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1、二重积分的计算二重积分的计算习题课习题课 二重积分的计算方法是累次积分法，化二重二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分的步骤是：积分为累次积分的步骤是：作出积分区域的草图作出积分区域的草图选择适当的坐标系选择适当的坐标系选定积分次序，定出积分限选定积分次序，定出积分限1. 关于坐标系的选择关于坐标系的选择 这要从积分区域的形状和被积函数的特点这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑两个方面来考虑一、主要内容一、主要内容被积函数呈被积函数呈 常用极坐标常用极坐标其它以直角坐标为宜其它以直角坐标为宜2. 关于积分次序的选择关于积分次序的选择选序原则选序原则能积分，能积分，少
2、分片，少分片，计算简计算简3. 关于积分限的确定关于积分限的确定二重积分的面积元二重积分的面积元 为正为正确定积分限时一定要保证下限小于上限确定积分限时一定要保证下限小于上限积分区域为积分区域为圆形、扇形、圆环形圆形、扇形、圆环形看图定限看图定限 穿越法定限穿越法定限 和和不等式定限不等式定限先选序，后定限先选序，后定限直角坐标系直角坐标系.先先 y 后后 x ，过任一过任一x a , b ,作平行于作平行于 y 轴的直线轴的直线穿过穿过D的内部的内部从从D的下边界曲线的下边界曲线穿入穿入 内层积分的下限内层积分的下限从上边界曲线从上边界曲线穿出穿出内层积分的上限内层积分的上限.先先 x 后后
3、 y过任一过任一 y c , d 作平行于作平行于 x 轴的直线轴的直线定限定限左边界左边界 内层积分的下限内层积分的下限右边界右边界 内层积分的上限内层积分的上限则将则将D分成若干个简单区域分成若干个简单区域再按上述方法确定每一部分的上下限再按上述方法确定每一部分的上下限分片计算，结果相加分片计算，结果相加极坐标系极坐标系积分次序一般是积分次序一般是过极点过极点O作任一极角为作任一极角为 的射线的射线从从D的边界曲线的边界曲线 穿入穿入,从从 穿出穿出.如如D须分片须分片内下限内下限内上限内上限具体可分为三种情况具体可分为三种情况极点在极点在D的边界上的边界上 是边界在极点处的切线的极角是边
4、界在极点处的切线的极角绝大多数情况下为绝大多数情况下为0极点在极点在D的内部的内部化累次积分后化累次积分后外限是常数外限是常数内限是外层积分变量的函数或常数内限是外层积分变量的函数或常数极坐标系下勿忘极坐标系下勿忘 r极点在极点在D的外部的外部4. 关于对称性关于对称性 利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，被积分函数和积分区域两个方面，不可误用
5、不可误用对对若若D关于关于 x 轴对称轴对称若若D关于关于 y 轴对称轴对称若若D关于关于原点原点对称对称 奇函数关于对称域的积分等于奇函数关于对称域的积分等于0 0，偶函数，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于对称区间上奇偶函数分的两倍，完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质的定积分的性质. .对于变量对于变量x,yx,y来说，可以简述为来说，可以简述为 “你你对称，我对称，我奇偶奇偶”、简单地说就是：简单地说就是： 1. 设积分区域设积分区域 D 关于关于 x 轴对称，轴对称，D1 是是 D 中对应于中对应于 y 0 的
6、部分。的部分。对称性的证明则则证证（1）积分区域如图：）积分区域如图：由积分区域由积分区域 D 关于关于 x 轴对称性轴对称性于是于是（2）积分区域如图：）积分区域如图：由积分区域由积分区域 D 关于关于 x 轴对称性轴对称性于是于是二、例题分析二、例题分析例例. 交换下列积分顺序解解: 积分域由两部分组成:视为Y型区域 , 则解解原式原式例例 计算计算解解DY型型I = 若先若先 y 后后 x 由于由于D的下边界曲线在的下边界曲线在 x 的不同范的不同范围内有不同的表达式，围内有不同的表达式， 须分片积分，计算较麻烦。须分片积分，计算较麻烦。2121解解例例 计算计算解解根据积分区域的特点根
7、据积分区域的特点14-12应先对应先对 x 后对后对 y 积分积分但由于但由于 对对 x 的积分求不出，无法计算，的积分求不出，无法计算，须改变积分次序。须改变积分次序。先先 x 后后 y 有有奇函数奇函数解解例例 计算计算解解积分区域由不等式给出积分区域由不等式给出在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆但它们围不成区域但它们围不成区域都有意义都有意义必须限制必须限制 因此因此D只能在只能在x=0 ， x=2 之间之间确定了积分区域后，再看被积函数结合积分区域的确定了积分区域后，再看被积函数结合积分区域的特点，化成极坐标计算较为简单特点，化成极坐标计算较为简单
8、显然显然 r 呢？呢？极点在极点在D的边界上，所以的边界上，所以 那就错了那就错了不能以为极点不能以为极点O在区域的边界上在区域的边界上就误以为对就误以为对 r 积分的下限为积分的下限为0定定 r 的积分限，应先固定的积分限，应先固定以原点为起点作射线以原点为起点作射线这射线和两个半圆相交这射线和两个半圆相交穿入穿入;从从从从穿出穿出.积分限如何确定积分限如何确定尽管极点在尽管极点在D的边界上的边界上但极角为但极角为 的射线并不是从极点穿入的射线并不是从极点穿入而不是而不是域域D的极坐标表示为的极坐标表示为解解例例 计算计算D1D2三、对称性的应用例举例例. . (1)解解D 区域关于区域关于 x 轴对称，且轴对称，且而而而而因此，因此，解：能否用对称性？解：能否用对称性？（4） 计算其中D 由所围成.解解: 令(如图所示)显然,(5) 计算计算D2D1解解解解D关于关于 x , y 轴及原点对称轴及原点对称故故故故（6） 计算计算习题解析习题解析5.交换积分次序:习题解答习题解答1-220
