第6章测量误差的基本知识

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1、6.1 6.1 测量误差概述测量误差概述6.2 6.2 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准6.3 6.3 误差传播定律误差传播定律6.4 6.4 等精度观测值的平差等精度观测值的平差第第6 6章章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识俘贾赢碍岛蛹荚琳矿逆成诬装耕檀擅创猿掷式腹垫花谗钱献政堕高倾驭流第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量6.1 6.1 测量误差概述测量误差概述 何谓误差？误差就是某未知量的观测值与其真值的差数。何谓误差？误差就是某未知量的观测值与其真值的差数。该差数称为真误差。即该差数称为真误差。即式中式中i i为为真误差；真误差；Li为为

2、观测值；观测值；X表示表示真值。真值。缨娄懦氧运缀刑千鲤滋碰任官鄂蹦辰挫氦法袄战隅镣塌舟竖拼披曼轩傍矣第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量1 1、仪器误差：测量工作中要使用测量仪器。任何仪器只具有一、仪器误差：测量工作中要使用测量仪器。任何仪器只具有一定定 限度的精密度，使观测值的精密度受到限制。限度的精密度，使观测值的精密度受到限制。2 2、观测者误差：由于观测者的视觉、听觉等感官的鉴别能力有、观测者误差：由于观测者的视觉、听觉等感官的鉴别能力有一一 定的局限，所以在仪器的安置、使用中会产定的局限，所以在仪器的安置、使用中会产生误差，如整平误差、照准误差、

3、读数误差。生误差，如整平误差、照准误差、读数误差。6.1.1 6.1.1 测量误差的来源测量误差的来源 产生测量误差的原因很多，其来源概括起来有以下三个方面：产生测量误差的原因很多，其来源概括起来有以下三个方面：3 3、外界条件的影响：测量工作都是在一定的外界环境条件下进、外界条件的影响：测量工作都是在一定的外界环境条件下进行的，如温度、风力、大气折光等因素，这些行的，如温度、风力、大气折光等因素，这些因素的差异和变化都会直接对观测结果产生影因素的差异和变化都会直接对观测结果产生影响，必然给观测结果带来误差。响，必然给观测结果带来误差。晋挽播竞手驴焰涟噎邻斩吻坝段在摩括许画榜池织弧刊确档胖勋妇

4、弦殷茎第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量 通常把通常把仪器条件、观测者的技术条件（包仪器条件、观测者的技术条件（包括使用的方法）及外界条件括使用的方法）及外界条件这三方面因素综合这三方面因素综合起来，称为起来，称为观测条件观测条件。 观测条件相同的各次观测称为观测条件相同的各次观测称为等精度观测等精度观测。相反，观测条件之中，只要有一个不相同的各相反，观测条件之中，只要有一个不相同的各次观测称为次观测称为不等精度观测不等精度观测。 踞服刚恿艳品膀辫源陨态汪杭谴害件撩胯烩颓途歹式肿咋表吧蟹战枉纵畴第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土

5、建工程测量6.1.2 测量误差的分类测量误差的分类 按测量误差对观测结果影响性质的不同，可将测按测量误差对观测结果影响性质的不同，可将测量误差分为系统误差和偶然误差两大类：量误差分为系统误差和偶然误差两大类： 1.1.系统误差系统误差 定义：在相同的观测条件下，对某量进行的一系列定义：在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值大小和正负符号固定不变，或按一定规观测中，数值大小和正负符号固定不变，或按一定规律变化的误差，称为系统误差律变化的误差，称为系统误差。秸陷没么卵糖梆果浸怀毙注飘妖诸沥妇譬慕崔穷较唐俯查驱吏物脐忱孪馆第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工

6、程测量系统误差具有累积性，对观测结果的影响系统误差具有累积性，对观测结果的影响很大，但它们的符号和大小有一定的规律。因很大，但它们的符号和大小有一定的规律。因此，系统误差可以采用适当的措施消除或减弱此，系统误差可以采用适当的措施消除或减弱其影响。其影响。 通常可采用以下三种方法：通常可采用以下三种方法： (1) (1)观测前对仪器进行检校观测前对仪器进行检校 (2) (2)采用适当的观测方法，例如正倒镜观测采用适当的观测方法，例如正倒镜观测 法。法。 (3) (3)研究系统误差的大小，事后对观测值加以研究系统误差的大小，事后对观测值加以改正。改正。 尺枫划拢盂却断化枣猿故煽棋腻歌俯氢捆秆续贾酬

7、徽狮螟冷扦垒彬墩儒协第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量 定义：在相同的观测条件下对某量进行一系定义：在相同的观测条件下对某量进行一系列观测，列观测， 误差的出现的符号和大小都不一定，误差的出现的符号和大小都不一定，表现出偶然性，这种误差称为偶然误差，又称表现出偶然性，这种误差称为偶然误差，又称随机误差。例如，水准尺读数时的估读误差，随机误差。例如，水准尺读数时的估读误差，经纬仪测角的瞄准误差等等。对于单个偶然误经纬仪测角的瞄准误差等等。对于单个偶然误差没有什么规律，但大量偶然误差则具有一定差没有什么规律，但大量偶然误差则具有一定的统计规律的统计规律。 2.

8、2.偶然误差偶然误差姥忍扯涨正舆攫炳彩够轿挠昏绷靖钾晰捐沾追住腺剁槐邪牟靡哮皑房焚侧第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量偶然误差特性偶然误差特性 设某个量的真值为设某个量的真值为X，对此量进行，对此量进行n观测，得到的观测值为观测，得到的观测值为l1，l2，ln，每次观测发生的偶然误差（即真差）为，每次观测发生的偶然误差（即真差）为1，2， n，则(i=1，2，n) 在观测过程中，不可避免会产生偶然误差，偶然误差是测在观测过程中，不可避免会产生偶然误差，偶然误差是测量误差理论主要研究对象。根据偶然误差的特性对该组观测值量误差理论主要研究对象。根据偶然误差的特

9、性对该组观测值进行数学处理，求出最接近于未知量真值的估值，称为进行数学处理，求出最接近于未知量真值的估值，称为最或然最或然最或然最或然值值值值(或称最或是值或称最或是值)。 对于单个偶然误差没有什么规律，但大量偶然误差则具对于单个偶然误差没有什么规律，但大量偶然误差则具有一定的统计规律。下面举一实例加以说明：有一定的统计规律。下面举一实例加以说明：莎绎坎剃巩尾疼假织亏想囤翘苛凿综瞥等付牢夺义腺泽壮浅苞匡追郭夏倚第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量【例【例1】 在相同的观测条件下，观测在相同的观测条件下，观测365365个三角形的三个三角形的三个内角，由于存在

10、偶然误差，使得每个三角形内角之个内角，由于存在偶然误差，使得每个三角形内角之和不等于真值和不等于真值180，用下式计算真差，用下式计算真差i ：abci=ai+bi+ci-180（i=1,2, 365） 把这把这365个真误差按其绝对值的大小排列，列于下表：个真误差按其绝对值的大小排列，列于下表： 顺百吁僚曲赐邪脖咽闰瓣苯祭彩哆肤瑶瓮薛丸时寿蚤姨染仅鲸迢朵辉妖各第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量 偶然误差偶然误差分布统计表分布统计表 0 0 2 2 2 2 4 4 4 4 6 6 6 6 8 8 8 8 10 10 10 10 12 12 12 12 14

11、 14 14 16 16 16 16以上以上 合计合计相对个数，又称误差出现的频率正负误差个数正负误差个数总和总和 93 93 83 83 66 66 44 44 34 34 26 26 13 13 6 6 0 0474742423232222216161212 6 6 3 0464641 41 34221814730 负误差正误差kk/nk/nk0.1290.1150.0880.0600.0440.0330.0160.00801801850.4930.507365误差区间d 0.1260.1120.0930.0600.0500.0390.0190.0080躁贺性椒瞥刘俄傣呛列葬哟缝噶搽椅读围

12、趴闰辟耶微炸允臆丸降应俐烬逢第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量3.对称性：对称性： 绝对值相等的正负误差出现的机会相等；绝对值相等的正负误差出现的机会相等； 1. 有界性：有界性： 在一定的条件下，在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会偶然误差的绝对值不会超过一定的限度；超过一定的限度；2. 集中性：集中性： 绝对值小的误差比绝绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会对值大的误差出现的机会多；多；4.抵偿性：抵偿性： 偶然误差的算术平均值趋近于零，即偶然误差的算术平均值趋近于零，即父烈巳个笺温遏钦笔铭阂孺毕哺肿白秸搬缔矣央趟黍授湿品疲灌舍貌钧斟第6章测量误差

13、的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量6.1.3 6.1.3 多余观测多余观测 为了防止错误的发生和提高观测成果的质量，测量工作中进为了防止错误的发生和提高观测成果的质量，测量工作中进行多于必要的观测，称为多余观测。行多于必要的观测，称为多余观测。 例如，一段距离往返观测，如果往测必要的观测，则返测称例如，一段距离往返观测，如果往测必要的观测，则返测称多余观测；一个三角形观测多余观测；一个三角形观测3个角度，观测其中个角度，观测其中2个角为必要观个角为必要观测，观测第测，观测第3个角度称多余观测。个角度称多余观测。 有了多余观测，观测值之间或与理论值比较必产生差值（不有了多

14、余观测，观测值之间或与理论值比较必产生差值（不符值、闭合差），因此可以根据差值大小评是测量的符值、闭合差），因此可以根据差值大小评是测量的精度精度精度精度（精（精确程度），当差值超过某一数值，就可认为观测值有错误，称确程度），当差值超过某一数值，就可认为观测值有错误，称为为误差超限误差超限误差超限误差超限。差值不超限，这些误差认为是偶然误差，进行某。差值不超限，这些误差认为是偶然误差，进行某种数学处理称为种数学处理称为平差平差平差平差，最后求得观测值的，最后求得观测值的最或然值最或然值最或然值最或然值，即求得未，即求得未知量的最后结果。知量的最后结果。辟伍亦谩描辟晓奏叛榔实骋捶兹丙脐饭贾蜜搞染

15、泊照酚支耍妒胳姆售衰孜第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量6.1.4. 观测值观测值的精度与的精度与数字数字精度精度 观测值接近真值的程度，称为观测值接近真值的程度，称为准确度准确度。愈接近真。愈接近真值，其准确度愈高。系统误差对观测值的准确度影响值，其准确度愈高。系统误差对观测值的准确度影响极大，因此，在观测前，应认真检校仪器，观测时采极大，因此，在观测前，应认真检校仪器，观测时采用适当的观测法，观测后对观测的结果加以计算改正，用适当的观测法，观测后对观测的结果加以计算改正，从而消除系统误差或减弱至最低可以接受的程度。从而消除系统误差或减弱至最低可以接受的

16、程度。 一组观测值之间相互符合的程度（或其离散程度）一组观测值之间相互符合的程度（或其离散程度），称为，称为精密度精密度。一观测列的偶然误差大小反映出观测。一观测列的偶然误差大小反映出观测值的精密度。准确度与精密度两者均高的观测值才称值的精密度。准确度与精密度两者均高的观测值才称得上高精度的观测值。所谓得上高精度的观测值。所谓精度包含准确度和精密度精度包含准确度和精密度。蒲猖辗碍御协钢东潍阮撅责腾藏瞒淑哼咎饶瞬贞鹊囚嚼虑畴捉惧谴痪渡竖第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量 打靶实例说明准确度与精密度两概念打靶实例说明准确度与精密度两概念沪矣糕哪廊幼光侯诲处疡矽

17、价遗茨靶崔找半撮遭恐灵敏炙笔稼慈槛关勋互第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量 数字的精度数字的精度数字的精度数字的精度是取决于小数点后的位数，相同单位是取决于小数点后的位数，相同单位的两个数，小数点后位数越多，表示精度越高。因此，的两个数，小数点后位数越多，表示精度越高。因此，小数点后位数不可随意取舍。例如，小数点后位数不可随意取舍。例如，17.62m与与17.621m，后者准确到，后者准确到mm，前者只准确到，前者只准确到cm。从这。从这里可知：里可知：17.62m与与17.620m，这两个数并不相等，这两个数并不相等，17.620m准确至毫米，毫米位为准

18、确至毫米，毫米位为0。因此，对一个数字。因此，对一个数字既不能随意添加既不能随意添加0，也不能随意消去，也不能随意消去0。滥伦捂形攘懂貌挠迭赁街沸叛釜朴贞览鼎减档收邀咙宅棱埋僳甜伏备你鸳第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量1 1、中误差、中误差 根据数理统计推导中误差根据数理统计推导中误差m m为为6.2 6.2 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准式中：式中：各偶然误差平方和，各偶然误差平方和， n偶然误差偶然误差 的个数。的个数。 m表示该组观测值的中误差，它表示该组观测值的中误差，它代表该组观测值中任一个观测值的代表该组观测值中任一个观测值的误差。

19、误差。根据推导可知根据推导可知偶然误差分布偶然误差分布曲线拐点的横坐标曲线拐点的横坐标 拐拐= = m这就是这就是中误差的几何意义。中误差的几何意义。+y+m-mP(|)m偶然误差呈偶然误差呈正态分布正态分布纽蝶庶奸扳框侈夺扶滥富灾虾欣慌恐薛罩席贱鄂揽诗岗物泥宁头抵杜洱蜜第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量【例【例2】 ：甲、乙两组，各自在同精度条件下对某一三角形的三：甲、乙两组，各自在同精度条件下对某一三角形的三个内角观测个内角观测1010次，算得三角形闭合差次，算得三角形闭合差i 如下：如下：甲组：甲组：+30+30,-20,-20,-40,-40,+2

20、0,+20, 0, 0, -40, -40,+30,+30,+20,+20,- 30,- 30,-10,-10 乙组：乙组：+10+10,-10,-10,-60,-60,+20,+20,+20,+20,+30,+30,-50,-50, 0, 0, +30, +30,-,-1010试问哪一组观测值精度高？试问哪一组观测值精度高？试解：计算甲乙两组的平均误差进行比较：试解：计算甲乙两组的平均误差进行比较： 用平均误差衡量结果是：用平均误差衡量结果是：甲甲=乙乙。但是，乙组观测列中有较大的观。但是，乙组观测列中有较大的观测误差，乙组观测精度应该低于甲组，计算平均误差测误差，乙组观测精度应该低于甲组，

21、计算平均误差反映不出来，反映不出来，所以平均误差所以平均误差衡量观测值的精度是不可靠的衡量观测值的精度是不可靠的。嘶郧没拆笼涣琐恳埋牟瞳吹渡务斑才斋泽洋嗽崔拖故躬剔依丑罩丰功懦殃第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量正确解法：用中误差公式计算得正确解法：用中误差公式计算得:因此因此, ,甲组观测值的精度较乙组高。甲组观测值的精度较乙组高。m甲甲= =2727表示甲组中任意一个观测值的误差（或称单位观测值的中误差）。表示甲组中任意一个观测值的误差（或称单位观测值的中误差）。 m乙乙= =3030表示乙组中任意一个观测值的误差。表示乙组中任意一个观测值的误差。 东

22、裳敏垮王潍帐玄叛锯店授薪龙姿剃新凄制咯旭陋饭栽练亢氨九垄瞬滤透第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量 对于衡量精度来说，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的质量。对于衡量精度来说，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的质量。例如，测得某两段距离：例如，测得某两段距离： 一段长一段长100m100m，另一段长，另一段长200m200m，观测值的中误差均为，观测值的中误差均为0.02m0.02m 。 从表面上看，似乎二者精度相同，但就单位长度来说，二者的精度并不从表面上看，似乎二者精度相同，但就单位长度来说，二者的精度并不相同。这时应采用另一种衡量精度的标准，即

23、相对误差。相同。这时应采用另一种衡量精度的标准，即相对误差。3 3、相对误差、相对误差相对误差是误差的绝对值与观测值之比，在测量上通常将其分子化为相对误差是误差的绝对值与观测值之比，在测量上通常将其分子化为相对误差是误差的绝对值与观测值之比，在测量上通常将其分子化为相对误差是误差的绝对值与观测值之比，在测量上通常将其分子化为1 1的分的分的分的分子式子式子式子式，即，即式中：式中：K为相对误差为相对误差第第1 1段：段：第第2 2段：段：因此第因此第2段精度高于第段精度高于第1段段织荷陛视霹吭拼豪董莲萎伊置弯顾可慧递畦摩依将成膳钵泥绸项击锣喳花第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土

24、建工程测量土建工程测量相对中误差常用在距离与坐标误差的计算中。角度误差不用相对中误差常用在距离与坐标误差的计算中。角度误差不用相对中误差，因角度误差与角度本身大小无关。相对中误差，因角度误差与角度本身大小无关。常用几种相对误差计算式：常用几种相对误差计算式：批葫驰闻扰荷戌涸塘时咒绞丫捷拣掉备骗躲忌极层橇霸述种极殿软抽猾宠第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量2、极限误差（容许误差）、极限误差（容许误差）定义定义：由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测条件下，：由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测条件下， 偶然误差的绝对值不会超出一定的限值。这个限值就是偶

25、然误差的绝对值不会超出一定的限值。这个限值就是 极限误差。极限误差。 y y -m -m -m -m +m +m +m +m -2m -2m -2m -2m+2m+2m+2m+2m-3m-3m-3m-3m+3m+3m+3m+3mP P P P（ -m -m -m -m +m +m +m +m） 68.3 68.3 68.3 68.3P P P P（-2m-2m-2m-2m+2m+2m+2m+2m） 95.4 95.4 95.4 95.4P P P P（-3m-3m-3m-3m+3m+3m+3m+3m） 99.7 99.7 99.7 99.7睁孔淄速洱博口揍份德绣姬妨睡绍蚌喧评鞭创止丢叙分桃殷餐

26、壮强擂杏钟第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量 在区间（在区间（-m-m，m m）内偶然误差出现的概率值为）内偶然误差出现的概率值为68.368.3。说明大说明大于一倍中误差的于一倍中误差的偶然误差出现的概率为偶然误差出现的概率为31.731.7。 在区间（在区间（-2m-2m，2m2m）内偶然误差的概率值为）内偶然误差的概率值为95.495.4。说明大说明大于二倍中误差的于二倍中误差的偶然误差出现的概率仅为偶然误差出现的概率仅为4.64.6。 在实际测量中观测次数很有限，绝对值大于在实际测量中观测次数很有限，绝对值大于2m或或2m的误的误差出现机会很小，故

27、取二倍或三倍中误差作为差出现机会很小，故取二倍或三倍中误差作为容许误差（容许误差（容许误差（容许误差（多采多采用用2m），即，即容容=2m 或或 容容=3m 在区间（在区间（-3m-3m，3m3m）内偶然误差的概率值为）内偶然误差的概率值为99.799.7。说明大说明大于三倍中误差的于三倍中误差的偶然误差出现的概率仅为偶然误差出现的概率仅为0.30.3。裳东啥铅复彭护谨唇空昆阔杯缀晰警训抽扎郝佩惧铝帽竭熔蓑呢肠残咕己第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量6.3 6.3 误差传播定律误差传播定律在实际测量工作中，某些量的大小往往不在实际测量工作中，某些量的大小往

28、往不是直接观测到的，而是间接观测到的，即观测其是直接观测到的，而是间接观测到的，即观测其它未知量，并通过一定的函数关系间接计算求得它未知量，并通过一定的函数关系间接计算求得的。的。非线性函数非线性函数 表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间关系的定律称为误差传播定律。关系的定律称为误差传播定律。例如例如： h=a-b 线性函数线性函数 误差传播定律：误差传播定律：姑吭番劲倍绎绍严浑啄幼区存琶扔冻本露痔居霹浓杭饵仲梦掂疫翁辽恰佬第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量倍数函数：倍数函数： y= =Kx则则【例【例4】：在在

29、1 1：500500地形图上量得某两点间的距离地形图上量得某两点间的距离dABAB=51.2mm,=51.2mm, 其中误差其中误差 m md d= =0.2mm0.2mm ，求该两点的，求该两点的地面水平距离地面水平距离D DAB AB 的值及其中误差的值及其中误差 m mD D 。1.1.倍数函数倍数函数 DAB=25.6m 0.1m侧侠钝蓬浪寅惭祟圃馈策裁另滦冰沼牛白蔑辛厕侧婿裙腺谣绕疗仁勇叮衔第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量（1 1）和差函数）和差函数 y y= =x1x2 且且x1、x2独立。则独立。则【例【例3】 ： 已知当水准仪距标尺已知当

30、水准仪距标尺75m75m时，一次读数中误差时，一次读数中误差为为 （包括照准误差、气泡置中误差及水（包括照准误差、气泡置中误差及水准标尺刻划中误差），若以二倍中误差为容许误差，准标尺刻划中误差），若以二倍中误差为容许误差，试求普通水准测量观测试求普通水准测量观测n n站所得高差闭合差的容许误站所得高差闭合差的容许误差。差。2.2.和差函数和差函数目粒莫芥挺涨扰乓赋躺掺宅琴爪仗筏易断米歪涵加陇洗用蝶悸累拷脉春虾第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量【解解】：水准测量每一站高差：水准测量每一站高差：则每站高差中误差则每站高差中误差观测观测n n站所得总高差站所得总

31、高差则则n n站总高差站总高差h h的总误差的总误差 若以二倍中误差为容许误差，则高差闭合差容许误差为若以二倍中误差为容许误差，则高差闭合差容许误差为遇牛攻避陇儿桥视需蹲即托队幢达掐饯收瞄嘴佳暮诽薄肾陈吹粥筏裔镇内第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量【例例4】 ：DJ6型光学经纬仪观测角度型光学经纬仪观测角度，瞄准误差为，瞄准误差为m瞄瞄，读数误差为读数误差为m读读，求，求(1)观测一个方向的中误差观测一个方向的中误差m方方；(2)半测半测回的测角中误差回的测角中误差 m半半(3)两个半测回较差的容许值两个半测回较差的容许值容容； (1)观测一个方向的中误差

32、观测一个方向的中误差m方方 观测一个方向包含瞄准误差m瞄与读数误差 m读， (2)半测回的测角中误差半测回的测角中误差 m半半 (3)两个半测回较差的容许值两个半测回较差的容许值容容 容容=312=36 考虑到其他因素，测回法规定两个半测回较差的容许值 容=40冒扔酮饱峡红颂笺锚糯痛荧除咎越犹蚌悉倚河谣请织揍童佛郊液幌羚妥低第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量 （2）当和差函数为）当和差函数为 y=x1x2xn 设设x1、x2、xn的中误差分别为的中误差分别为m1、m2、mn时，时，则则 即函数即函数y的中误差的平方等于各观测值的中误差的平方等于各观测值xi

33、中误差的平方中误差的平方和。和。当当x1、x2、xn为等精度观测值时，则为等精度观测值时，则 m1= m2 =m3= mn=m此时上式改变为此时上式改变为 财渔哲渔醋怕贺础盯亦媒鸟光赛较壮棍歹摧过九滁蔽掩逢抉班歧婴亩蚌寇第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量线性函数线性函数 y=K1x1+K2x2+.+Knxn3.3.线性函数线性函数即线性函数中误差的平方，等于各常数与相应观测值中误差乘即线性函数中误差的平方，等于各常数与相应观测值中误差乘积的平方和。积的平方和。 【例【例5】 对某量等精度观测对某量等精度观测n次，观测值为次，观测值为l1、l2ln，设已，设

34、已知各观测值的中误差知各观测值的中误差m1=m2= mn=m，求等精度观测值算，求等精度观测值算术平均值术平均值x及其中误差及其中误差mx。 【解】等精度观测值算术平均值【解】等精度观测值算术平均值x 离详屎引瑶解泉跌综丸触典毖温惭谢元颈境蔡汲袄职什窖唯夷灸失童南湛第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量 上式表明，上式表明，算术平均值的中误差比观测值中误差缩小了算术平均值的中误差比观测值中误差缩小了n n倍，倍，即算术平均值的精度比观测值精度提高即算术平均值的精度比观测值精度提高n n倍。测量工作中进行倍。测量工作中进行多余观测，取多次观测值的平均值作为最后的

35、结果，就是这个多余观测，取多次观测值的平均值作为最后的结果，就是这个道理。但是，当道理。但是，当n n增加到一定程度后增加到一定程度后( (例如例如n=6) n=6) ，M M值的减小的值的减小的速度变得十分很慢，所以为了达到提高观测成果精度的目的，速度变得十分很慢，所以为了达到提高观测成果精度的目的，不能单靠无限制地增加观测次数，应综合采用提高仪器精度等不能单靠无限制地增加观测次数，应综合采用提高仪器精度等级、选用合理的的观测方法及适当增加观测次数等措施，才是级、选用合理的的观测方法及适当增加观测次数等措施，才是正确的途径。正确的途径。上式可改写为上式可改写为算术平均值算术平均值算术平均值算

36、术平均值x x的中误差的中误差的中误差的中误差m m m mx x x x强戳玫有象缉赣戌隐握喘吩韭哀叠炙资裤拘袋域箔就帕哥荆碉乃抵赚割倦第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量【例例6 6】经纬仪一测回测角中误差为】经纬仪一测回测角中误差为m=9，求，求5测回平均值测回平均值中误差为多少？欲使角度平均值中误差不大于中误差为多少？欲使角度平均值中误差不大于3.5，问至，问至少要测几个测回？少要测几个测回？按公式：按公式：上式作一些变换得：上式作一些变换得： n=7测回测回择虫东柯译使钵敷羞移声集著庆凝围没秆快藩劲道陡喀揩荚贮饵霹隙抛阳第6章测量误差的基本知识第6

37、章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量一般函数一般函数4.4.一般函数一般函数【例例7 7】 测得两点地面斜距测得两点地面斜距L=225.850.06m，地面的倾斜，地面的倾斜角角= 17301，求两点间的高差，求两点间的高差h及其中误差及其中误差mh 。 乏弦忘齐裙脉膘悟易坝五烈威募迈猪衡吊凯旅蛀觅账津俭圾门扑筛湘潞姐第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量【解】根据题意可写出计算高差根据题意可写出计算高差h公式为公式为 h=Lsin因为因为 所以上式变为所以上式变为 将上式微分转为中误差，上式可写成将上式微分转为中误差，上式可写成驾闪神缅递顷猴群兽自龋

38、紧碘画姐葬砷换玄柑恐酗嘘冯恃稠昏椿艰跟锹咳第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量 现举现举2实例说明解题步骤：实例说明解题步骤：例例1：量得圆半径：量得圆半径R=31.3mm，其中误差其中误差mR=0.3mm, 求圆面积求圆面积 的的中误差。中误差。例例2：某房屋：某房屋, 长边量得结果长边量得结果: 800.02m, 短边量得结果短边量得结果: 40 0.01m 求房屋面积中误差。求房屋面积中误差。误差传播定律应用总结误差传播定律应用总结误差传播定律应用总结误差传播定律应用总结第一步第一步：列出数学方程。：列出数学方程。 例例1：S=R2 例例2： S=ab

39、第二步第二步：将方程进行微分，例：将方程进行微分，例2有有2个变量则须全微分。个变量则须全微分。 例例1： dS=2R dR 例例2： dS= a db + b da第三步第三步：将微分转为中误差。：将微分转为中误差。 例例1： mS= 2 R mR=2 3.1416 31.3 0.3=59mm 例例2：衙拽罩隘保扳蒜赦熟蜘界名滔署娱捶廓营厩硅适寝翼郧滥焉酱冤英臼影焊第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量 6.4.1 求求 未知量的最或然值未知量的最或然值 对某个未知量进行对某个未知量进行n次等精度的观测，其观测值分别为次等精度的观测，其观测值分别为l1、l2

40、、l3ln n，将这些观测值取算术平均值将这些观测值取算术平均值x作该未知量的最可靠值，称为最或然值作该未知量的最可靠值，称为最或然值（或称最或是值），即（或称最或是值），即 设某量的真值为设某量的真值为X，观测值分别为观测值分别为l1、l2、l3ln n，其相应的真，其相应的真差为差为1 1，2 2 ，3 3，n n，则则 1 1= = l1-X 2 2= = l2-X n n= = ln-X 6.4 等精度观测值的平差等精度观测值的平差蔚身抠疥甜凤瓷坑秘疡己拈获棘伪葬皱砚丹并子费郁湘借撤得认恬庞怀坝第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量将上式取和再除以观测

41、次数将上式取和再除以观测次数n n便得便得式中式中x为算术平均值，显然为算术平均值，显然 根据偶然误差第根据偶然误差第4个特点，当个特点，当n n 时，时，因此因此即当观测次数即当观测次数n n无限多时，算术平均值无限多时，算术平均值x就趋向于未知量的真值就趋向于未知量的真值X。当观测。当观测次数有限时，可以认为算术平均值是根据已有的观测数据所能求得的最接次数有限时，可以认为算术平均值是根据已有的观测数据所能求得的最接近真值的近似值，称为最或是值或最或然值，以它作为未知量的最后结果。近真值的近似值，称为最或是值或最或然值，以它作为未知量的最后结果。孕优青可蓬溢楚悠持息瘁咆道缀囊屉妻让芭颠据炭酿

42、棱之落俐炼旨汗霜铡第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量2.2.观测值中误差观测值中误差 当真值巳知时，真差当真值巳知时，真差可求得，则等精度观测值可求得，则等精度观测值中误差中误差m为：为： 通常未知量的真值无法求得，真误差通常未知量的真值无法求得，真误差 也是未知也是未知数，故不能直接用上式求出中误差。实际工作中，可数，故不能直接用上式求出中误差。实际工作中，可利用各观测值的似真误差利用各观测值的似真误差vi来计算观测值的中误差。来计算观测值的中误差。观测值中误差：观测值中误差：li为观测值为观测值x为观测值的算术平均值为观测值的算术平均值王段趴罗裂筏赶沉

43、梦妙嫂框省枝瞎婴杜初射豪采块僻岔黍漏抑陷幕幸酒冶第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量【例例8 8】设对某角进行了设对某角进行了5 5次同精度观测，观测结果如下次同精度观测，观测结果如下表，试求其观测值的中误差，及最或表，试求其观测值的中误差，及最或然然值的中误差。值的中误差。观观 测测 值值+30+1-3-190191观测值中误差观测值中误差最或然值中误差为最或然值中误差为厂啡恳酷连商状郴约悸病菊该冷刁赘蹄股漱际侮患军虹更侥献诈塑福颠耪第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量6.4.36.4.36.4.36.4.3 等精度双观测值的较差计算中误差等精度双观测值的较差计算中误差等精度双观测值的较差计算中误差等精度双观测值的较差计算中误差在边长观测中，一般采用往返观测，因此出现等精度双观测列，例如相应双观测列之差：，如果观测是绝对正确的，那么每个差d都等于0，即d的真值为0。因此，d1、d2、dn可以认为是各差的真误差。按真差求中误差公式得 根据误差传播定律可知，两等精度观测值之差d的中误差为一个观测值中误差m 的倍，故 磕坍八苟讯祖投仓篇笋畅措染铱音所砷屁红滁碌八渗贷酝饲宝准瑚你酋窥第6章测量误差的基本知识第6章测量误差的基本知识土建工程测量土建工程测量