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1、一、格林一、格林(Green)(Green)公式公式二、曲线积分与路径无关的条件二、曲线积分与路径无关的条件三、曲线积分基本定理三、曲线积分基本定理四、小结四、小结 第四节第四节 格林公式格林公式区域连通性区域连通性 设设D为平面区域为平面区域, , 如果如果D内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成的部分都属于围成的部分都属于D, , 则称则称D为平面单连通区域为平面单连通区域, , 否则称为复连通区域否则称为复连通区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD一、格林公式一、格林公式定理定理1 1边界曲线边界曲线L L的正向的正向: 当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区区域域D总在
2、他的左側总在他的左側.证明证明(1)(1)yxo abDcdABCE同理可证同理可证yxodDcCE证明证明(2)(2)D两式相加得两式相加得1. 1. 简化曲线积分简化曲线积分简单应用简单应用OABL2. 2. 简化二重积分简化二重积分xyo3. 3. 计算平面面积计算平面面积解解4. 注意格林公式的条件注意格林公式的条件xyoLyxoxyoGyxo二、平面定向曲线积分与路径无关的条件二、平面定向曲线积分与路径无关的条件 1 1、曲线积分与路径无关的定义、曲线积分与路径无关的定义BA如果在区域如果在区域G内有内有2、定理、定理2：四个等价命题：四个等价命题与路径无关的四个等价命题与路径无关的
3、四个等价命题条条件件等等价价命命题题证明证明 (1) (2)设设为为D D内内任意任意两条由两条由A A到到B B的有向分段光滑曲线的有向分段光滑曲线, ,则则( (根据条件根据条件(1)(1)证明证明 (2) (3)在在D D内取定点内取定点因曲线积分因曲线积分则则同理可证同理可证因此有因此有和任一点和任一点B( x, y ),与路径无关与路径无关, ,有有函数函数 证明证明 (3) (4)设存在函数设存在函数 u ( x , y ) 使得使得则P,Q P,Q 在在D D内具有连续的偏导数内具有连续的偏导数, ,从而在从而在D D内每一点都有内每一点都有证明证明 (4) (1)设设L L为为
4、D D中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线, ,( (如图如图) ) ,利用利用格林公式格林公式 , , 得得所围区域为所围区域为证毕证毕说明说明: 根据定理根据定理2 2 , 若在某区域内若在某区域内则则2) 求曲线积分时求曲线积分时, ,可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算, ,3) 可用积分法求可用积分法求d du u = =P Pd dx x + +Q Qd dy y在域在域D D内的原函数内的原函数: :及动点及动点或或则原函数为则原函数为若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线, ,可可添加辅助线添加辅助线;取定点取定点1) 计算曲线积分时计算曲线积分时, ,可选择方便
5、的积分路径可选择方便的积分路径; ;解解例例2: 2: 验证验证是某个函数的全微分是某个函数的全微分, , 并求并求出这个函数出这个函数. . 证证: 设则由定理由定理2 可知可知, 存在函数存在函数 u (x , y) 使使。例例3:3:设质点在力场设质点在力场作用下沿曲线作用下沿曲线L L: :由由移动到移动到求力场所作的功求力场所作的功W W解解:令令则有则有可见可见, ,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. .取圆弧取圆弧总结总结:第二类曲线积分计算第二类曲线积分计算闭合闭合非闭非闭闭合闭合非闭非闭补充曲线再用格林补充曲线再用格林公式公式或化为
6、定积分或化为定积分例例4:4:计算计算其中其中L L 为上半为上半从从O O(0, 0)(0, 0)到到A A(4, 0).(4, 0).解解: :为了使用格林公式为了使用格林公式, ,添加辅助线添加辅助线段段它与它与L L 所围所围原式原式圆周圆周区域为区域为D ,D ,则则例例5:5:质点质点M M 沿着以沿着以ABAB为直径的半圆为直径的半圆, ,从从A A(1,2)(1,2)运动到运动到点点B B(3, (3, 4),4),到原点的距离到原点的距离, ,解解: :由图知由图知 故所求功为故所求功为锐角锐角, ,其方向垂直于其方向垂直于OMOM, , 且与且与y y 轴正向夹角为轴正向夹
7、角为求变力求变力 F F 对质点对质点M M 所作的功所作的功. . (考研 ) F F 的大小的大小等于点等于点M M 在此过程中受力在此过程中受力F F 作用作用, ,解解（1 1）定义）定义: :则则若有若有例如例如全微分方程全微分方程是全微分方程是全微分方程.3 3、二元函数的全微分方程求解、二元函数的全微分方程求解解解是全微分方程是全微分方程,原方程的通解为原方程的通解为例例三、曲线积分基本定理三、曲线积分基本定理定理定理3 3四、小结四、小结1.1.二重积分与曲线积分的关系二重积分与曲线积分的关系2. 2. 格林公式的应用格林公式的应用. .3.3.曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件 -四个等价命题四个等价命题4.4.曲线积分基本定理曲线积分基本定理格林公式格林公式; ; 若区域若区域 如图为如图为复连通域，试描述格复连通域，试描述格林公式中曲线积分中林公式中曲线积分中L的方向。的方向。思考题思考题思考题解答思考题解答由两部分组成由两部分组成外外边界：边界：内内边界：边界：
