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1、关于作业关于作业125页第页第 3题：题： 注意叙述的严密性注意叙述的严密性定理定理3.1 设向量设向量 , 则则 向量向量与与 共线共线 可以由可以由 线性表示线性表示 (即即存在存在唯一的实数实数m使得使得 = m ) 推论推论3.1 向量向量 1, 2共线共线 1, 2线性相关线性相关 (即即存在不全为零的实数存在不全为零的实数k1, k2使得使得 k1 1+k2 2 = ) 在第在第3题中，注意以下结论的运用题中，注意以下结论的运用温故而知新温故而知新向量积（外积，叉积）向量积（外积，叉积）数量积（内积，点积）数量积（内积，点积） 混合积混合积得到的是一个数得到的是一个数得到的是一个向
2、量得到的是一个向量内积内积 投影投影外积外积 平行四边形面积平行四边形面积混合积混合积 平行六面体体积平行六面体体积一一. 平面的方程平面的方程 1. 点法式方程点法式方程. x xy yz zO OP P0 0n n P P过点过点P0(x0, y0, z0)且与非零且与非零向量向量n = (A, B, C)垂直的平面垂直的平面 的方程为的方程为A(x x0)+B(y y0)+C(z z0) = 0. 2. 一般方程一般方程. Ax+By+Cz+D = 0. 3.4 平面和直线平面和直线 第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平
3、面和直线第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线 三点方程三点方程. 3. 经过不共线的经过不共线的三三点点P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), P3(x3, y3, z3)的平面的平面 的方程为的方程为 x x1 y y1 z z1x2 x1 y2 y1 z2 z1 = 0 x3 x1 y3 y1 z3 z14. 截距式方程截距式方程. xaybzc+= 1 A A( (a a,0,0),0,0)x xO Oy yz zB B(0,(0,b b, 0), 0)C C(0,0,(0,0,c c)
4、)第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线 第三章 几何空间第四节第四节 平面和直线平面和直线二二. 空间直线的方程空间直线的方程 P(x,y,z)P(x,y,z)求过点求过点P0(x0, y0, z0)且与非零且与非零向量向量s = (l, m, n)平行的直平行的直线线L的方程的方程.x xy yz zO OP P0 0s s L L 第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线P0P 与与 L 平行平行 (x-x0 , y-y0 ,x-x0 ) =
5、t (l, m, n)存在实数存在实数 t 使得使得 P0P = t s 1. 参数方程参数方程. P(x,y,z)P(x,y,z)求过点求过点P0(x0, y0, z0)且与非零且与非零向量向量s = (l, m, n)平行的直平行的直线线L的方程的方程.x xy yz zO OP P0 0s s L L 第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线x = x0+lt, y = y0+mt, z = z0+nt, t R. 2. 标准标准(对称对称)方程方程. ( lmn 0 ) x x0lmny y0z z0=第三章几何空
6、间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线若若 l=0, mn 0, 则则L的参数方程为的参数方程为x = x0, y = y0+mt, z = z0+nt. 或或x xy yz zO O Lx x0 0注注：x x00mny y0z z0=第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线若若 l=m=0, n 0, 则则L的参数方程为的参数方程为x = x0, y = y0, z = z0+nt. 或或注注：x x000ny y0z z0=x = x0, y = y0.
7、或或y yz zO O L x x0 0y y0 0x x3. 两点式方程两点式方程. 过两点过两点P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2)的直线的直线L的的方程为方程为x x1y y1z z1=x2 x1y2 y1z2 z1x xy yz zO OP P1 1 L L P P2 2第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线4. 一般方程一般方程. A1x+B1y+C1z+D1 = 0 A2x+B2y+C2z+D2 = 0 第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线
8、平面和直线平面和直线平面和直线与该直线平行的向量与该直线平行的向量(方向向量方向向量)是什么？是什么？例例1 由下列一般方程得到标准方程由下列一般方程得到标准方程 x+2y-z-3=0 x-2y+2z+1=0s = (A1,B1,C1) (A2,B2,C2)关于平行的问题关于平行的问题 线与线何时平行？线与线何时平行？ 面与面何时平行？面与面何时平行？ 线与面何时平行？线与面何时平行？第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线(也不难也不难)(简单简单)(简单简单)想一想想一想关于交点交线的问题关于交点交线的问题第三章几何空
9、间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线 线与线何时相交？线与线何时相交？线与面何时相交？线与面何时相交？面与面何时相交？面与面何时相交？想一想想一想例例2. 当参数当参数k取什么值时，取什么值时， 直线直线L1 : = = y -1 -3x -1 2z -4-4L2 : = = (k 0)y +1 -1x -1 2z -1k相交？相交？L1L2P1P2s1Q2第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线Q1s2注：注：也可以也可以联立两直线联立两直线的方程，然的方程
10、，然后考察所得后考察所得的方程组是的方程组是否有解。否有解。例例3. 求直线求直线L： 与平与平注意注意：所谓交点，就是同时满足直线方程所谓交点，就是同时满足直线方程和平面方程的点和平面方程的点第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线 = = y +1 -1x -12z1面面 ：x+2y+z-1=0的交点坐标。的交点坐标。例例4. 考察三个平面的交点或交线情况。考察三个平面的交点或交线情况。注意注意：所谓交点或交线，就是同时满足所谓交点或交线，就是同时满足三个平面方程的点或由这些点组成的线三个平面方程的点或由这些点组成的线
11、第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线1: x+y+z=1, 2 : -x+y=2, 3: 2x+a2z=a.总总 结结1.1.平面方程平面方程： 点法式，点法式， 一般方程，一般方程， 三点方程，三点方程， 截距式截距式2.2.直线方程直线方程： 参数方程，标准方程，参数方程，标准方程， 两点式两点式, , 一般方程一般方程3.3.交点和交线交点和交线：线线，线面，面面：线线，线面，面面第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线第三章几何空间第三章几
12、何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线两种角度两种角度几何角度：几何角度：代数角度：代数角度：平面的法向量平面的法向量直线的方向向量直线的方向向量求解方程组求解方程组三三. 点点, 直线以及平面的位置关系直线以及平面的位置关系1. 夹角夹角. (1) 两条直线的夹角两条直线的夹角. 注注: 夹角夹角 的范围的范围: 0 /2. = 0= 0第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线三三. 点点, 直线以及平面的位置关系直线以及平面的位置关系1. 夹角夹角. (1) 两条直线
13、的夹角两条直线的夹角. s1 s2 = l1 l2 l2 l1s1 = s2 s1 = arccos |s1s2| |s1| |s2| 第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线 3 (2) 两个平面的夹角两个平面的夹角. 2 1 n1 n2 = arccos |n1n2| |n1| |n2| 第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线l l l (3) 直线与平面的夹角直线与平面的夹角. ns n s P1P2 = arcsin |sn| |s| |n|
14、 第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线l l (3) 直线与平面的夹角直线与平面的夹角. ns n s = arcsin |sn| |s| |n| 例例5. 求直线求直线 l: x+71 21y 6z 5= : x + 2y + z + 1 = 0之间的夹角之间的夹角. 与平面与平面 2. 距离距离. (1) 点点P到直线到直线 l 的距离的距离: (2) 点点P(x1, y1, z1)到平面到平面 : Ax+By+Cz+D = 0 的距离的距离: d =|P0P s| |s| PP0l sn nP P P P0 0d
15、 = |(P0P)n|nP0P| |n|=d =|Ax1+By1+Cz1+D| A2+B2+C2第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线L L1 1(3) 异面直线之间的距离异面直线之间的距离. L L2 2P P1 1P P2 2s s1 1s s2 2|(s1 s2)P1P2| |s1 s2|d =第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线例例6. 求直线求直线l1: x 1 12 2y+5z =l2: x+1 = y = z 1的距离及公垂线的方程
16、的距离及公垂线的方程. 与与l1 l2 s2 s1 s 1 2 P1 P2 Q1 Q2 第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线 3. 通过直线通过直线L:A1x+B1y+C1z+D1 = 0 A2x+B2y+C2z+D2 = 0 的平面束方程为的平面束方程为 1(A1x+B1y+C1z+D1)+ 2(A2x+B2y+C2z+D2) = 0n1 n2 P L 2 1 第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线例例7. 已知直线已知直线l: (1) 求过直
17、线求过直线l和点和点P的平面的方程的平面的方程. x y + z + 1 = 0 2x + y z 2 = 0 P(1, 1, 1), Q(1, 0, 1). 和点和点(2) 求过直线求过直线l和点和点Q的平面的方程的平面的方程. P(1, 1, 1) Q(1, 0, 1) ( 1+2 2)x + ( 1+ 2)y + ( 1 2)z + ( 1 2 2) = 0 1 = 0 3 1 2 = 0 第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线例例8. 已知两平面已知两平面 1: 2x y + z + 1 = 0, 问问 1与与
18、2是否相交是否相交; 如果相交如果相交, 求出交线求出交线 l 在在平面平面 : 2x + 3y 6 = 0上的垂直投影直线方程上的垂直投影直线方程. 2: x 3y + 2z + 4 = 0. ll 3注注：联立平面：联立平面 和平面和平面 3 3的方程即可得到投影直的方程即可得到投影直线的一般方程线的一般方程. 3的方程的方程可用平面束的方程来求可用平面束的方程来求. 第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线注注：在确定在确定在确定在确定 3 3的平面束的平面束的平面束的平面束方程中的参数时，可用方程中的参数时，可用方
19、程中的参数时，可用方程中的参数时，可用 3 3的法向量与的法向量与的法向量与的法向量与 的法向量的法向量的法向量的法向量垂直来确定垂直来确定垂直来确定垂直来确定. . 作作 业业习题三（习题三（B） 27(1,3,4,6), 29, 30, 31 33,36,37,39上交时间：上交时间：11月月13日（周二）日（周二）另：另：请课后自学请课后自学Matlab软件。软件。第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线1. 求经过直线求经过直线 l : 且与且与xOy 平平面垂直的平面方程面垂直的平面方程 .x+ 2y-z = 2
20、-x+ y- 2z= 12. 已知直线已知直线l 过点过点P(1, 1, 3), 与平面与平面 : x + y z = 1 平行平行, 且与直线且与直线:相交相交. 求直线求直线l 的方向向量的方向向量, 并写出直线并写出直线l 的的方程方程.x y z-11 2 1=第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线3. 求过点求过点P0( 7,6,5), 垂直于直线垂直于直线L0: 且平行于平面且平行于平面 0: x+y+z+1=0的直线的直线L的方程的方程. 解解:(法一法一)直线直线L0的方向向量的方向向量s0可取为可取为
21、s0 = ( , , ) 2 1 3 3 1 1 3 21 22 3= (9, 5, 1).所求直线所求直线L的方向向量的方向向量s可取为可取为s = ( , , ) 5 11 11 91 19 51 1= (4, 8, 4). 所求直线所求直线L的方程为的方程为 x+71 21y 6z 5=.x 2y + z + 3 = 0 2x 3y 3z 9 = 0 第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线L L0 0 0 03. 求过点求过点P0( 7,6,5), 垂直于直线垂直于直线L0: 且平行于平面且平行于平面 0: x+y
22、+z+1=0的直线的直线L的方程的方程. 解解:(法二法二)直线直线L0的方向向量的方向向量s0可取为可取为 x 2y + z + 3 = 0 2x 3y 3z 9 = 0 = (9, 5, 1).过点过点过点过点( ( 7,6,5)7,6,5)且以且以且以且以s s0 0为法向量的平面为法向量的平面为法向量的平面为法向量的平面 1 1为为为为 9 9( (x x+7)+7)+5 5( (y y 6)+6)+1 1( (z z 5)=0, 5)=0, 即即即即: 9: 9x x+5+5y y+ +z z+28=0.+28=0.过点过点过点过点( ( 7,6,5)7,6,5)平行于平面平行于平面
23、平行于平面平行于平面 0 0的平面的平面的平面的平面 2 2为为为为 ( (x x+7) + (+7) + (y y 6) + (6) + (z z 5) = 0, 5) = 0, 即即即即: : x x+ +y y+ +z z 4=0.4=0.s0 = ( , , ) 2 1 3 3 1 1 3 21 22 3故所求直线故所求直线故所求直线故所求直线L L的方程为的方程为的方程为的方程为9 9x x+5+5y y+ +z z+28=0+28=0x x+ +y y+ +z z 4=04=0第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间第三章几何空间3.4 3.4 平面和直线平面和直线平面和直线平面和直线L L0 0 0 0 1 1 2 2
