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1、第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 2-1 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型1. 对控制系统的要求对控制系统的要求 对控制系统的要求最基本的是对系统的输出对控制系统的要求最基本的是对系统的输出c(t)在时间域中在时间域中的变化情况而提出的变化情况而提出. 最简单的理想情况如下图所示最简单的理想情况如下图所示, 既当系统被既当系统被输入一个输入一个信号后信号后, 系统输出系统输出立即以立即以一定的比例关系变化一定的比例关系变化. 但由于实际系统具但由于实际系统具有有质量质量, 惯性或延迟性及其它原因惯性或延迟性及其它原因, 系统的系统的实际输出往往为如下三种图形中的一
2、种实际输出往往为如下三种图形中的一种:前一屏的前一屏的(a)(b)(c)(a)(b)(c)三图中三图中, , 为在为在输入信号下的理想输输入信号下的理想输出出,为实际输出为实际输出. (a)(a)图的图的实际输出是衰减振荡的实际输出是衰减振荡的,(b)(b)图的图的实际输出是等幅振荡的实际输出是等幅振荡的,(c)(c)图的图的实际输出是发散振荡的实际输出是发散振荡的.由上面分析可知由上面分析可知, 对控制系统的性能要求一般可归结为对控制系统的性能要求一般可归结为:(1)稳定稳定, 并有一定的裕量并有一定的裕量;(2)符合要求的瞬态响应符合要求的瞬态响应, 即系统的瞬态质量即系统的瞬态质量, 也
3、叫系统的过渡也叫系统的过渡 过程性能过程性能;(3) 符合要求的控制精度符合要求的控制精度, 即对系统的稳态误差的要求即对系统的稳态误差的要求. 因此在工程上无非是对已有的控制系统分析它的稳定性因此在工程上无非是对已有的控制系统分析它的稳定性,瞬态性能和稳态误差瞬态性能和稳态误差, 或根据用户提出的稳定性或根据用户提出的稳定性, 瞬态性能和瞬态性能和稳态误差的定量指标设计一个满足要求的控制系统稳态误差的定量指标设计一个满足要求的控制系统, 如下图所如下图所示示:控控制制系系统统稳定性稳定性瞬态性能瞬态性能稳态误差稳态误差分析分析设计设计(综合综合)对于对于分析或设计一个控制系统分析或设计一个控
4、制系统, 不能只满足于定性的分析或不能只满足于定性的分析或设计设计, 而往往要求进行定量的分析或设计而往往要求进行定量的分析或设计, 为此第一步的为此第一步的工工作就需求出系统中各个环节的数学模型作就需求出系统中各个环节的数学模型, 进而获得系统的数进而获得系统的数学模型学模型.2. 系统的数学模型系统的数学模型 控制系统的数学模型控制系统的数学模型, 是描述系统内部各物理量是描述系统内部各物理量(或变或变量量)之间关系的数学表达式之间关系的数学表达式, 时域中数学模型的基本形式是时域中数学模型的基本形式是微微分方程分方程,而对于线性定常连续系统其最基本的时域数学模型而对于线性定常连续系统其最
5、基本的时域数学模型为为常系数线性微分方程常系数线性微分方程,其一般形式可表为其一般形式可表为:下面通过一个具体的例子来说明建立数学模型的一般原则和下面通过一个具体的例子来说明建立数学模型的一般原则和方法及步骤方法及步骤.例例1. 直流电动机的直流电动机的数学模型数学模型 直流电动机是在控制系统中常用的一种装置直流电动机是在控制系统中常用的一种装置, 其示其示意意图如下所示图如下所示:直流电动机直流电动机(1)确定直流电动机的输入量和输出量确定直流电动机的输入量和输出量 上图表明上图表明, 直流电动机的激磁电流直流电动机的激磁电流, 从而从而磁场恒定不变磁场恒定不变. 电机的转速与电枢电压电机的
6、转速与电枢电压大小有关大小有关,与负载力矩与负载力矩的大小有关的大小有关. 因此输入量有两个因此输入量有两个,一个一个是电枢电压是电枢电压, 另一个是负载力矩另一个是负载力矩输出量一个输出量一个, 即转即转速速或角位移或角位移(2) 列写原始方程式列写原始方程式(3) 将电动机分解成二个更简单的部分将电动机分解成二个更简单的部分, 一个是电枢回一个是电枢回路部路部(4)分分, 另一个是机械转动部分另一个是机械转动部分. 由基尔霍夫定律由基尔霍夫定律, 电枢电枢回路部回路部(5)分原始方程为分原始方程为:式式(1)中中,是当电枢旋转时产生的一个与是当电枢旋转时产生的一个与方向相反的方向相反的感应
7、电势感应电势. 根据力矩平衡原理根据力矩平衡原理, 机械转动部分的运动方程为机械转动部分的运动方程为式式(2)中中,是电枢电流产生的电磁转矩是电枢电流产生的电磁转矩,是电动机转动部分和负载折合到电动机轴上的转是电动机转动部分和负载折合到电动机轴上的转动惯量动惯量.是电动机转动部分和负载折合到电动机轴上的粘是电动机转动部分和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数性摩擦系数.(3) 消去中间变量消去中间变量 从式从式(1)和式和式(2)中可中可见见,是中间变量是中间变量, 要要消去它们消去它们, 就要找出中间变量与其它因素间的关系就要找出中间变量与其它因素间的关系. 感应感应电势电势正比于正比于转速转
8、速和激磁电流和激磁电流产生的磁通量产生的磁通量由于激磁电流是恒定的由于激磁电流是恒定的, 所以磁通量也恒定所以磁通量也恒定, 感应电势仅取感应电势仅取决于决于转速转速, 并可表示为并可表示为:式式(3)中中,为反电势系数为反电势系数.电动机产生的电磁转矩电动机产生的电磁转矩是激磁磁通和电枢电流是激磁磁通和电枢电流的正比函数的正比函数, 由于激磁磁通恒定由于激磁磁通恒定, 故故可表为可表为:式式(4)中中,为电动机转矩系数为电动机转矩系数.将式将式(1),(2),(3),(4)联立联立得得:消去中间变量消去中间变量得电动机输入输出方程为得电动机输入输出方程为:如果电动机的输出轴配有滚珠轴承并涂高
9、效润滑油如果电动机的输出轴配有滚珠轴承并涂高效润滑油, 则粘则粘性摩擦系数性摩擦系数可忽略不计可忽略不计, 如果电动机输出轴不带负载如果电动机输出轴不带负载, 即即则式则式(5)可简化为可简化为:若令若令:为机电时间常数为机电时间常数,为电枢回路时间常数为电枢回路时间常数则则式式(6)可写为可写为:有式有式(7)可知可知, 当当电动机的转速稳定后电动机的转速稳定后,不再变化不再变化, 则则, 从而从而,式式(8)中中是电动机的传递系数是电动机的传递系数. 由于电动机中的电枢回路有一个储能由于电动机中的电枢回路有一个储能元件元件,并且转动部分有惯性并且转动部分有惯性, 故描写电动机的微分方程故描
10、写电动机的微分方程式式(7)的左端必为二阶微分的左端必为二阶微分, 且有二个时间常数且有二个时间常数. 如果电动机电枢回路中的电感很小如果电动机电枢回路中的电感很小, 即电枢回路时间常数即电枢回路时间常数很小可忽略不计很小可忽略不计,则式则式(7)可简化为可简化为:二阶微分方程简化为一阶微分方程二阶微分方程简化为一阶微分方程, 给数学处理带来很大给数学处理带来很大的方便的方便, 近一步近一步, 如电动机为小型电动机如电动机为小型电动机, 其转动部分的其转动部分的转动惯量转动惯量很小很小, 从而机电时间常数从而机电时间常数很小可忽略不计很小可忽略不计,则则式式(9)可近一步简化为可近一步简化为即
11、式即式(8), 成为代数方程成为代数方程例例2. 电动机转速控制系统的电动机转速控制系统的数学模型数学模型测速发电机测速发电机直流电动机直流电动机激磁回路激磁回路激磁电流激磁电流电枢电压电枢电压运算器运算器(1)确定各环节的输入输出方程确定各环节的输入输出方程运算器运算器: 如采用的运算器仅起比例放大作用如采用的运算器仅起比例放大作用, 放大倍数为放大倍数为, 则则测速发电机测速发电机: 如采用的是小型测速发电机如采用的是小型测速发电机, 则其则其输入输出输入输出方程为方程为:式式(11)中中为测速发电机的传递系数为测速发电机的传递系数,电动机的微分方程电动机的微分方程为为式式(7).(2)
12、消去中间变量消去中间变量联立式联立式(7),式式(10),式式(11), 消去中间变量消去中间变量则系统则系统的微分方程的微分方程为为:式式(12)中中为系统中为系统中各环节各环节传递系数传递系数的乘积的乘积, 称称为为系统的开系统的开环环放大倍数放大倍数.2-2 控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型 由由2-1节的叙述可知节的叙述可知, 对于线性定常连续系统来说对于线性定常连续系统来说,描描述其性能的基本数学模型是常系数线性微分方程述其性能的基本数学模型是常系数线性微分方程, 其一其一般形式为般形式为:但从分析系统性能的方便与否这一角度衡量但从分析系统性能的方便与否这一角度衡量,
13、 微分方程虽微分方程虽是基本的数学模型是基本的数学模型, 却并不是一个使用起来最方便的数学却并不是一个使用起来最方便的数学模型模型. 因为从微分方程出发分析系统的性能因为从微分方程出发分析系统的性能, 就必须求出就必须求出微分方程的解微分方程的解, 而对于阶数大于而对于阶数大于2的微分方程来说的微分方程来说, 求求解并非易事解并非易事. 其次其次, 当系统参数变化后对系统性能的影响当系统参数变化后对系统性能的影响也很难从微分方程本身及其解中很容易地看出来也很难从微分方程本身及其解中很容易地看出来, 这就对这就对分析系统尤其是综合系统带来很大的困难分析系统尤其是综合系统带来很大的困难. 对于解高
14、阶微分方程的困难对于解高阶微分方程的困难, 可用拉氏变换可用拉氏变换, 将微积将微积分运算转换为代数运算分运算转换为代数运算, 求出微分方程的解求出微分方程的解. 从而人们设想从而人们设想, 能否利用能否利用拉氏变换这一工具拉氏变换这一工具, 不解不解微分方程微分方程, 就能知道系统的性能就能知道系统的性能, 甚至当系统参数变化甚至当系统参数变化后后, 也能方便地看出它对系统性能的影响呢也能方便地看出它对系统性能的影响呢? 这就引出这就引出了传递函数概念了传递函数概念. 传递函数在古典自控理论中是一个很传递函数在古典自控理论中是一个很重要的函数重要的函数, 古典自控理论的两大分支古典自控理论的
15、两大分支, 根轨迹法和频根轨迹法和频率法率法, 就是在传递函数的基础上建立起来的就是在传递函数的基础上建立起来的. 1. 传递函数的定义和性质传递函数的定义和性质例例: 一一RC电路如下图所示电路如下图所示, 设在开关设在开关K闭合的瞬间时刻闭合的瞬间时刻作为计时起点作为计时起点, 即即t=0, 且此且此时电容两端的电压为时电容两端的电压为开关开关K闭合后不再打开闭合后不再打开, 则则在在RC电路输入端加了一恒定的电压电路输入端加了一恒定的电压, 其幅值为其幅值为RC电路的电路的微分方程为微分方程为:令令为为RC电路的电路的时间常数时间常数, 则式则式(13)为为:对式对式(14)两边进行拉氏
16、变换两边进行拉氏变换, 得得:式式(15)中中, 而而因为因为是幅值为是幅值为的阶跃电压的阶跃电压, 故故代入式代入式(16), 得得:对式对式(17)两边进行拉氏反变换两边进行拉氏反变换, 得得:上式中等式右边第一项是在电容两端的初始电压上式中等式右边第一项是在电容两端的初始电压由输入电压由输入电压激励下的输出分量激励下的输出分量, 也叫零初始条件响应也叫零初始条件响应, 第二项是由初始条件第二项是由初始条件激励下的输出分量激励下的输出分量, 也叫零输入也叫零输入响应响应. 如令如令, 即初始条件为零即初始条件为零, 则式则式(16)为为把把叫所举例中叫所举例中RC电路的电路的传递函数传递函
17、数, 从而从而RC电路可电路可用下面方块图表示用下面方块图表示:由上例由上例, 可得系统可得系统(或环节或环节)的传递函数的如下定义的传递函数的如下定义: 设单输入设单输入-单输出线性定常连续系统的微分方程为单输出线性定常连续系统的微分方程为:当初始条件为零时当初始条件为零时, 系统输出量的拉氏变换表达式与系统系统输出量的拉氏变换表达式与系统输入量的拉氏变换表达式之比输入量的拉氏变换表达式之比, 称为该系统的传递函数称为该系统的传递函数,其一般表达式为其一般表达式为:下面给出传递函数的若干性质下面给出传递函数的若干性质: 1) 传递函数是两个复变量传递函数是两个复变量s的有理多项式之比的有理多
18、项式之比, 且且m=n 即传递函数是复变量即传递函数是复变量s的有理真分式函数的有理真分式函数, 具有复变函具有复变函 数的所有性质数的所有性质. 两个多项式中的所有系数均为实数两个多项式中的所有系数均为实数.2) 传递函数只取决于系统或环节本身的结构和参数传递函数只取决于系统或环节本身的结构和参数, 而与而与3) 系统或环节的输入信号的形式和大小无关系统或环节的输入信号的形式和大小无关.3) 传递函数的分母传递函数的分母称为称为系统的特征多项式系统的特征多项式,如令分母如令分母则叫系统的特征方程则叫系统的特征方程, 特征方程的根叫系统的极点特征方程的根叫系统的极点, 也也叫传递函数的极点叫传
19、递函数的极点, n叫系统的阶数叫系统的阶数, 如令传递函数的分子如令传递函数的分子求得的根叫系统的零点求得的根叫系统的零点, 也叫传递函数的零点也叫传递函数的零点. 从而从而上式中传递函数的零点为上式中传递函数的零点为,传递函数的极点为传递函数的极点为,而而称为传递函数的根轨迹增益称为传递函数的根轨迹增益. 当当s=0时时,称为传递函数的传递系数称为传递函数的传递系数.系统的传递函数的零点和极点以及传递系数对输出的影响系统的传递函数的零点和极点以及传递系数对输出的影响请参见教材有关内容请参见教材有关内容.4)传递函数本身的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应传递函数本身的拉氏反变换是系统的单位脉冲响
20、应 (或叫单位脉冲过渡函数或叫单位脉冲过渡函数)g(t), 因为因为,关于传递函数定义中的零初始条件作些说明关于传递函数定义中的零初始条件作些说明. 将输入信将输入信号号作用于系统的瞬间时刻作用于系统的瞬间时刻t作为时间的起点作为时间的起点, 即即t=0, 则不管则不管输输入信号在入信号在t0期间是否客观存在期间是否客观存在, 对于系统来说对于系统来说, 输入信输入信号号及其各阶导数均为零及其各阶导数均为零, 可用数学语言表述为可用数学语言表述为:而对于系统本身来来讲而对于系统本身来来讲, 在在t0期间系统处于稳定的工作状期间系统处于稳定的工作状态态, 且其稳定的工作状态为零状态且其稳定的工作
21、状态为零状态, 即即:在上述意义下在上述意义下, 认为系统满足零初始条件认为系统满足零初始条件. 2. 典型环节的传递函数典型环节的传递函数 一个自动控制系统一个自动控制系统, 不管其多么复杂不管其多么复杂, 总是由若干总是由若干个个元件按不同的方式根据一定的目的组合而成元件按不同的方式根据一定的目的组合而成. 从结构和作从结构和作用原理角度来看元件用原理角度来看元件, 可以有各种各样不同的元件可以有各种各样不同的元件, 如如机机械式械式, 电气式电气式, 液压式液压式, 气动式等等气动式等等. 但从描述各种元但从描述各种元件件的行为特征的数学模型来看元件的行为特征的数学模型来看元件, 不管元
22、件的结构和作用不管元件的结构和作用原理如何千差万别原理如何千差万别, 其数学模型却有可能完全一样其数学模型却有可能完全一样. 因因此此从元件的数学模型来划分元件的种类从元件的数学模型来划分元件的种类, 只有几种最基本的只有几种最基本的元件或称为典型环节元件或称为典型环节. 复杂一些的元件复杂一些的元件, 其数学模型可其数学模型可以以是几个典型环节的数学模型组合是几个典型环节的数学模型组合. 而一个复杂的系统的数而一个复杂的系统的数学模型也无非是一些典型环节的数学模型组合而成学模型也无非是一些典型环节的数学模型组合而成. 因此因此从分析和综合系统的角度来看从分析和综合系统的角度来看, 按数学模型
23、来划分环节按数学模型来划分环节,更能抓住事物的本质更能抓住事物的本质. 在介绍典型环节的传递函数前在介绍典型环节的传递函数前, 先补充算子阻抗法先补充算子阻抗法.补充算子阻抗法的目的是为了便于推导所举典型环节的物补充算子阻抗法的目的是为了便于推导所举典型环节的物理原型的传递函数理原型的传递函数. 设电阻设电阻R的输入信号是流过电阻的电流的输入信号是流过电阻的电流, 输出信号是输出信号是电阻两端的电压电阻两端的电压, 如下图所示如下图所示:则则对其两边进行拉氏变换对其两边进行拉氏变换, 得得:从而从而, 称称R为电阻的为电阻的算子阻抗算子阻抗. 设电容设电容C的输入信号是流过电容的电流的输入信号
24、是流过电容的电流, 输出信号是输出信号是电容两端的电压电容两端的电压, 如下图所示如下图所示, 则则设初始条件为零设初始条件为零,对上式两边进行拉氏变对上式两边进行拉氏变换换,得得:称称为电容的算子阻抗为电容的算子阻抗.设电感设电感L的输入信号是流过电感的电流的输入信号是流过电感的电流, 输出信号是输出信号是电感两端的电压电感两端的电压, 如下图所示如下图所示, 则则设初始条件为零设初始条件为零,对上式两边进行对上式两边进行拉氏变换拉氏变换,得得:称称Ls为电感的算子阻抗为电感的算子阻抗. 由式由式(21),(22),(23)可见可见都具有电阻的性质都具有电阻的性质, 从而电路中电容和电感串联
25、或并联连从而电路中电容和电感串联或并联连接时接时, 就与电阻的串联或并联的运算方法一样就与电阻的串联或并联的运算方法一样.1) 比例环节比例环节当右下图中的运放为理想运放当右下图中的运放为理想运放时时当输入电压当输入电压时时, 比例环节输入和输出的波形比例环节输入和输出的波形如如右图所示右图所示:一般情况下一般情况下, 比例环节比例环节的传递函数为的传递函数为:式式(24)中中K可大于零也可小于零可大于零也可小于零.2) 惯性环节惯性环节(非周期环节非周期环节)右图所示电路即为惯性环节右图所示电路即为惯性环节一般情况下一般情况下,惯性环节的传递函数为惯性环节的传递函数为:当输入信号当输入信号时
26、时, 惯性环节输出的时间表达式为惯性环节输出的时间表达式为其图形如下图所示其图形如下图所示, 惯性环节传递系数惯性环节传递系数K的物理含意是输出的物理含意是输出稳态值与输入稳态之比稳态值与输入稳态之比, 此结论具有普此结论具有普遍性遍性. 惯性环节单位阶跃响应的变化速惯性环节单位阶跃响应的变化速度为度为:上式表明上式表明, 在在t=0时刻时刻, 惯性环节单位阶跃响应的变化速度惯性环节单位阶跃响应的变化速度, 如输出保持如输出保持t=0时刻的速度不变时刻的速度不变, 则达到其稳则达到其稳态值态值K所需的时间即为惯性环节的时间常数所需的时间即为惯性环节的时间常数T, 如下图所示如下图所示惯性环节的
27、时间常数惯性环节的时间常数T, 也可由另一方法也可由另一方法求出求出, 令令t= T, 即惯性环节单位阶跃响即惯性环节单位阶跃响应曲线在时刻应曲线在时刻T的值为的值为:如上图所示如上图所示.3) 积分积分 环节环节 (a)理想积分理想积分 环节环节 其物理模型如下图所示其物理模型如下图所示:所谓理想积分所谓理想积分 环节环节, 是指不仅运放是理想的是指不仅运放是理想的, 而且电路中而且电路中积分电容的漏电流为零积分电容的漏电流为零, 即电容的漏阻无穷大即电容的漏阻无穷大, 则理想则理想积积分环节的传递函数为分环节的传递函数为:上式中上式中T=RC为积分时间常数为积分时间常数. 当当时时, 输出
28、为输出为:输出曲线如下图所示输出曲线如下图所示, 图中图中, 由上式可见由上式可见, 当当t= T时时, 输出达到输入的幅值输出达到输入的幅值, 如右图如右图所示所示, 所以积分时间常数所以积分时间常数T也叫再调也叫再调时间时间. 一般情况下一般情况下,理想积分环节的理想积分环节的传递函数为传递函数为: 理想积分环节有两个重要的特性介绍如下理想积分环节有两个重要的特性介绍如下:一是饱和特性一是饱和特性: 对于理想积分环节对于理想积分环节, 只要输入信号存在只要输入信号存在,输出就以输出就以1/T的速度对输入信号积分的速度对输入信号积分, 理论上讲输出将无理论上讲输出将无限上升限上升, 但实际上
29、由于受到元件能源的限制但实际上由于受到元件能源的限制, 输出不可输出不可能无限止增长能无限止增长, 具有饱和特性具有饱和特性.二是记忆特性二是记忆特性: 若理想积分环节的输入信号为如下图所若理想积分环节的输入信号为如下图所示的矩形信号示的矩形信号,则此信号可分解为两个如下图信号的叠加则此信号可分解为两个如下图信号的叠加由上图得由上图得:理想积分环节的理想积分环节的输出信号为输出信号为:其输出信号曲线如下图其输出信号曲线如下图:可见可见, 当理想积分环节的当理想积分环节的输入信号在输入信号在时刻突然变为零时时刻突然变为零时,理想积分环节的理想积分环节的输出信号并不为零输出信号并不为零, 而是一直
30、保持其在而是一直保持其在时刻的输出值时刻的输出值不变不变, 即具有记忆特性即具有记忆特性.(b)实际积分实际积分 环节环节 其物理模型如下图所示其物理模型如下图所示:上图中上图中, 当电容当电容C具有漏电流时具有漏电流时, 相当于在电容相当于在电容C的两端的两端并联一个漏电阻并联一个漏电阻. 实际上上图即为惯性环节的物理模型实际上上图即为惯性环节的物理模型,因此因此, 实际积分实际积分 环节的传递函数为环节的传递函数为: 其单位阶跃响应曲线见下图其单位阶跃响应曲线见下图, 当惯性环节的时间常数当惯性环节的时间常数T较大较大时时, 曲线上升的很慢曲线上升的很慢, 如右图红线所示如右图红线所示,从
31、而可将其近似看成具有饱和特性的积分从而可将其近似看成具有饱和特性的积分 环节环节.4)微分微分 环节环节 (a)理想微分环节理想微分环节 其物理模型如下图所示其物理模型如下图所示:当运放是理想运放当运放是理想运放, 且电路中微且电路中微分电容的漏电流为零分电容的漏电流为零, 即电容的漏阻无穷大即电容的漏阻无穷大, 则理想则理想微微分环节的传递函分环节的传递函上式中上式中T=RC为微分时间常数为微分时间常数. 当当数为数为:时时, 输出为输出为:输出曲线如下图所示输出曲线如下图所示, 输出是一个强度为输出是一个强度为T的脉冲函数的脉冲函数, 在在t= 0时刻输出一下上升到无穷大时刻输出一下上升到
32、无穷大, 瞬间又跌回瞬间又跌回到零到零, 既无惯性又在既无惯性又在t= 0时刻变化速度为无穷大时刻变化速度为无穷大这在实际上是无法实现的这在实际上是无法实现的. 理想微分环节理想微分环节传递函数的一传递函数的一般般形式为形式为:若理想微分环节输入一单若理想微分环节输入一单位速度信号位速度信号, 则其输出为则其输出为:输入和输出曲线见下图输入和输出曲线见下图, 输出为幅值为输出为幅值为T的阶跃信号的阶跃信号, 它反它反映了输入信号的变化速度映了输入信号的变化速度.(b)实际微分环节实际微分环节在实际系统中在实际系统中, 微分环节常带有惯微分环节常带有惯性性, 其物理模型如下图所示其物理模型如下图
33、所示,实际微分环节的传递函数实际微分环节的传递函数为为:上式中上式中,为实际微分环节的两个时间常数为实际微分环节的两个时间常数当当时时,实际微分环节的输出为实际微分环节的输出为:输入和输出曲线见下图输入和输出曲线见下图, 若减小电容若减小电容, 则时间常数则时间常数变小变小,曲线见下图绿线曲线见下图绿线, 若再减小电容若再减小电容则时间常数则时间常数变得更小变得更小,曲线见左图红线曲线见左图红线,可可见见, 当当足够小时足够小时, 实际微分环节实际微分环节就可近似为理想微分环节就可近似为理想微分环节.一般情况下一般情况下,实际微分环节的传递函数为实际微分环节的传递函数为:5) 二阶振荡环节二阶
34、振荡环节 其物理模型如下图其物理模型如下图R-L-C电路所示电路所示,用算子阻抗法用算子阻抗法, 可的其传递函数为可的其传递函数为:振荡环节传递函数的一般形式为振荡环节传递函数的一般形式为:式式(29)中中, 称为无阻尼自然振荡角频率称为无阻尼自然振荡角频率,叫阻尼比叫阻尼比当当时时, 二阶振荡环节二阶振荡环节 具有一对实部为负的共轭复具有一对实部为负的共轭复数极点数极点, 其单位阶跃响应曲线是衰减振荡的其单位阶跃响应曲线是衰减振荡的, 如下图所示如下图所示:将将R-L-C电路的传递函数与式电路的传递函数与式(29)相比较相比较, 可得可得R-L-C电路的电路的6) 延迟环节延迟环节 其传递函
35、数其传递函数其单位阶跃其单位阶跃响应曲线见下图响应曲线见下图: 课外习题课外习题: P.71第第2-9题题,第第2-10题题2-3 控制系统的结构图与信号流图控制系统的结构图与信号流图 对于一个简单的元件或系统对于一个简单的元件或系统, 若要求取它的传递函若要求取它的传递函数可先列写出它们的微分方程数可先列写出它们的微分方程, 然后在零初始条件下然后在零初始条件下,求出传递函数求出传递函数. 但如果系统较复杂但如果系统较复杂, 中间变量较多中间变量较多, 则列则列写它们的微分方程就很困难写它们的微分方程就很困难, 从而求传递函数也就不简从而求传递函数也就不简单单. 一种简便的方法就是利用结构图
36、或信号流图一种简便的方法就是利用结构图或信号流图. 控制控制系统的结构图或信号流图都是描述系统各元部件之间信系统的结构图或信号流图都是描述系统各元部件之间信号传递的数学图形号传递的数学图形, 它们表示了系统中各变量之间的因它们表示了系统中各变量之间的因果关系以及对各变量所进行的运算果关系以及对各变量所进行的运算. 结构图或信号流图结构图或信号流图的本质是代数方程组各变量之间的关系的一种图形表示的本质是代数方程组各变量之间的关系的一种图形表示. 一一. 系统结构图的组成系统结构图的组成例例: 一一RC网络如下图所示网络如下图所示, 画出它的结构图画出它的结构图.画结构图的过程为画结构图的过程为:
37、1. 列写出列写出S域的代数方程组域的代数方程组2. 由代数方程组画结构图由代数方程组画结构图. 控制系统的结构图由四种基本单元组成控制系统的结构图由四种基本单元组成:(1) 信号线信号线, 如下图所示如下图所示:信号线是带有箭头的直线信号线是带有箭头的直线, 箭头表示信号的流向箭头表示信号的流向, 在直线旁在直线旁标记信号的时间函数或时间函数的拉氏变换表达式标记信号的时间函数或时间函数的拉氏变换表达式.(2) 引出点引出点(或测量点或测量点), 如下图所示如下图所示: 引出点表示信号引出或测量的位置引出点表示信号引出或测量的位置, 从同一从同一位置引出的信号在数值和性质上完全相同位置引出的信
38、号在数值和性质上完全相同.(3) 比较点比较点(或综合点或加减点或综合点或加减点), 如下图所示如下图所示:比较点表示两个或两个以比较点表示两个或两个以上的信号进行加减运算上的信号进行加减运算,“+”表示相加表示相加, “-”表示相减表示相减, 习惯上习惯上“+”可可省略不写省略不写. 需指出的是需指出的是, 比较点的输入信号须具有相同的物比较点的输入信号须具有相同的物理属性和单位理属性和单位, 比较点的输出信号只有一个比较点的输出信号只有一个.(4)方框方框(或环节或环节), 如下图所示如下图所示:箭头指向方框的信号线表示该方框的箭头指向方框的信号线表示该方框的输入信号输入信号, 箭头离开方
39、框的信号线表箭头离开方框的信号线表示该方框的输出信号示该方框的输出信号, 方框中写入元方框中写入元部件或系统的传递函数部件或系统的传递函数, 且有且有 二二. 结构图的基本形式和等效变换结构图的基本形式和等效变换从大量的实践中发现从大量的实践中发现, 不管系统中各个环节如何错综复杂不管系统中各个环节如何错综复杂地连接地连接, 但从分析的角度看但从分析的角度看, 不外乎有下列三种基本形式不外乎有下列三种基本形式(1) 串联连接串联连接, 如下图所示如下图所示:其其等效等效传递函数为传递函数为:(2)并联连接并联连接, 如下图所示如下图所示, 其等效传递函数为其等效传递函数为:(3) 反馈连接反馈
40、连接, 如下图所示如下图所示, 图图中中, 为前向通道为前向通道传递函传递函数数,为反馈通道为反馈通道传递函数传递函数由图可得由图可得:消去中间变量消去中间变量和和得反馈连接的闭环得反馈连接的闭环传递函数为传递函数为如把如把反馈通道在反馈通道在A点处断开点处断开,如下图所示如下图所示, 得得叫闭环系统的开环叫闭环系统的开环传递函数传递函数.从从而而闭环闭环传递函数可表为传递函数可表为:前向通道前向通道传递函传递函开环开环传递函数传递函数上面结论具有一般性上面结论具有一般性. 如如, 则则上式表明上式表明, 当系统的开环当系统的开环传递函数大大大于传递函数大大大于1时时,闭环闭环传递函传递函数与
41、数与前向通道前向通道传递函无关传递函无关, 仅为仅为反馈通道反馈通道传递函数的倒数传递函数的倒数, 这是这是反馈控制系统的基本优点反馈控制系统的基本优点.特别的是特别的是, 如如果果, 则称为单位反馈则称为单位反馈, 此时闭环此时闭环传传递递函数为函数为: 对于下图所示的同一个系统对于下图所示的同一个系统, 不同信号间的不同信号间的传递函数传递函数是不相同的是不相同的.对于左图对于左图, 输出输出关于关于输入输入的的传递函数前已推出为传递函数前已推出为:但对于但对于关于输入关于输入的的传递函数可由下图求得为传递函数可由下图求得为:但是但是, 和和的分母即的分母即它们的特征多项式它们的特征多项式
42、完全一样完全一样.对于一个闭环控制系统对于一个闭环控制系统, 不管其结构图多么复杂不管其结构图多么复杂, 总可通总可通过一些等效变换的方法过一些等效变换的方法, 把它简化成上面三种基本形式把它简化成上面三种基本形式,从从而求出它的而求出它的传递函数传递函数. 下面介绍五种常用的下面介绍五种常用的等效变换法则等效变换法则.(1) 信号引出点后移信号引出点后移(2) 信号引出点前移信号引出点前移(3) 信号比较点后移信号比较点后移(4)信号比较点前移信号比较点前移(5) 信号比较点交换或合并信号比较点交换或合并教材教材P.49P.50表表2-1给出了结构图给出了结构图等效变换的若干基本法则等效变换
43、的若干基本法则.三三. 复杂结构图传递函数的求取复杂结构图传递函数的求取例例1: 利用利用结构图结构图等效变换法则求下图的等效变换法则求下图的传递函数传递函数解解:由上图得由上图得例例2: 利用结构图等效变换法则求下图的传递函数利用结构图等效变换法则求下图的传递函数将上图重新整理成下图将上图重新整理成下图:信号比较点前移信号比较点前移信号比较点重新组合信号比较点重新组合由上面简化后的结构图可得其传递函数为由上面简化后的结构图可得其传递函数为:四四. 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数例例: 设某负反馈控制系统的结构如下图所示设某负反馈控制系统的结构如下图所示:求求在在和和同时作用下的
44、表达式及同时作用下的表达式及分别分别的的传递函数传递函数.对对和和解解: 令令得得令令上图可等效为下图上图可等效为下图,由上图得由上图得:因此因此求求对对的的传递函数时传递函数时, 令令, 题中给出的图可题中给出的图可等效为下图等效为下图:则则求求对对的的传递函数时传递函数时, 令令, 题中给出的图可题中给出的图可等效为下图等效为下图:则则 课外习题课外习题: P.71第第2-11题题 P.73第第2-17题题(a) (b) (c) (d) (f),第第2-18题题五五. 信号流图及梅逊增益公式信号流图及梅逊增益公式 信号流图的本质信号流图的本质, 是用小圆点和带箭头的直线组成的图型是用小圆点
45、和带箭头的直线组成的图型,来表示一个或一组线性代数方程来表示一个或一组线性代数方程, 然后利用梅逊公式求系统的然后利用梅逊公式求系统的传递函数传递函数. 例例1 设有一组线性代数方程为设有一组线性代数方程为: X2=a12X1+ a32x3 X3=a23X2+ a43X4 X4=a24X2+ a34X3 +a44X4 X5=a25X2 a45X4 信号流图中的术语信号流图中的术语 节点节点: 表示变量或信号的小圆点表示变量或信号的小圆点.方程组中有几个变量方程组中有几个变量, 就就可可用相应数目的节点用相应数目的节点. 支路支路: 连接两个节点的定向线段连接两个节点的定向线段. 线段上箭头的方
46、向线段上箭头的方向, 表示表示信信号流通的方向号流通的方向. 支路旁标明的数字支路旁标明的数字字母或表达式称为支路传输字母或表达式称为支路传输值或称为支路传输增益值或称为支路传输增益. 支路上的箭头指向节点支路上的箭头指向节点, 叫该节点的输叫该节点的输入支路入支路, 支路上的箭头离开节点支路上的箭头离开节点, 叫该节点的输出支路叫该节点的输出支路.X4X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25注意注意: (1) 信号在节点上只能相加信号在节点上只能相加; (2) 根据线性代数方程组根据线性代数方程组, 先确定变量数目先确定变量数目, 依此排列依此排列, 然然 后
47、画图后画图; (3) 流入节点的信号可以各不相同流入节点的信号可以各不相同, 但流出节点的信号表但流出节点的信号表 示同一个信号示同一个信号. 输入节点输入节点:只有输出支路的节点只有输出支路的节点, 叫输入节点叫输入节点, 也叫源节点也叫源节点, 如如X1.输出节点输出节点:只有输入支路的节点只有输入支路的节点, 叫输出节点叫输出节点, 也叫汇节点也叫汇节点, 如如X5.混合节点混合节点:既有输入支路既有输入支路, 又有输出支路的节点又有输出支路的节点, 叫混合节点叫混合节点. 如如X2, X3, X4. 增加一条单位传输支路增加一条单位传输支路,可使混合节点变可使混合节点变 为输出节点为输
48、出节点, 但不能使其变为输入节点但不能使其变为输入节点.X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25X41X2通道通道: 凡从某一节点开始凡从某一节点开始, 沿支路的沿支路的箭头方向连续经过一些箭头方向连续经过一些节节 点而终止在另一节点或同一节点的路经点而终止在另一节点或同一节点的路经, 统称为通道统称为通道.开通道开通道:如果通道从某一节点开始终止在另一节点上如果通道从某一节点开始终止在另一节点上, 而且通道而且通道 中每个节点只中每个节点只经过一次经过一次,该该通道叫开通道通道叫开通道. 闭通道闭通道: 如果通道的终点就是通道的始点如果通道的终点就是通道的始点
49、,而且通道中每个节点只而且通道中每个节点只 经过一次经过一次,该通道叫闭通道该通道叫闭通道. 也叫回环也叫回环, 回路回路. 如如a44, a34 a43, a23 a32. 但但a23 a34a43 a32不是不是.前向通道前向通道: 在开通道中在开通道中,从源节点始到汇节点止从源节点始到汇节点止, 并且每个节点并且每个节点只只 经过一次的通道经过一次的通道. 在确定前向通道时在确定前向通道时, 首先要明确首先要明确源源 节点与汇节点节点与汇节点.X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25X4不接触回路不接触回路: 如果一些回路没有任何公共节点如果一些回路没有任
50、何公共节点, 就叫不接触回路就叫不接触回路.通道传输通道传输( 或增益或增益): 通道中各支路传输通道中各支路传输( 或增益或增益)的乗积的乗积.回路传输回路传输( 或增益或增益): 闭通道中各支路传输闭通道中各支路传输( 或增益或增益)的乗积的乗积. 梅逊公式梅逊公式 任一信号流图任一信号流图, 输入节点与输出节点间的总增益输入节点与输出节点间的总增益, 可用如下可用如下梅逊公式求得梅逊公式求得:式中式中: n是从输入节点到输出节点的前向通道的总条数是从输入节点到输出节点的前向通道的总条数. Gk 是从输入节点到输出节点的第是从输入节点到输出节点的第k条前向通道的总增益条前向通道的总增益.上
51、式上式中中: L1是信号流图中每一回路的增益是信号流图中每一回路的增益.X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25X4上图中有三条前向通道上图中有三条前向通道, 故故n=3, 即即G1= a12 a23 a34 a45 L2是信号流图中任何两两互不接触回路增益的是信号流图中任何两两互不接触回路增益的乗积乗积. L3是信号流图中任何三三互不接触回路增益的是信号流图中任何三三互不接触回路增益的乗积乗积. Lm是信号流图中任何是信号流图中任何m个互不接触回路增益的个互不接触回路增益的乗积乗积. k k叫余因子式叫余因子式, 是与第是与第k k 条条前向通道前向通道不接触
52、部分的不接触部分的 值值. . 下面利用下面利用梅逊公式求例梅逊公式求例1的的信号流图中信号流图中X1与与X5之间的之间的增益增益G2= a12 a24 a45, G3= a12 a25X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25X4 L1=a23 a32 + a34 a43 + a44 + a24 a43 a32 L2= a23 a32 a44=1 L1 + L2 =1 (a23 a32 + a34 a43 + a44 + a24 a43 a32) + a23 a32 a441 1 =1 , 2 2 =1 , 3 3 =1 a34 a43 a44X5与与X1之间的
53、之间的增益增益X5/X1为为 以前以前, 我们已学过动态系统的结构图我们已学过动态系统的结构图, 那时采用结构图简化那时采用结构图简化法法则将复杂的结构图简化为便于求出系统传递函数的简单的结构则将复杂的结构图简化为便于求出系统传递函数的简单的结构图图. 现在现在, 可将结构图转化为信号流图可将结构图转化为信号流图, 再用梅逊公式求出系再用梅逊公式求出系系统的传递函数系统的传递函数. 将结构图转化为信号流图时将结构图转化为信号流图时, 应注意以下几点应注意以下几点: (1) 结构图中的输入信号应作为信号流图中的源节点结构图中的输入信号应作为信号流图中的源节点; (2) 结构图中的输出信号应作为信
54、号流图中的汇节点结构图中的输出信号应作为信号流图中的汇节点; (3) 结构图中信号加减点的输出应作为信号流图中的一个节点结构图中信号加减点的输出应作为信号流图中的一个节点; (4) 结构图中信号取出点应作为信号流图中的一个节点结构图中信号取出点应作为信号流图中的一个节点, 当结当结 构图中的输出信号线上也有信号取出点时构图中的输出信号线上也有信号取出点时, 汇节点变成混汇节点变成混 合节点合节点, 此时应将这一混合节点增加一条单位传输支路此时应将这一混合节点增加一条单位传输支路, 使这一混合节点变为汇节点使这一混合节点变为汇节点. 例例2: 由给出的结构图绘制成信号流图由给出的结构图绘制成信号流图, 并由信号流图用并由信号流图用梅逊增益公式求传递函数梅逊增益公式求传递函数.解解: 确定节点确定节点. 依次画出节点依次画出节点. 用支路连接各节点用支路连接各节点.由信号流图用梅逊增益公式求传递函数由信号流图用梅逊增益公式求传递函数.上图中有两条前向通道上图中有两条前向通道, 故故n=2, 即即所以所以
