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1、常微分方程与运动稳定性常微分方程与运动稳定性_第一篇第一篇常微分方程与运动稳定性 既是一门重要的基础理论课程，又有广泛的工程应用背景，在机械，电力能源，电讯，化工，航空航天，生物，经济和社会等领域发挥着越来越大的作用。掌握本课程的基本解法和基本定理，是学习后续课程(非线性振动、分岔混沌理论、控制)所必需的，同时也为今后的科学研究工作打下良好的基础。 绪 论第一章第一章 基本概念基本概念第一节第一节 微分方程及其解的定义微分方程及其解的定义第二节第二节 存在和唯一性定理存在和唯一性定理第三节微分方程及其解的几何解释第三节微分方程及其解的几何解释第一节 微分方程及其解的定义定义定义 1 由单个自变
2、量x，这个自变量的未知函数 y=y(x)，及其直到n阶导数组成的函数方程(1.1)叫作 n 阶常微分方程。(1.2)(1.3)(1.4)(1.5)如果函数F对未知函数 y和它的各阶导数y, , y(n) 的全体均是一次的，则是线性常微分方程，否则为非线性常微分方程。(1.2)和(1.5)是线性的；(1.3)和(1.4)是非线性的。分别都是微分方程(1.2)在区间(-,0)或(0, +)上的一个解 (C是任意的常数).对一切xJ都成立，则 y=j j (x) 是微分方程(1(1.1)1)在定义区间J上的一个解。定定义义2 设函数 y=j j (x) 在区间J上连续，且有直到n阶的连续导数，且.可
3、以验证不 是 (1.2)的解(1.1)(1.2)分别都是在区间(-, +)上的一个解.也是在区间(-, +)上的一个解(C1和C1是任意常数)。对于微分方程(1.5)：(1.2)解:定定义义3 设n阶微分方程(1.1)的解 y=j (x,C1, C2, Cn)包含n个独立的任意常数C1, C2, Cn,则称为通解通解； y=j (x) （不包含任意常数）称为特解。 n 个任意常数C1, C2, Cn是独立的含义：j j , j j, ，j j (n- -1 1)关于C1, C2, Cn的Jacobi行列式是方程(1.5)的通解通解；是(1.5)的特解特解。例如：自由落体运动方程初值问题mgBy
4、 =y(t)y地面上式两侧对t积分两次，得到C1, C2 任意常数。若给定初值条件：可确定：结论：自由落体运动在给定初值条件下，惟一地确定一个解(1.6)一般情况下 n 阶微分方程的初值形式如下，第二节第二节 存在和唯一性定理存在和唯一性定理Lipschiz 条件：毕卡定理：一般情况下 n 阶微分方程的初值形式如下，(1.6)毕卡定理考虑一阶微分方程(1.7)其中f(x, y)是平面区域G内给定的连续函数( fG C )。其解为：第三节 微分方程及其解的几何解释(1.8)I 是解的存在区间；(1.8) 代表平面(x, y)上的一条光滑曲线，即积分曲线。所以微分方程及其解的几何解释为：给定微分方
5、程就是给定平面区域G上的一个方向场。(1.7)fG C图（1.1）xy例例1 作出微分方程作出微分方程的方向场。的方向场。解：解：方向场如图（方向场如图（1.1）。直线）。直线 y=kx 就是微分方程的积就是微分方程的积分曲线，其中分曲线，其中 k 是任意常数。是任意常数。这种用隐函数方式给出的通解，叫作方程的这种用隐函数方式给出的通解，叫作方程的通积分。通积分。定义：若由隐函数定义：若由隐函数(x, y) =0 确定的函数：确定的函数：= (x) 是是(1.1) 的解，的解， 则则 (x, y) =0 为为(1.1)的的通积分。通积分。- C是任意常数。(1.9)第二章第二章 初等积分法初等
6、积分法第一节第一节 全微分方程（恰当方程）全微分方程（恰当方程）第二节第二节 变量分离的方程变量分离的方程第三节第三节 一阶线性方程一阶线性方程第四节第四节 积分因子法积分因子法第一节 全微分方程（恰当方程）全微分方程（恰当方程）(2.1)(2.2)则(2.1)为全微分方程全微分方程。就是方程就是方程(2.1)的一个的一个通积分通积分。(2.3)例 求解微分方程解：(2.4)是全微分方程的充要条件:(2.5)在R内成立。而且，当(2.5)成立时，方程(2.4)的通积分为(2.6)或者(2.7)x0 , y0 x , y x , y0 (2.6) x0 , y(2.7) 则对x积分第一式:再将它
7、代入上面第二式，即得由此得出：为方程为方程(2.8)的通积分，其中的通积分，其中C为任意常数。为任意常数。(2.9)解：解：例2. 求解微分方程(2.8)第二节 变量分离的方程微分方程微分方程(2.10)为变量分离的方程为变量分离的方程(2.10)若函数若函数P(x,y)和和Q(x,y)均可表示为均可表示为x的函数的函数与与 y的函数的函数的乘积。的乘积。令令：(2.10) =(2.11)例：例：它的通积分为：它的通积分为：(2.12)(2.10) =因此它的通积分为：(2.13)问题问题: : (2.13) 与与 (2.11) 是否同是否同解解?(2.11)积分得：积分得：例. 求解微分方程
8、：(*)并作出积分曲线族的草图。(*) =利用方向场并参照通积分表达式，作出积分曲线族:xyABO图(2.1)第三节 一阶线性方程一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程(2.14)当当 q(x)=0 时时, (2.14)的的齐次方程齐次方程(2.15)先讨论先讨论(2.15)的求解的求解:通解为通解为:其中 p(x)，q(x) C , 当 x I = ( a, b ).(2.15) 讨论讨论(2.14)的求解的求解,将其改写为：将其改写为：(2.16)- 恰当方程. 其通积分为： 积分因子法 (2.16)的解：其中C是一个任意常数。(2.17)cccc例例. 求解微分方程求解微分方程解：解： 计
9、算积分因子计算积分因子乘以原式两端得乘以原式两端得积分得通解：积分得通解：其中其中C为任意常数为任意常数。或初值问题初值问题的解为(2.18) 通常把通解(2.17)中的不定积分写成变上限的定积分，即1. (2.15)的解恒等于零或恒不等于零。的解恒等于零或恒不等于零。2. 线性方程的解是整体存在的，即线性方程的解是整体存在的，即(2.14)或或(2.15)的任一解都在的任一解都在 I 上存在。上存在。3. (2.15)任意解的线性组合仍为其解，任意解的线性组合仍为其解，(2.14)和和(2.15)的任意解之和仍为的任意解之和仍为(2.14)的解，的解，(2.14)的任意的任意两解之差是两解之
10、差是(2.15)的解。的解。4. (2.14)任一解加上任一解加上(2.15)的通解为的通解为(2.14)的通解。的通解。5. 线性方程的初值问题线性方程的初值问题(2.18)的解存在且唯一。的解存在且唯一。线性微分方程的一些性质：(2.14)(2.15)由由(2.20)得得第四节 积分因子法考虑方程考虑方程(2.19)(2.20)积分记记得积分因子为：得积分因子为：积分因子积分因子例例. 求解微分方程求解微分方程解：解：乘以积分因子得：乘以积分因子得：所以通积分为：所以通积分为：C C为常数为常数第五节 近似解法l 逐次迭代法 Picard迭代序列lTaylor 级数 lEuler折线法 微
11、分中值定理第三章第三章 线性微分方程组线性微分方程组第一节第一节 一般理论一般理论第二节第二节 常系数线性微分方程组常系数线性微分方程组第三节第三节 高阶线性微分方程高阶线性微分方程 记记：考虑考虑 n 阶线性微分方程阶线性微分方程第一节 一般理论非齐次线性方程组(3.1)(3.1)的相应的齐次线性方程组为：的相应的齐次线性方程组为：(3.2)存在和唯一性定理存在和唯一性定理 线性微分方程组线性微分方程组(3.1)在区间上有并且只有一个满在区间上有并且只有一个满足初值条件足初值条件(3.3)1.1 1.1 齐次线性微分方程齐次线性微分方程(3.4) 定理 1 齐次线性微分方程组 (3.2) 在
12、 axb 上有 n 个线性无关的基本解组 (3.5)它的通解为：(3.6)线性无关 即存在线性映射即存在线性映射 H: Rn 假设已知假设已知(3.7)是微分方程是微分方程(3.2)的的 n 个解组。它的分量形式为：个解组。它的分量形式为：称行列式称行列式为解组为解组(3.7)的朗斯基的朗斯基(Wronsky)行列式。行列式。引理引理3 解组的朗斯基行列式满足下面的刘维尔公式解组的朗斯基行列式满足下面的刘维尔公式(3.8)证明：证明： 利用行列式的基本性质可得利用行列式的基本性质可得 定理定理 2 2 线性微分方程组线性微分方程组(3.2)的解组的解组(3.7)是线性无是线性无关的充要条件为关
13、的充要条件为(3.9)(3.10)线性无关。从引理从引理2的证明中可见，的证明中可见，推论推论 1 1 解组解组(3.7)式线性相关的充要条件式线性相关的充要条件为为例例1 验证微分方程组验证微分方程组的通解为：的通解为：(3.11)(3.12)(3.13)解解 不难验证不难验证所以(3.13)是一个基本解组 (3.12)是通解。由解组由解组(3.7)构成的方程构成的方程(3.2)的解矩阵的解矩阵亦即方程亦即方程(3.2)的解矩阵的解矩阵 Y(x) 是方程是方程(3.2)的矩阵解，反之亦然的矩阵解，反之亦然。其中 C 是 n 维的任意常数列向量。(3.14)(3.15)也是(3.2)的一个基解
14、矩阵；1.2 非齐次线性微分方程组考虑非齐次线性微分方程组考虑非齐次线性微分方程组(3.1)的通解的结构。的通解的结构。得证利用利用常数变易法常数变易法可以求得可以求得(3.1)的一个特解的一个特解(已知已知(3.2)的的一个基解矩阵一个基解矩阵)。假设假设(3.1)有如下形式的特解：有如下形式的特解：(3.16)(3.17)(3.18)(3.17)把上式代回(3.16)式，得到非齐次线性微分方程的一个特解：(3.19)(3.20)(3.21)解：解： 由例由例1知道，相应的齐次方程组的一个基解矩阵为：知道，相应的齐次方程组的一个基解矩阵为：例2.求解初值问题(3.21)例例3. 求方程求方程
15、( (3.22)的基解阵和通解的基解阵和通解(3.22)解：解： 原方程原方程 (*)式的通解为第二节 常系数线性微分方程组常系数线性微分方程组中常系数线性微分方程组中的系数矩阵的系数矩阵 A 为为 n 阶常数矩阵，而阶常数矩阵，而 f(x) 是在是在 axb 连连续的向量函数。续的向量函数。(3.23)(3.23)对应的齐次线性方程组对应的齐次线性方程组(3.24)如何求如何求(3.24)的的一个基解矩阵？一个基解矩阵？当当 n=1 时，时， A=a 为一个实数，为一个实数，(3.24)为为它的通解为：其中C为任意常数。2.1 矩阵指数函数的定义和性质定义定义 矩阵矩阵A的指数函数为的指数函
16、数为矩阵指数函数的性质：矩阵指数函数的性质：2.2 常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵证明：证明： 矩阵指数函数为矩阵指数函数为逐项求导推论： 常系数非齐次线性微分方程组(3.23)的通解为： (3.25)(3.26) 例 假设为一个对角矩阵. 推出：例例 解：解： 将矩阵将矩阵A分解为分解为A=E+Z(3.27)由性质由性质 1 可知可知(3.29)由幂零矩阵的性质由幂零矩阵的性质(3.29)和(3.28)代入(3.27)得：(3.28)单位矩阵的性质单位矩阵的性质任意矩阵Jordan标准型JE+Z e xJ- 初等函数有限和 2.3 利用Jordan型求基解矩阵Jordan标准型标准型假设
17、Jordan块(3.30)(3.31)(3.32)另一方面(3.33) 由P可逆，所以由上式得 (3.34)亦即缺点缺点: 求求Jordan标准标准型型 J 和变换阵成过急和变换阵成过急P 的计算量太大的计算量太大2.4 特征根法(3.24)设齐次线性方程组设齐次线性方程组有解有解 ( r, 待定待定 )r 0利用式利用式(3.34), 应用待定系数法，可直接求得应用待定系数法，可直接求得(3.24)的相应基解的相应基解矩阵，按矩阵矩阵，按矩阵 A 的的Jordan 型特征根的重数分为两种情况：型特征根的重数分为两种情况：(一一) A 只有单的特征根只有单的特征根 (3.35) 证明：证明：
18、将将y代入代入(3.24)即可即可则 y1的共轭复值解复值解:-实值解实值解有一对复特征根的情况。复值解:-例例3 求微分方程组的通解。求微分方程组的通解。解： 求特征值所以方程的通解为：例例 求解微分方程组求解微分方程组解：解： 易知易知解矩阵可取为：解矩阵可取为：特征值特征向量求实基解矩阵求实基解矩阵(3.35)：通解为另一种做法：从复值解提取所需的实值解；另一种做法：从复值解提取所需的实值解；它的实部和虚部为：它的实部和虚部为：是两个线性无关解，由此同样可得通解。注意是两个线性无关解，由此同样可得通解。注意, y1 的共轭为的共轭为 的第一列为：的第一列为：(一一) A 只有单的特征根只
19、有单的特征根(3.24)齐次线性方程组齐次线性方程组(3.36)(3.37)的一个非零解，而(3.38)(二二) A有重特征根有重特征根比较比较 x 的同次幂的系数可得的同次幂的系数可得：证明：证明： 把把(3.36)代入代入(3.24)得：得：1. r0 是是(3.37)的非零解（的非零解（ 否则否则 (3.36) 是是 (3.24)的零解）的零解）2. r0 ， ， rni-1 中，只有前中，只有前m个为非零向量，其后全为零向量。个为非零向量，其后全为零向量。(3.36)(3.39)(3.40)其中- 与 i 相应的第 j 个向量多项式（i=1,2,s; j = 1,2,ni ）证明：(3
20、.37)例 求解方程组解：； 把它们分别代入(3.38)，并注意 ，就可得到：把以上结果代入(3.39)式，可得到一个基解矩阵通解为：例 求解方程组解： 通解为：- C为三维的任意常数列向量。可直接验证下式不等于零：例例 求解方程组求解方程组解：解： 由第三个方程由第三个方程把把 y3 代入到第二个方程，得到：代入到第二个方程，得到：将将 y2代入第一个方程，得到：代入第一个方程，得到：方程组的通解方程组的通解：第三节 高阶线性微分方程 (3.41)仅含一个未知函数仅含一个未知函数y=y(x)的的n阶线性微分方程：阶线性微分方程： (3.42) (3.43)引入引入(3.44)则方程则方程(3
21、.41)等价于一阶线性微分方程组等价于一阶线性微分方程组(3.44)* 微分方程微分方程(3.41)满足初值条件满足初值条件 (3.45)(3.42)齐次方程齐次方程(3.47)Wronsky 行列式(3.48)3.1 高阶线性微分方程的一般理论 (3.42)(3.49)对于(3.42) (3.42)(3.50)(3.51)积分可得出(3.51)证明：证明：即得结论(3.52)(3.53)其中其中(3.54)例 若已知二阶线性微分方程 解 直接由公式(3.52)和(3.53)得通解为：(3.55)也可以用常数变易法推导(3.55)式。与(3.54)相对应的齐次方程的通解为：(3.56)假设(3
22、.54)也有如上形式的解：求导得：(3.57)在上式中令：(3.58)则有(3.59)再次求导后，由(3.54)可以推出：联立式(3.57)和(3.58)，可以解出积分上式，再代回到(3.56)式中，整理后就得到(3.55)式。求导得：3.2 常系数高阶线性微分方程(3.50)(3.51)N 阶线性常系数微分方程相应的齐次线性方程(3.52)(3.53)化成方程组：(3.54-55)A的特征方程特征方程：(3.56)是微分方程(3.51)的一个基本解组。(3.57)(3.58)-实值解实值解注：有一对复特征根的情况注：有一对复特征根的情况: 由实部和虚部提取实值解由实部和虚部提取实值解例例 求
23、解微分方程求解微分方程解： 特征方程为特征根为0，-1 和 2基本解组为：通解为例 求解微分方程解： 特征方程取复值解原方程通解：(3.59)例 求解微分方程解： 相应齐次线性微分方程的特征方程为由此可得齐次方程的一个基本解组：利用常数变易法求得原方程的通解为：利用待定系数法待定系数法来确定方程的特解例如，假设方程(3.50)中的非齐次项例 求解微分方程解： 特征方程为：由此推知：原方程的通解为：例求解微分方程例求解线性微分方程组解：从第一个方程可得求出它的一个基本解组为得到原来微分方程组的通解为：代入第二个方程（*）第三节 一阶线性方程一阶线性非齐次方程(2.14)当 q(x)=0 时, (2.14)的齐次方程(2.15)先讨论(2.15)的求解:通解为:其中 p(x)，q(x) C , 当 x I = ( a, b ).(2.15) 结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！90
