第2章 线性系统的可控性与可观测性

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1、第二章线性系统的可控性与可观测性1.可控性2.可观测性3.线性定常连续系统的可控性判据4.输出可控性5.线性定常连续系统的可观测性判据6.线性离散系统的可控性和可观测性7.可控性、可观测性与传递函数(矩阵)的关系(*)8.线性时变系统的可控性和可观测性（*） 经典控制理论中用传递函数描述系统输入输出特性，输出量即为被控量，只要系统稳定，输出量便可以受控，且输出量总是可观测得，故不需提出可控及可观测概念。 现代控制理论用状态空间表达式来描述系统，揭示系统内部的变化规律，输入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，这就存在系统内部的所有状态是否可受输入影响和是否可由输出反映的问题，这就是

2、可控性和可观测性问题。 可控性可控性 ：分析输入u u(t)对状态x x(t)的控制能力。 可观测性：可观测性：分析输出y y(t)对状态x x(t)的反映能力。 可控性、可观测性概念，是卡尔曼卡尔曼于20世纪60年代首先提出的，是用状态空间描述系统而引伸出来的新概念。 可控性、可观测性是研究线性系统控制问题必不可少的重要概念，而且在许多最优控制、最优估计和自适应控制问题中，也常用到这一概念。引言引言可控性、可观测性的物理概念可控性、可观测性的物理概念 例例 已知某个系统的动态方程如下将其分别表示为标量方程组和模拟结构图形式，有由此可见，状态变量x1、 x2都通过选择控制量u由始点达到原点，因

3、而系统完全可控的。但输出y只能反映状态变量x2，而与x1既无直接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。 例例 右图所示桥式电路，选取电感电流iL和电容端电压uC作为状态变量，u为网络输入，输出量y=uc。 系统中只要有一个状态不可控或不可观测，便称该系统不完全可控或不完全可观测，简称该系统不可控或不可观。 当电桥处于非平衡状态，即R1R4R2R3时，u将控制两个状态变量的变化，且可通过选择u，使任意初态转移到任意终态，因而是可控的。由于量测到输出量即uc，且uc与iL有确定关系，即uc含有iL的信息，因而是可观测的。图 电桥电路 当电桥处于平衡状态，即R1R4 R2R3时，u只能控制iL

4、的变化，不能控制uc的变化，这时uc 0，从而也不能由输出测量结果确定iL ，因而uc不可控， iL不可观测。 例例 下图所示两个网络，当R1R2，C1C2时，且初始状态x1(t0)=x2(t0)，u只能使x1(t)x2(t)，而不能将x1(t)与 x2(t)分别转移到不同的数值，这表明此电路不完全可控，简称称为电路不可控。由于y= x1 =x2，故可观测。网络（a）网络（b）2.1 2.1 可控性可控性 考虑线性时变系统的状态方程其中x为n维状态向量；u为p维输入向量；Tt为时间定义区间；A（t）和B（t）分别为nn和np矩阵。现对状态可控和不可控分别定义如下：状态可控状态可控 对于式(21

5、00)所示线性时变系统，如果对取定初始时刻t0Tt的一个非零初始状态x（t0）x0，存在一个时刻t1Tt，t1t0，和一个无约束的容许控制u(t)， tTt0,t1，使状态由x（t0）x0转移到t1时的x（t1）0，则称x0是在t0时刻可控的 系统可控系统可控 对于式(2100)所示线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在t0(t0Tt)时刻可控的，则称系统在时刻t0是完全可控的,简称系统在时刻t0可控。若系统在所有时刻都是可控的，则称系统一致可控。系统不完全可控系统不完全可控 对于式(2100)所示线性时变系统，取定初始时刻t0Tt，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在t0时刻是不

6、可控的，则称系统在时刻t0是不完全可控的，也称为系统不可控。 补充说明（对补充说明（对u(t)的限制）的限制） 在上述定义中只要求系统在找到的控制u(t)的作用下，使t0时刻的非零状态x0在Tt上的一段有限时间内转移到状态空间的坐标原点，而对于状态转移轨迹则未加任何限制和规定。所以，可控性是表征系统状态运动的一个定性特性。定义中随控制u(t)的每个分量的幅值并未加以限制，可为任意大的要求值。但u(t)必须是容许控制，即 u(t)的每个分量 均为时间区间Tt上平方可积，即 此外，对于线性时变系统，其可控性与初始时刻t0的选取有关，是相对于Tt中的一个取定时刻t0来定义的。而对于线性定常系统，其可

7、控性与初始时刻t0的选取无关。状态可达与系统可达状态可达与系统可达 对于式(2100)所示线性时变系统，若存在能将状态x（t0）0转移到x（tf）xf的控制作用，则称状态xf是t0时刻可达的。若xf对所有时刻都是可达的，则称状态xf为完全可达。 若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻t0可达的，则称该系统是t0时刻状态完全可达的，简称该系统是t0时刻可达的。 注：注： 线性定常连续系统，可控性与可达性是等价的； 离散系统、时变系统，严格地说两者是不等价的，有可能系统不完全可控却完全可达。 2.2 可观测性 可观测性是表征状态可有输出完全反映的性能，所以应同时考虑系统状态方程和输出方程其中A（

8、t），B（t），C（t）和D（t）分别为（nn），（np），（qn）和（qp）的满足状态方程解的存在唯一性条件的时变矩阵。式（2101a）状态方程的解为其中(t,t0)为系统的状态转移矩阵。将式(2102)代入式(2-101b)输出方程，可得输出响应为 在研究可观测性问题时，输出y和输入u均假定为已知，只有初始状态x0是未知的。因此，若定义则式（2103）可写为这表明可观测性即是 可取任意值 ，所以这又等价于研究u0时由y来估计x0的可能性，即研究零输入方程 的可观测性。式（2103）成为下面基于式（2105）给出系统可观测性的有关定义。系统完全可观测 对于式（2105）所示线性时变系统，如果

9、取定初始时刻存在一个有限时刻 对于所有 ，系统的输出y（t）能唯一确定状态向量的初值x（t0），则称系统在t0,t1内是完全可观测的，简称可观测。如果对于一切t1t0系统都是可观测的，则称系统在系统不可观测 对于式（2105）所示线性时变系统，如果取定初始时刻 存在一个有限时刻 对于所有 ，系统的输出y（t）不能唯一确定所有状态的初值 即至少有一个状态的初值不能被y（t）确定，则称系统在时间区间t0，t1内是不完全可观测的，简称不可观测。2.3 线性定常连续系统的可控性判据线性定常连续系统的可控性判据1 格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据其中x为n维状态向量；u为p维输入向量；A和B分别为（nn）和

10、(np)常阵。下面根据A和B给出系统可控性的常用判据。线性定常连续系统的状态方程 线性定常连续系统式（2107）完全可控的充要条件是，存在时刻t10，使如下定义的格拉姆矩阵：非奇异。证明证明 充分性：充分性：已知w（0，t1）为非奇异，欲证系统完全可控。已知w非奇异，故w1存在。对于任一非零初始状态x0可选取u(t)为则在u（t）作用下系统（2107）在t1时刻的解为必要性必要性: : 已知系统完全可控，欲证W（0，t1）为非奇异。这表明，对任一取定的初始状态x00，都存在有限时刻t10和控制u（t），使状态由x0转移到t1时刻的状态x（t1）0，于是根据定义可知系统完全可控。充分性得证。采用

11、反证法。设W（0，t1）为奇异，则存在某个非零向量成立，由此可导出由此又可导出其中|为范数，故其必为正值。于是，欲使式（2111）成立，应当有另一方面，因系统完全可控，根据定义对此非零向量再利用式（2112），由式（2115）可以得到显然，此结果与假设相矛盾，即W（0，t1）为非奇异得反设不成立。因此，若系统完全可控，W（0，t1）必为非奇异。必要性得证。证毕。 可以看出，在应用格拉姆矩阵判据时需计算矩阵指数eAt，在A的维数n较大时计算eAt是困难的。所以格拉姆矩阵判据主要用于理论分析。线性定常连续系统可控性的常用判据是直接由矩阵A和B判断可控性的秩判据。由于在推导秩判据时要用到凯莱哈密顿定

12、理，所以下面先介绍凯莱哈密顿定理，然后再给出秩判据。2 凯莱凯莱-哈密顿定理哈密顿定理设n阶矩阵A的特征多项式为则A满足其特征方程，即式（2-118）称为凯特-哈密顿定理。 证明证明 据逆矩阵定义有式中B()为(I - A)的伴随矩阵，其一般展开式为 B()的元素均为 (n+1)阶多项式，根据矩阵加法规则将其分解为n个矩阵之和，即Bn-1, Bn-2, ,B0为n阶矩阵。将式(2-119)的两端右乘 ( I-A) 将式（2120）代入式（2121）并展开，有由方程两端 同幂项系数相等的条件有将式（2123）的前n个等式两端按顺序右乘An, An-1, , A将式（2124）中各式相加，则 证毕

13、。证明证明故上述推论成立。式中m与A阵的元素有关。该推论可用以简化矩阵的幂的计算。推论推论1 1 矩阵A的k（ kn ）次幂，可表示为A的（n-1）阶多项式这是由于令推论推论2 2 矩阵指数eAt可表为A的（n-1）阶多项式则有 故推论2成立。式（2126）中的 0(t), 1(t), , n-1(t)均为t的幂函数 。同理对于 不同时刻构成的向量 是线性无关的向量组，其中任一向量都不能表为其它向量的线性组合。 式中 3 秩判据秩判据线性定常连续系统（2107）完全可控的充要条件其中n为矩阵A的维数，称为系统的可控性判别阵。证明证明充分性：已知rankSn，欲证系统完全可控。采用反证法。反设系

14、统为不完全可控，则根据格拉姆矩阵判据可知为奇异，这意味着存在某个非零n维向量使成立。显然，由此可导出将式（2129）求导直至n1次，再在所得结果中令t0，得到式（2130）又可表示为由于 0，所以式（2131）意味着S为行线性相关，即rankSn,这显然和已知rankS = n相矛盾。因而反设不成立，系统应为完全可控。必要性：已知系统完全可控，欲证rankS = n.采用反证法。反设rankS 0有或因而有由于已知 0，若式（9135）成立，则W（0，t1）必为奇异，系统为不完全可控，与已知结果相矛盾。于是有rankS = n, 必要性得证。秩判据证毕。例例217试用可控性判据判断图226所示

15、桥式电路的可控性。 解解 该桥式电路的微分方程为 选取状态变量：x1=iL, x2=uc。将i1，i2，i3，i4消去，可得状态方程 列出其可控性矩阵S3： 图226这时状态方程变为rankS3=2=n,系统可控。但当电桥处于平衡状态即R1R4=R2R3时， 系统不可控，u不能控制x2，x2是不可控状态变量。 例例218网络如图227所示，试用可控性判据判断其可控性。解解 图227所示网络的微分方程为 消去i1i4，得状态方程为 图227例例219试用可控性判据判断图225所示网络的可控性解解 图225所示网络的微分方程为状态方程为 例例220解解 n2，A的特征多项式为 据凯莱哈密顿定理，有

16、 例例221判断下列状态方程的可控性 解解 系统的可控性矩阵显见S矩阵的第二、第三行元素绝对值相同，rankS=23,系统不可控。 4 PBH 秩判据秩判据 线性定常连续系统（2107）完全可控的充要条件是，对矩阵A的所有特征值 i(i=1,2,3,n),均成立，或等价地表示为证明证明 必要性必要性：已知系统完全可控，欲证式（2136）成立。采用反证法。反设对某个为线性相关，因而必存在一个非零常数向量，使成立。考虑到问题的一般性，由式（2138）可导出即(sI-A)和B是左互质的。 由于这一判据由波波夫和贝尔维奇(Belevitch)首先提出并由豪塔斯(Hautus)最先指出其广泛应用性，故称

17、为PBH秩判据。进而可得于是有因已知0，所以欲使式（2140）成立，必有这意味着系统不可控，显然与已知条件相矛盾，因而反设不成立，而式(2-136)成立。考虑到sI-A B为多项式矩阵，且对复数域C上除i(i=1,2,3,n)以外的所有s均有det(sI-A) 0，所以式（2136）等价于式（2137）。必要性得证。充分性充分性：已知式（2136）成立，欲证系统完全可控。采用反证法。利用与上述相反的思路，即可证明充分性。至此，PBH秩判据证毕。例例222已知线性定常系统的状态方程为试判断系统的可控性。解解 根据状态方程可写出考虑到A的特征值为所以只需对它们来检验上述矩阵的秩。通过计算可知，计算

18、结果表明，充分必要条件（2136）成立，故系统完全可控。5 PBH 特征向量判据特征向量判据 线性定常连续系统（2107）完全可控的充分必要条件是，A不能有与B的所有列相正交的非零左特征向量。即对A的任一特征值i，使同时满足证明证明 必要性必要性：已知系统完全可控，设存在一个向量0，使式（2-141）成立，则有从而得到这意味着rankS n即系统不完全可控。这与已知条件相矛盾，因而反设不成立。必要性得证。充分性充分性：也用反证法，利用与上述相反的思路来进行，具体过程略。证毕。 PBH特征向量判据主要用于理论分析，特别是线性系统的复频域分析中。的特征向量0。6 约当规范型判据约当规范型判据 线性

19、定常连续系统（2107）完全可控的充要条件分两种情况： 矩阵A的特征值i(i=1,2,3,n),是两两相异的。由线性变换可将式(2-107)变为对角规范型则系统（2107）完全可控的充分必要条件是，在式（2142）中，不包含元素全为零的行。证明证明 可用秩判据予以证明，推证过程略。 矩阵A的特征值为由线性变换可将式（2107）化为约当规范型其中（2144）（2145）（2146）续续（2147）的最后一行所组成的矩阵证明证明 可用PBH秩判据予以证明，此处略去推证过程。例例223已知线性定常系统的对角线规范型为（9148）试判定系统的可控性。解 由于此规范型中不包含元素全为零的行，故系统完全可

20、控。例例224 给定线性定常系统的约当规范型如下，试判定系统的可控性。解解 由于2.4 2.4 输出输出可控可控性性 1 输出可控性定义2 输出可控性判据 若在有限时间间隔内t0，t1 内，存在无约束的分段连续控制函数u(t)， tt0，t1，能使任意初始输出y(t0)转移到任意最终输出y(t1), 则称该系统输出可控。 设系统动态方程为 其状态方程的解为 其输出为 可不失一般性地假定 y(t1)=0，于是有令则 记S0称为输出可控性矩阵，它是q (n+1)p矩阵。与状态可控性研究相似,输出可控的充分必要条件是：矩阵S0的秩为输出变量的数目q，即rank S0 = q (2-155)注意：状态

21、可控性与输出可控性是两个概念，其间没有必然的联系 例例225 判断下列系统的状态可控性、输出可控性解解 状态可控性矩阵S为detS3=0，rank S 0，使如下定义的格拉姆矩阵：为非奇异。 证明证明 充分性充分性：已知M（0，t1）非奇异，欲证系统为完全可观测。由式(2-156)可得已知M（0，t1）非奇异，即M-1（0，t1）存在，故由式（2159）得这表明，在M（0，t1）非奇异条件下，总可以根据0,t1上的输出y（t）唯一地确定非零初始状态x0。因此，系统为完全可观测。充分性得证。必要性必要性： 系统完全可观测，欲证M（0，t1）非奇异。采用反证法。反设M（0，t1）奇异，假设存在某一

22、非零初始状态成立，这意味着这与已知矛盾，故必要性得证。证毕。2 秩判据秩判据线性定常连续系统（2156）完全可观测的充要条件是或式(2-161)和式(2-162)中的矩阵均为系统可观测性判别阵，简称可观测性阵。 证明证明 证明方法与可控性秩判据相似，略。 以下从式(2-158)出发，进一步论证秩判据的充要条件。 由式(2158)，利用eAt的级数展开式，及凯莱-哈密顿定理推论2可得 式中Iq为q阶单位阵。已知 0(t) Iq 1(t) Iq n-1(t) Iq 的nq列线性无关，于是根据测得的 y(t) 可唯一确定x0的充要条件是例例226 判断下列系统的可观测性解解故系统不可观测。故系统可观

23、测。3 PBH秩判据秩判据 线性定常连续系统 (2156) 完全可观测的充要条件是，对矩阵A的所有特征值 1, 2, , n，均有或等价地表示为即(sI A)和C是右互质的4 PBH特征向量判据特征向量判据 线性定常连续系统(2156)完全可观测的充要条件是，A没有与C的所有行相正交的非零右特征向量。即对A的任一特征值 1, 2, , n 使同时满足的特征向量0。5 约当规范型判据约当规范型判据线性定常连续系统(2156)完全可观测的充要条件分两种情况： 矩阵A的特征值 1, 2, , n是两两相异的。由线性变换可将式(2-156)变为对角规范型 矩阵A的特征值为由线性变换可将式（2156）化

24、为约当规范型式中 不包含元素为零的列。其中的第一列所组成的矩阵对 i=1,2,l 均为列线性无关例例227已知线性定常系统的对角线规范型为试判定系统的可观测性。解解 显然，此规范型中 不包含元素全为零的列，故系统为完全可观测。例例228 已知系统的约当规范型为解解 根据判断法则可定出下列矩阵 它们都是列线性无关的，并且131 的元素不全为零，故系统为完全可观测。2.6 2.6 线性离散系统的可控性和可观测性线性离散系统的可控性和可观测性1 线性离散系统的可控性和可达性线性离散系统的可控性和可达性 由于线性定常系统只是线性时变系统的一种特殊情况，和前面一样，在讨论线性离散系统时，利用时变离散系统

25、给出相关定义。 设线性时变离散时间系统的状态方程为其中Tk为离散时间定义区间。如果对初始时刻lTk ,和状态空间中的所有非零状态x(l),都存在时刻mTk , m l，和对应的控制u(k)，使得x(m)=0，则称系统在时刻 l 为完全可控。对应地，如果对初始时刻lTk ,和初始状态x(l)=0, 存在时刻lTk , m l和相应的控制u(k)，使x(m)可为状态空间中的任意非零点，则称系统在时刻 l为完全可达。 线性定常离散时间系统的可控性和可达性等价的充分必要条件是系统矩阵G为非奇异。 如果离散时间系统（2173）或（2174）是相应连续时间系统的时间离散化模型，则其可控性和可达性是等价的。

26、证明证明 略。 时变或定常离散系统的可控性和可达性等价的条件可控性和可达性等价的条件： 线性离散时间系统（2173）的可控性和可达性为等价的充要条件是，系统矩阵G(k)对所有 kl, m-1 为非奇异；线性定常离散系统的可控性判据线性定常离散系统的可控性判据 设单输入线性定常离散系统的状态方程为其中，x为n维状态向量；u为标量输入。状态方程（2175）的解为根据可控性定义，假定k = n时x(n)=0，则将上式两端左乘G - n，则有称 为可控性矩阵，该阵为（ ）矩阵。 由于满秩矩阵与另一满秩矩阵Gn 相乘，其秩不变，故 交换矩阵的列，且记为S1，其秩也不变，故有 式（2-177）是一个非奇次

27、线性方程组，含n个方程，有n个未知数u(0), ,u(n-1)。根据线性方程组解的存在定理，在x(0)为任意的情况下，要使方程组有解的充分必要条件是：矩阵 满秩，即 或行列式不为零 或矩阵是非奇异的。由于式(2-182)避免了矩阵求逆，在判断可控性时，使用式(2-182)较方便。记 式(2-179)至式(2-182)都称为可控性判据，S1 ，S1都称为单输入离散系统的可控性矩阵。显见，状态可控性取决于G和h。 当rankS1n时，系统不可控，表示不存在能使任意x(0)转移到x(n)的控制。 以上研究假定了终态为x(n)=0，若令终态为任意给定状态x(n)，则式(2-176)变为将式（2183）

28、两端左乘G-n，有当G满秩时，该式左端不过是任一给定的另一状态，其状态可控性条件可用以上推导方法得出完全相同的结论 。 若令x(0)=0，上述结论同样成立。可见，当G为非奇异时，系统的可控性和可达性是等价的。 上述研究单输入离散系统可控性方法可推广到多输入系统。设系统的状态方程为所谓可控性问题即是能否求出无约束控制序列u(0),u(1), ,u(n-1)，使系统能从任意初态x(0)转移到x(n)=0。式（2185）的解为令k = n，x(n)=0，且方程两端左乘 G -n, 有记为(nnp)矩阵，由子列向量u(0),u(1), ,u(n-1)构成的控制列向量是np维的。式（2187）含n个方程

29、，但有np个待求的控制量。由于初态x(0)可任意给定，根据解存在定理，矩阵S2的秩为n时，方程组才有解。于是多输入线性定常离散系统状态可控的充要条件是或或 或或式(2-189)至式(2-193)都是多输入离散系统的可控性判据。通常使用式(2-191)或式(2-192)较为方便。 由于式（2-187）中方程个数少于未知量的个数，方程组的解不唯一，可以任意假定（np-n）个控制量，其余n个控制量才能唯一确定。多输入系统控制序列的选择，通常是具有无穷多种方式的。 还可看出，S2的行数总少于列数。在列写S2时，若能知道S2的秩为n，便不必把S2的其余的列都写出来。 由于S2满秩时其S2T必满秩，n阶方

30、阵detS2S2T也必满秩，这时计算一次n阶行列式detS2S2T便可确定可控性了，这比可能需要多次计算S2的n阶行列式要简单一些。 多输入线性定常离散系统使任意初态转移到原点一般可少于n个采样周期 。例例229 设单输入线性定常离散系统状态方程为设单输入线性定常离散系统状态方程为 试判断可控性；若初始状态 x(0) = 2 1 0T 确定使 x(3)=0 的控制序列u(0), u(1), u(2)；研究使 x(2)=0 的可能性。 解解 由题意知 故该系统可控。 可按式（2177）求出u(0), u(1), u(2)。求逆运算比较麻烦，尝试用递推法。令k0，1，2可得状态序列 令x(3)=0

31、，得下列方程组其系数矩阵即可控性矩阵S1，是非奇异的，因此 若要使 x(2) = 0，即解下列方程组 上式中，系数矩阵的秩为2，但增广矩阵 的秩为3，两个秩不等，方程组无解，意味着不能在二个采样周期内使系统从定初始状态转移至原点。若该两个秩相等，则可用两步完成转移。 例例230 双输入线性定常离散系统的状态方程如下，试判断其可控性，并研究使 x(1)=0 的可能性。解解 显见由前三列组成的矩阵的行列式不为零，故该系统可控，一定能求得控制使任意初态在三步内转移到原点。 由x(1) = Gx(0)+Hu(0) = 0 可得设初始状态为 x(0) = -1 0 2 T可求得u1(0)=1，u2(0)

32、=0，在一步之内使系统由该初态转移到原点。 设初始状态为 x(0) = 2 -3T 时，亦然，但 u1(0) = 0，u2(0) = 1。本例不能使系统由任意初态在一步内转移到原点。 2 2 线性离散系统的可观测性线性离散系统的可观测性若对初始时刻任一非零初始状态都存在有限时刻且可由l,m上的输出y(k)唯一确定x0。则称系统在时刻l是完全可观测的。线性定常离散系统的可观测性判据线性定常离散系统的可观测性判据 设线性定常离散系统的动态方程为其中x(k)为n维状态向量，y(k)为q维输出向量，其解为 设离散系统为研究可观测性问题时，u(k), G, H, C, D 均为已知，故可不失一般性地将动

33、态方程简化为 对应的解为将y（k）写成展开式 其向量矩阵形式为令 称V1T为线性定常离散系统可观测矩阵，它是(nqn)矩阵。式(2-201)含有nq个方程，若其中有n个独立方程，便可确定唯一的一组x1(0), x2(0), xn(0) 。当独立方程个数多于n时，解会出现矛盾；当独立方程个数少于n时，便有无穷解。故可观测的充要条件为： 由于rank V1T = V1，故离散系统可观测性判据常表示为 例例231 判断下列线性定常离散系统的可观测性，并讨论可观测性的物理解释。其中输出矩阵取了两种情况。解解 当输出矩阵为C1时，计算可观测性矩阵V1 故系统可观测。由输出方程y(k) C1x(k) =

34、x2(k) 可见，在第k步便可由输出确定状态变量x2(k)。由于 故在第（k1）步便可确定x3(k)。由于 故在第（k2）步便可确定x1（k）。 该系统为三阶系统，可观测意味着至多以三步便能由y(k), y(k+1), y(k+2) 的输出测量值来确定三个状态变量。 当输出矩阵为C2时故系统不可观测。 由系统动态方程 可导出可看出三步的输出测量值中始终不含x2（k），故x2（k）是不可观测状态变量。只要有一个状态变量不可观测，称系统不完全可观测，简称不可观测。 一个可控的或可观测的连续系统，当其离散化后并不一定能保持其可控性或可观测性。现举例来说明。 设连续系统状态方程为由于系统的状态方程为可

35、控标准型，故一定可控。根据可观测性判据有故系统可观测。 系统的状态转移矩阵为 3 3 连续动态方程离散化后的可控性和可观测性连续动态方程离散化后的可控性和可观测性已知 G(T) = (T), 系统离散化状态方程为离散化系统的可控性矩阵为离散化系统的可观测性矩阵为当采样周期 T = k/ (k = 1,2,)时，可控性矩阵S1和可观测性矩阵V1均出现零行，rankS1=1n，rankV1=1n，系统不可控也不可观测。结论：结论： 对于可控或可观测的连续系统，若采样周期选择不当，对应的离散化系统便有可能不可控或不可观测，也有可能既不可控又不可观测。 若连续系统不可控或不可观测，不管采样周期T如何选

36、择，离散化后的系统一定是不可控或不可观测的。2.7 2.7 可控性、可观测性与传递函数（矩阵）的关系可控性、可观测性与传递函数（矩阵）的关系 可控性、可观测性与传递函数都是系统特性的描述，但系统的可控性、可观测性质不同时，其对应的传递函数（矩阵）将具有的怎样的特点，给定了传递函数时又怎样确定系统的可控、可观测性质，需要揭示其间的关系。以下研究结果将提供一种新的可控性、可观测性判据，并指明传递函数描述的局限性。 1 SISO系统系统 系统动态方程 A阵具有相异特征值阵具有相异特征值1, 2 , n 时时，通过线性变换可使A对角化为利用 A 阵对角化的可控、可观测性判据可知：当ri = 0时，xi

37、不可控；当fi = 0时，xi不可观测。 传递函数G(s)所具有的相应特点由于 其中 乃是输入至状态向量之间的传递矩阵，这可由状态方程 两端取拉氏变换（令初始条件为零即x(0)0）来导出。故当 时， 不可控，则 矩阵一定会出现零、极点对消现象。比如， 式(2222)中 C(sI A)-1 乃是初始状态至输出向量之间的传递矩阵，这可由下列动态方程经过拉氏变换来导出。这里假定u0，对于可观测性问题的研究，这是不失一般性的。于是有 当 f1 = 0时，x1不可观测，则C(sI A)-1矩阵也一定出现零、极点对消现象。比如， 当ri = 0及 fi = 0时，系统不可控、不可观测； 当ri 0及 fi

38、 0时，系统可控、可观测。 A阵约当化的情况阵约当化的情况 对于A阵约当化的情况，经类似推导可得出相同结论，与特征值是否分布在一个约当块内无关。 SISO系统可控、可观测的充要条件是系统可控、可观测的充要条件是由动态方程导出的传递函数不存在零极点对消（即传递函数不可约）。 系统可控的充要条件是 (sI A)-1 b 不存在零极点对消，系统可观测的充要条件是 C(sI A)-1 不存在零极点对消。 以上判据不适用于MIMO、MISO、SIMO系统。 传递函数描述与状态空间描述传递函数描述与状态空间描述 由不可约传递函数列出的动态方程必是可控、可观测的，不能反映系统中不可控、不可观测的特性。由动态

39、方程导出可约传递函数时，表明系统或是可控不可观测，或是可观测不可控，或是不可控不可观测，三者必居其一。由可约传递函数列写动态方程时，也有上述类型。 传递函数可约时，传递函数分母阶次将低于特征方程的阶次。若对消的是系统的一个不稳定特征值，便可能掩盖了系统固有的不稳定性而误认为系统稳定。 通常说用传递函数描述系统特性不完全，就是指它可能掩盖系统的不可控性、不可观测性及不稳定性。 只有当系统是可控又可观测的条件下，传递函数描述与状态空间描述才是等价的。 例例236 已知下列动态方程，试研究其可控性、可观测性与传递函数的关系解解 三个系统的传递函数均为 显见存在零极点对消 A、b为可控标准形，故可控不

40、可观测。 A、c为可观测标准形，故可观测不可控。 由A阵对角化时的可控可观测判据可知，系统不可控、不可观测。例例237 设二阶系统结构如图所示，试用状态空间及传递函数描述判断系统的可控性与可观测性，并说明传递函数描述的不完全性。 解解 由结构图列写系统微分方程 整理成向量矩阵形式 由状态可控性矩阵S3及可观测性矩阵V2有 由传递矩阵 2 MIMO系统系统 多输入多输出系统传递矩阵存在零极点对消时，系统并非一定是不可控或不可观测的，需要利用传递矩阵中的行或列的线性相关性来判断。 传递矩阵G(s)的元素是s的多项式，设G (s) 以下面列向量组来表示 若存在不全为零的实常数 使下式 成立，则称函数

41、 是线性相关的。若只有当 全为零时，式（2226）才成立，则称函数 是线性无关的。 多输入多输出系统可控性判据多输入多输出系统可控性判据定理定理 多输入系统可控的的充要条件是： (sI A)-1 B的 n 行线性无关 证明证明 已知 (sI A)-1 B 是输入向量至状态向量间的传递矩阵，由于 考虑B是常数矩阵，于是有 将左端展开式中 Ip 为p阶单位矩阵，是为写成矩阵形式而引入的。 其中是（npp）矩阵，其中的行与列均线性无关。当（nnp）可控性矩阵 B AB An-1B 的n行线性无关时，其 eAtB 及其 L eAtB 必行线性无关，故多输入系统可控性的充要条件是： (sI -A)-1B

42、 的n行线性无关。 多输入多输出系统可观测性判据多输入多输出系统可观测性判据定理定理 多输出系统可观测的充要条件是： C(sI A)-1 的n列线性无关。证明证明 已知C(sI A)-1 是初始状态向量至输出向量间的传递矩阵，考虑C是常数矩阵，于是有 将左端展开 式中Iq为 q 阶单位矩阵，是为写成矩阵形式而引入的。其中 是（qnq）矩阵，其中的行与列均线性无关。当（nqn）可观测性矩阵的 n 列线性无关时 ，其 CeAt及其 L CeAt 必列线性无关，故多输出系统可观测的充要条件是： C(sI -A)-1的n列线性无关 总结总结 运用以上判据判断多输入多输出系统的可控性、可观测性时，只需查

43、对应传递矩阵的行或列的线性无关性，至于对应传递矩阵中是否出现零极点对消是无妨的。 以上判据可适用于单输入单输出系统，不过，线性无关时必不存在零极点对消；线性相关时必存在零极点对消。也就是说，它们是一致的，但行（列）线性相关性的判据更具一般性。 从证明过程可以看出，还可以用 eAtB 的n行线性无关性来判断系统的可控性，用 CeAt 的n列线性无关来判断系统的可观测性。 例例238 试用传递矩阵判据判断下列双输入双输出系统的可控性、可观测性。 解解 故 若存在不全为零的实常数 a1，a2，a3 能使下列向量方程 成立，则称三个行向量线性相关； 若只有当 a1 = a2= a3 =0 时上式才成立

44、，则称行向量线性无关。运算时可先令上式成立，可分别列出 解得 据同幂项系数对应相等的条件有 故只有 a1 = a2= a3 =0时才能满足上述向量方程，于是可断定(sI -A)-1B 的三行线性无关，系统可控 。由 令 可分别列出 解得 故C(sI -A)-1的三列线性无关，系统可观测。 显见，这时与传递矩阵出现零极点对消无关。例例239 试用传递矩阵判据判断下列SISO系统的可控性、可观测性解解 故 令 分别得出 解得 a2= a3 =0， a1 可为任意值。于是能求得不全为零的 (a1 , a2, a3 )使上述方程满足，故(sI -A)-1b 的三行线性相关，系统不可控。 对于SISO系

45、统，(sI -A)-1b存在零极点对消，同样可得不可控的结论。由于令 可分别为 解得可见存在不全为零的(a1 , a2, a3 )满足上述代数方程，故C(sI -A)-1的三列线性相关，系统不可观测。2.8 线性时变系统的可控性、可观测性线性时变系统的可控性、可观测性 v前言前言 时变系统动态方程中的A(t)、B(t)、C(t)的元素含有时间函数，这时，定常系统中按常数矩阵A、B、C构成的可控性、可观测性判据不再适用。1 格兰姆格兰姆( (GramianGramian) )矩阵及其在时变系统中的应用矩阵及其在时变系统中的应用 2 时变系统的可控性时变系统的可控性 3 时变系统的可观测性时变系统

46、的可观测性 4 可控性判据小结可控性判据小结 本节主要内容：5 可观测性判据小结可观测性判据小结 1 格兰姆格兰姆(Gramian)矩阵及其在时变系统中的应用矩阵及其在时变系统中的应用 设（mn）矩阵F，记为列向量组有 其转置矩阵 则格兰姆矩阵G定义为 式中元素 (fi, fj) = fiTfj, i, j = 1, 2, , n。格兰姆行列式记为detG或 |G|。 利用FTF 或 | FTF |可表示出F 的列向量是否相关的条件。 研究时变系统时，首先遇到的问题是，如何定义时变列（行）向量的线性无关。 F 的列向量相关性 利用FTF 或 | FTF |可表出F的列向量是否相关的条件。 设非

47、奇次线性方程组Fxy，据解存在定理，当 时有解 当y任意时，使x有解的充要条件是： 。由于 于是有 由于 是m个平方项之和，恒大于零，故有 该式表示 为正定二次型函数，G为正定矩阵，存在有 于是矩阵F的n个列向量线性无关的充要条件可表为：格兰姆.阵 是正定的，或 非奇异，或 同理，可根据 的正定或非奇异来确定F的m个行向量线性无关。 时变列向量的线性无关性 在时变系统情况下，F(t)的元素 含有时间函数，可能在某个时刻系统可控，而在另外一个时刻变成不可控的。因此，想判断 间隔内诸时变列向量的线性无关性，应考虑在区间由如下积分所构成的格兰姆矩阵是否正定或非奇异来确定式中元素 。当G正定或非奇异时

48、，F（t）的n个时变列向量线性无关。同理，可由 的正定或非奇异来确定F（t）的m个时变行行向量线性无关。 2 时变系统的可控性时变系统的可控性时变系统的可控性定义为：若存在一个控制向量u(t)，在区间内 能使任意起始时刻 的任意初态 转移到任意终态 ，则称时变系统在 区间是完全可控的。仍可不失一般性地假设 定理定理 时变系统在 区间完全可控的充要条件是：下列格兰姆矩阵 非奇异。式中(t, t0)为时变系统转移状态矩阵。 证明证明 先证充分性充分性。即 非奇异时必可控。由于 非奇异， 必有 ，如下控制 确能在 区间将初态 转移至终态 。这是由于时变系统状态方程得解为 令 ，且将u（t）代入，并利

49、用 ，于是因而系统是可控的，充分性得证 再证必要性必要性。即可控系统的 必非奇异。用反证法，即系统可控，而 却是奇异的，试看能否导出矛盾结果。由于 奇异，于是 的行向量在 区间线性相关，必存在非零行向量a使 在 区间成立。若将 时状态方程解 左乘 ，且选择一个特殊初态 ，有 左乘a可得 考虑 及式（2236），应存在 ，这意味着a为零向量， 但这与前面a为非零向量的假设是相矛盾的。于是命题得证定常系统可控性与时变系统可控性的关系定常系统可控性与时变系统可控性的关系由式（2234）所示的格兰姆矩阵可导出定常系统可控性判据。这时 A、B都是常数矩阵，状态转移矩阵与 无关。因而可假设 。这时 式中

50、两端右乘B有 非奇异即是 或 的行线性无关，也就是 的行线性无关。 可见定常系统可控性是时变系统可控性的特例。 3 时变系统的可观测性时变系统的可观测性 时变系统的可观测性定义为：若能根据t0, t1区间测得的输出向量y(t)唯一确定系统任意初态 x(t0)，则称时变系统在t0, t1区间是完全可观测的。定理定理 线性时变系统在t0, t1区间完全可观测的充要条件是：下列格兰姆矩阵非奇异。 证明证明 先证充分性充分性。即 非奇异时必可观测。由于动态方程 其解为 y(t)左乘 ，且在t0, t1区间取积分，得 由于 非奇异，存在 ，于是有 只要在t0, t1区间测得y（t），便可求得x(t0)

51、，因而系统是可观测的。充分性得证。 再证必要性必要性。即可观测系统的 必非奇异。用反证法，即系统可 观测，而 是奇异的，试看能否导出矛盾结果。由于 奇异，于是 的列向量在 区间线性相关，必存在非零列向量a使 在 区间成立。如果选择一个特殊的初态 则有 这时没有输出测量的信息，便不可能观测到初态 ，因而与可观测的假设相矛盾。于是证明了可观测系统的 必非奇异。定常系统可观测性判据与时变系统可观测性判据的关系定常系统可观测性判据与时变系统可观测性判据的关系由式(2239)所示的格兰姆矩阵可导出定常系统可观测性判据。这时A、C都是常数矩阵，状态转移矩阵与t0无关，可假定t0 = 0 。这时 式中 两端

52、左乘C有 非奇异即是 或 的列线性无关，也就是 的列线性无关。 可见定常系统可观测性判据是时变系统可观测性判据的特例。 4 可控性判据小结可控性判据小结 时变系统时变系统：格兰姆矩阵 非奇异。 定常系统定常系统 ：的行向量线性无关； 的列向量线性无关； A为对角阵且有相异特征值时，输入矩阵无全零行（A阵有相同元素时不适用）；A为约当阵且相同特征值分布在一个约当块时，输入矩阵中与约当块最后一行对应的行不全零，及输入矩阵中与相异特征值对应的行不全零（相同特征值分布在两个或多个约当块时不适用） SISO系统动态方程导出的传递函数无零极点对消(MIMO系统不适用)；若有对消，仍能可控但不可观测； 格兰姆矩阵 非奇异 。5 可观测性判据小结可观测性判据小结 时变系统时变系统：格兰姆矩阵 非奇异 定常系统定常系统： 的列向量线性无关； 的列向量线性无关； A为对角阵且具有相异的特征值时，输出矩阵无全零列（A阵有相同元素时不适用）；A为约当阵且相同特征值分布在一个约当块时，输出矩阵中与约当块最前一列对应的列不全零，及输出矩阵中与相异特征值对应的列不全零（相同特征值分布在两个或多个约当块时不适用）； SISO系统动态方程导出的传递函数无零极点对消(MIMO系统不适用)；若有对消，仍能可观测但不可控； 格兰姆矩阵非奇异。