它的频率由特征值确定. 这完全符合实际情况. 因为人们在考察弦的振动时, 就发现许多驻波, 它们的叠加又可以构成各种各样的波形, 因此很自然地会想到用驻波的叠加表示弦振动方程的解. 这就是分离变量法的物理背景, 所以分离变量法也称为驻波法驻波法.322.2 有限长杆上的热传导33设有一均匀细杆, 长为l, 两端点的坐标为x=0与x=l, 杆的侧面是绝热的, 且在端点x=0处温度是零摄氏度, 而在另一端x=l处杆的热量自由发散到周围温度地零度的介质中去, 已知初始温度分布为j(x). 求杆上的温度变化规律, 也就是要考虑下列定解问题:34用分离变量法来解此问题, 设u(x,

8、t)=X(x)T(t),代入方程(2.13)得上式左端不含有x, 右端不含有t, 只有当两端均为常数时才可能相等. 令此常数为-b2, 则有35从而得到两个线性常微分方程解方程(2.16)得X(x)=A cos bx + B sin bx,由边界条件(2.14)可知X(0)=0, X(l)+hX(l)=0.(2.17)从X(0)=0得A=0, 从X(l)+hX(l)=0得b cos bl + h sin bl=0(2.17)a3637ygy=agy=tan gg1g2g3-g1-g238于是得到无穷多个特征值及相应的特征函数再由(2.16)解得得到的一组满足边界条件的特解为其中Cn=AnBn3

9、9由于方程(2.13)与边界条件(2.14)都是齐次的, 所以仍满足方程与边界条件. 最后考虑u(x,t)能否满足初始条件(2.15), 从(2.22)式得现在希望它等于已知函数j(x), 首先要问在0, l上定义的函数j(x)能否展开成上式的形式, 其次要问系数Cn如何确定. 前者的答案是肯定的(不证). 主要讨论后者.40不难证明令于是在的两端乘上sin bkx, 然后在0, l上积分得即将(2.24)代入(2.32)式即得原定解问题的解.41分离变量法的主要步骤为:一一, 首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题, 这对线性齐次偏微分方程是可以做到的.二二, 求特

10、征值问题，即确定特征值与特征函数。 当边界条件是齐次时, 求特征函数就是求一个常微分方程满足零边界条件的非零解.42三三, 定出特征值、 特征函数后, 再解其他的常微分方程, 把得到的解与特征函数乘起来成为un(x,t), 这时un(x,t)中还包含着任意常数.四四, 最后为了使解满足其余的定解条件, 需要把所有的un(x,t)叠加起来成为级数形式, 这时级数中的一系列任意常数就由其余的定解条件确定. 在这最后一步工作中, 需要把已知函数展开为特征函数项的级数, 这种展开的合理性将在2.6中论述.432.3 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题44 一个半径为r0的薄圆盘, 上下两面绝热, 圆周

11、边缘温度分布为已知, 求达到稳恒状态时圆盘内的温度分布. 这时温度分布应满足拉普拉斯方程 2u=0因为边界形状是个圆周, 它在极坐标下的方程为r=r0, 所以在极坐标系下的边界条件可表为既然边界条件用极坐标形式表示出来很简单, 所以就在极坐标系下求解这个定解问题.45因r,q的取值范围分别是0,r0与0,2p, 而圆内包括中心的温度有限, 且(r,q)与(r,q+2p)实际上表示同一点, 温度应该相同, 即应该有|u(0,q)|+(2.27)u(r,q)=u(r,q+2p)(2.28)现在来求满足方程(2.25)及条件(2.26),(2.27), (2.28)的解. 先令 u(r,q)=R(r

12、)F(q),46代入方程(2.25)得即令比值为常数l即得两个常微分方程F+lF=0,r2R+rR-lR=0.再由条件(2.27)及(2.28)可得|R(0)|+,F(q+2p)=F(q).(2.29)47因此得到两个常微分方程的定解问题先解哪一个要看哪一个可以定出特征值. 由于条件(2.29)满足可加性(即所有满足(2.29)的函数加起来仍旧满足(2.29), 所以只能先解问题(2.30).48采用与2.1中同样的方法可以得到当l0时, 取l=b 2, 这时(2.30)的解为Fb (q)=abcosbq+bbsin bq,且为使F(q)以2p为周期, b必须是整数n, n=1,2,3, 则可

13、将上面得到的解表示成Fn(q)=ancos nq + bnsin nq.49高等数学复习: 求解欧拉方程x2y+xy-n2y=0(a)作变换x=et或t=ln x, 则有代入(a)得通解为y=Cent+De-nt=Cxn+Dx-n (n0)和y=Ct+B=Cln x+D (n=0)50对于非齐次的欧拉方程x2y+xy-n2y=axm特解的形式应当是y*=Cxm, 将之代入上式可确定常数C.51至此, 已经定出了特征值问题(2.30)的特征值b2n=n2, 特征函数Fn(q). 接下去是解(2.31). 其中的方程是欧拉(Enler)方程, 它的通解为R0=c0+d0lnr, 当l=0;Rn=c

14、nrn+dnr-n, 当l=n2(n=1,2,3,)为了保证|R(0)|+, 只有dn=0(n=0,1,2,),即Rn=cnrn(n=0,1,2,).因此利用叠加原理, 方程(2.25)满足条件(2.27), (2.28)的解可以表示为级数5253将这些系数代入(2.32)式即得所求的解.为了以后应用起来方便, 还可以将解(2.32)写成另一种形式. 为此, 将(2.34)式的系数代入(2.32)式经过简化后可得54利用下面已知的恒等式55可将(2.35)中的解u(r,q)表达为公式(2.36)称为圆域内的泊松公式圆域内的泊松公式. 它的作用在于把解写成了积分形式, 这样便于作理论上的研究.5

15、6例例 解下列定解问题A为常数.解解 利用公式(2.34)并注意三角函数的正交性代入(2.32)即得所求的解为572.4 非齐次方程的解法58研究一根弦在两端固定的情况下, 受强迫力作用所产生的振动现象. 即要考虑下列定解问题:因为非齐次方程的解经叠加后一般不再是原方程的解，所以不能用分离变量法直接求解非齐次方程的定解问题。但是依据齐次方程(2.11)的解，且它的边值条件和方程(2.37)的一样，故先假设定解问题(2.37) (2.39)的解u(x,t)可以展开成如下的傅立叶级数形式59并且把定解数据f(x,t)， 和 都按固有函数系 展开60其中显然， u(x,t)满足边界条件(2.38)，

16、因此只需u(x,t) 再满足方程(2.37) 和初值条件(2.39)就得到原问题的解，把上面的展开式分别代入方程(2.37)和初始条件(2.39)，可得61比较上面三个展开式的系数可得由于(2.41)对应的齐次方程的解为62由高等数学可知：如果Cy1(x)是齐次线性方程的解，那么可以利用变换y=uy1(x)(这变换是把齐次方程的解中的任意常数C换成未知函数u(x)而得到的)去解非齐次线性方程。这一方法也适用于高阶线性方程。下面就二阶情形来做讨论。如果已知齐次方程那么，我们可以用如下的常数变易法去求非齐次方程通解为63令要确定未知函数v1(x)及v2(x)使(3)式所表示的函数y满足非齐次方程(

17、2)。为此，对(3)式求导，得由于两个未知函数v1、v2只需满足一个关系式，所以可规定它们再满足一个关系式。从 的上述表示式可看出，为了使 的表示式中不含 和 ，可设64从而再求导，得把 、 、 代入方程(2)，得整理得注意到y1及y2是齐次方程(1)的解，故上式即为65联立方程(4)和(5)，在系数行列式时，可解得对上两式积分(假定f(x)连续)，得于是得非齐次方程(2)的通解为66则利用常微分方程中的参数变易法，即设为方程(2.41)的解，则待定函数an(t), bn(t)由下面方程组确定求得67把它们代入(2.43)，就得到方程(2.37)的通解再由初始条件(2.39)，可确定故问题(2

18、.41)，(2.42)的解为(2.44)把(2.44)代入(2.40)，可知(2.40)是非齐次问题(2.37)(2.39)的解，完整的形式为68(2.45)从解的形式上看，可分为两部分：等号右端第一个级数项表示初始位移和初始速度对弦振动的影响；第二个级数项表示外力f(x,t)对弦振动的影响。若弦所受外力为零，则(2.45)式就是齐次问题(2.1)(2.3)的解(2.11)。69上述这种解法是把方程的非齐次项以及解按对应的齐次方程的一族固有函数展开，随着方程与边界条件不同，固有函数族也就不同，但总是把非齐次方程的解按相应的固有函数展开，这种方法又称固有函数法。此方法对其他类型的方程也是适用的。

19、702.5 非齐次边界条件的处理71 前面所讨论的定解问题的解法, 不论方程是齐次的还是非齐次的, 边界条件都是齐次的. 如果遇到非齐次边界条件的情况, 应该如何处理? 总的原则是设法将边界条件化成齐次边界条件化成齐次的. 现在以下列定解问题为例, 说明选取代换的方法. 以弦振动为例，设具有非齐次边界条件的弦振动定解问题为令72其中v(x,t)满足和u(x,t)相同的边界条件(2.47)则当x=0或x=l时这样关于V(x,t)的定解问题的边值条件就是齐次的，对应的辅助函数v(x,t)也容易找到，对于第一边值问题，一般可设v(x,t)=a(t)x+b(t) ，代入(2.47)可得73即把v(x,

20、t)代入(2.49)，可得再把上式代入(2.46)(2.48)，则定解问题转化为74重复2.4节的做法，就可得到V(x,t) ，进而求出u(x,t). 对方程和边界条件都是非齐次，且f,u1,u2都与t无关, 则可取适当的v(x)(也与t无关), 使V(x,t)的方程与边界条件同时都化为齐次的, 这样做就可以省掉下面对V(x,t)要进行解非齐次方程的繁重工作. 这种v(x)究竟怎么找, 将在下面的例题中说明.75例例1 求下列定解问题:的形式解, 其中A,B均为常数.76解解 这个定解问题的特点是: 方程及边界条件都是非齐次的. 根据上述原则, 首先应将边界条件化成齐次的, 由于方程(2.63

21、)的自由项及边界条件都与t无关, 所以我们有可能通过一次代换将方程与边界条件都变成齐次的, 具体做法如下: 令 V(x,t) =u(x,t)-W(x),代入方程(2.63)得77为了使这个方程及边界条件同时化成齐次的, 选W(x)满足(2.66)是一个二阶常系数线性非齐次方程的边值问题, 它的解可以通过两次积分得78再由(2.65)可知函数V(x,t)为下列定解问题:的解. 采用分离变量法, 可得(2.67)满足齐次边界条件(2.68)的解为79利用(2.69)中第二个条件可得Dn=0.于是定解问题(2.67),(2.68),(2.69)的解表示为代入(2.69)中第一个条件得即80由傅里叶级

22、数的系数公式得81因此, 原定解问题的解为其中Cn由(2.71)确定.82对边界条件不全是第一类的, 本节的方法仍然适用, 不同的只是辅助函数v(x,t)的形式。831v(x,t)=u2(t)x+u1(t)2v(x,t)=u1(t) (x-l)+u2(t )3v(x,t)=(1/2l)(u2(t)-u1(t)x2+u1(t)x注意以上v(x,t)的选取不是唯一的。84以上各节说明了如何用分离变量法来解定解问题, 其主要步骤小结如下:一, 根据边界的形状选取适当的坐标系, 选取的原则是使在此坐标系中边界条件的表达式最为简单. 圆、圆环、扇形等域用极坐标系较方便.二, 若边界条件是非齐次的, 则不

23、论方程是否为齐次, 必须先作函数的代换使其化为具有齐次的边界条件问题, 然后再求解.三, 非齐次方程, 齐次边界条件的定解问题(不论初始条件如何)可以用特征函数法求解.852.6 积分变换法86积分变换通过特定的积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换。积分变换法是通过积分变换，将数学模型转化，从而简化定解问题的一种求解方法。如通过积分变换将偏微分方程化为常微分方程，于是求解问题得以简化。 特别对于无限或半无限区域上的定解问题，采用积分变换有固定的程序求解，更为方便。87这里函数f(x)通过上述积分运算变成另一函数F(s)就称为一个积分变换，其中k(x,s)称为积分变换核，当选取不同的积分变换

24、核和积分域时，就得到不同的积分变换。下面介绍积分变换 (傅里叶变换和拉普拉斯变换)在求解偏微分方程定解问题中的应用。一般，含参变量s的积分88一、傅里叶变换(Fourier)1.傅里叶变换定义若函数f(x)在 上满足：逐段光滑；绝对可积，即 收敛则称 为函数f(x)的傅里叶变换，简称傅氏变换，记为 可以推出 称为的傅氏逆变换，记为892.傅里叶变换的性质 线性性质 设 ， ，a,b为任意常数，则 同样逆变换也成立，即微分性质 类似地，逆变换有90积分性质卷积定理 卷积定义：若已知函数f1(x), f2(x)，则积分称为函数f1(x)与f2(x)的卷积,记为f1(x)*f2(x),即91显然卷积

25、定理：假定则或92二、拉普拉斯变换 傅氏变换要求进行变换的函数一定要满足绝对可积，这样的条件是比较强的，许多简单的函数如1，xn,ex和sinx等都不满足在内绝对可积；另外，在工程应用中许多以时间t为自变量的函数仅在 上有定义。因此，傅氏变换的应用范围受到很大的限制。为了克服傅氏变换的缺点，就需要适当地把傅氏变换加以改造，从而导出拉普拉斯变换，简称拉氏变换。931.拉氏变换的定义 设函数f(t)，当 时有定义，且积分在s的某一区域内收敛，其中 是复参量，则由此确定的函数称为f(t)的拉普拉斯变换式。记作94并称函数F(s)为f(t)的拉氏变换，称f(t)为F(s)的拉氏逆变换，记作显然若F(s

26、)是f(t)的拉氏变换，则可推出2.拉氏变换的性质 线性性质 若a,b为常数，则95且逆变换也有微分性质 设f(t)在 上连续，则积分性质96推论:卷积定义： 若f1(t)， f2(t)满足拉氏变换存在的条件，则积分称为f1(t)，f2(t)的卷积，记为f1(t)* f2(t)，即实质上，拉氏变换的卷积与傅氏变换的卷积定义是一致的，当 时，若f1(t)，f2(t)97满足条件则从傅氏变换的卷积可得到拉氏变换的卷积，即卷积定理：设f1(t)，f2(t)满足拉氏变换存在定理中的条件，且98则或三、用傅氏变换法求解定解问题 例：求解一维齐次热传导方程的定解问题99解：首先对于未知函数u(x,t)及初

27、始条件中的函数 关于x作傅氏变换，记然后，对方程两边关于x作傅氏变换，并利用微分性质得即100这是一个含参数 的一阶常微分方程，对初始条件也作同样的变换得解常微分方程初值问题，其解两端关于 作傅氏逆变换，左端为而右端根据卷积定理知101由于 ，并查傅氏变换表得故定解问题的解102四、用拉氏变换求解定解问题解：这个问题显然不能用傅里叶变换来求解了，因为x,t的变换范围都是 ，下面用拉氏变换来解，从x,t的变换范围来看，对x,t都能取拉氏变换，但由于方程中含有 ，而在x=0处未给出 的值，故不能103对x取拉氏变换，而对t来说，由于方程中只出现关于t的一阶偏导数，只要知道当t=0时u的值就够了，这

28、个值已由给出，故我们采用关于t的拉氏变换。 用U(x,p),F(p)分别表示函数u(x,t), f(t) 关于t的拉氏变换，即首先，对方程的两端取拉氏变换，并利用条件，可得104再对条件取同样的变换，可得方程是关于U(x,p)的线性二阶常系数的常微分方程，它的通解为由于当 时，u(x,t)应该有界，所以105U(x,p)也应该有界，故C2=0。再由条件可得C1=F(p)，从而可得由拉氏变换表可查到其中余误差函数LL106再根据拉氏变换的微分性质可得因此107最后由拉氏变换的卷积性质可得原问题的解108选择变换的原则: 1.自变量变化的范围，由于傅氏变换要求自变量在 内变化，拉氏变换要求自变量在

29、 内变化，因此要根据自变量的变化范围，作为选择变换的条件之一。 2.定解条件的形式，由于拉氏变换的微分性质：可以看出，对函数关于某自变量取拉氏变换时，必须在定解条件中给出当自变量等于0时的函数值及有关导数值。109用积分变换法求解定解问题的过程:一, 根据自变量的变化范围以及定界条件的具体情况, 选取适当的积分变换, 然后对方程的两端取变换, 把一个含两个自变量的偏微分方程化为含一个参量的常微分方程.二, 对定解条件取相应的变换, 导出新方程的定解条件.三, 解所得的常微分方程, 求得原定解问题解的变换式(即象函数).四, 对所得的变换式取逆变换, 得到原定解问题的解.110作业习题二41页开始第1(1),2(2),3(1),6(1),7,10题