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1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组第第1 1章章 函函数与极数与极限限高等数学高等数学A A1.1 1.1 函数及其性质函数及其性质 1.1.1 映射映射 1.1.2 函数的概念函数的概念 1.1.3 函数的特性函数的特性 1.1.4 函数的运算函数的运算 1.1.5 函数的四则运算函数的四则运算 1.1.6 初等函数初等函数 1.1 1.1 函数及其性质函数及其性质1.1.2 函数的概念函数的概念 1.1.1 映射映射 定义定义单射、满射、一一映射、可数集，算子、泛函、变换、函数单射、满射、一一映射、可数集，算子、泛函、变换、函数 逆映射与复合映
2、射逆映射与复合映射 函数定义函数定义函数定义域和函数图形函数定义域和函数图形表示函数关系式的方法及分段函数表示函数关系式的方法及分段函数1.1.6 初等函数初等函数 1.1.5 函数的四则运算函数的四则运算 复合函数复合函数 1.1.3 函数的特性函数的特性 函数的单调性函数的单调性函数的有界性函数的有界性函数的奇偶性函数的奇偶性函数的周期性函数的周期性1.1.4 函数的运算函数的运算 反函数反函数基本初等函数基本初等函数初等函数初等函数函函数数及及其其性性质质习习例例1-7函函数数及及其其性性质质1. 函数的定义函数的定义一、函数的概念一、函数的概念设设D是实数集，称映射是实数集，称映射 为
3、定义在为定义在D上的函数上的函数, 通常简记为通常简记为因变量因变量自变量自变量数集数集D叫做函数叫做函数f的的定义域定义域,记作记作 ，即，即 可可见见, 函数是从函数是从实实数集到数集到实实数集的映射数集的映射, 其其值值域域总总在在 内，因此构成函数的要素是：内，因此构成函数的要素是：定义域与对应法则定义域与对应法则单值函数与多值函数单值函数与多值函数 如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数；否则叫做多值函数种函数叫做单值函数；否则叫做多值函数只有一个自变量的函数，称为一元函数只有
4、一个自变量的函数，称为一元函数. 故若两个函数的定故若两个函数的定义义域相同域相同, 对应对应法法则则也相同也相同, 则这则这两个函数就是相同的两个函数就是相同的, 否否则则就是不同的就是不同的. 表示函数的表示函数的记记号是可以任意号是可以任意选选取的取的, 除了常用的除了常用的 外外, 还可以用其他的英还可以用其他的英文字母或希腊字母文字母或希腊字母, 比如比如“ 、 、 ”等，等，相应的函数可记为相应的函数可记为f判断函数判断函数 f 与与 g 是否是同一函数？是否是同一函数？(2)自然定义域自然定义域. 理论研究中理论研究中, 对应法则是用数学公式表示的对应法则是用数学公式表示的函数函
5、数, 这种函数的定义域是使数学公式有意义的自变量的所这种函数的定义域是使数学公式有意义的自变量的所有值构成的实数集有值构成的实数集. 即即当函数由公式（表达式）给出时，使当函数由公式（表达式）给出时，使公式有意义的自变量的取值范围就是函数的定义域公式有意义的自变量的取值范围就是函数的定义域. 如：如：分式的分母不为分式的分母不为0；(3)定义域的表示法：定义域的表示法：不等式法，集合法，区间法，叙述法与图示法不等式法，集合法，区间法，叙述法与图示法. 2. 函数定义域的确定函数定义域的确定(1)由实际问题决定由实际问题决定. 区间区间: :是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间
6、的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.邻域邻域: :例例 求函数的定义域求函数的定义域解：解：所以函数的定义域为所以函数的定义域为(1,2.3. 函数的图形函数的图形4. 分段函数分段函数对于自变量的不同值（或在不同区间上），函数的表对于自变量的不同值（或在不同区间上），函数的表达式不同，这种函数称为分段函数达式不同，这种函数称为
7、分段函数.(1) 绝对值函数绝对值函数(2) 符号函数符号函数11xyo(3) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过x的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo(4) Dirichlet(狄利克雷狄利克雷)函数函数有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(5) 取最值函数取最值函数yxoyxo(6) 整标函数整标函数以自然数为自变量的函数以自然数为自变量的函数:图形为一些离散的点构成图形为一些离散的点构成. 二、函数的特性二、函数的特性1. 函数的单调性函数的单调性则则称称 f(x)在在I上严格单调上升或严格单调递增（严格
8、单调上严格单调上升或严格单调递增（严格单调下降或严格单调下降或严格单调递递减）减）.则则称称 f(x)在在I上单调上升或单调上单调上升或单调递递增增(单调下降或单调单调下降或单调递递减减).单增和单减的函数统称为单调函数，单增和单减的函数统称为单调函数，I称为单调区间称为单调区间. 由有限个单调函数组成的函数，称为分段单调函数由有限个单调函数组成的函数，称为分段单调函数. 如如 2. 函数的有界性函数的有界性通常函数的有界性与区间有关，通常函数的有界性与区间有关，3. 函数的奇偶性函数的奇偶性偶函数图形关于偶函数图形关于y轴对称轴对称yxox-x奇函数图形关于原点对称奇函数图形关于原点对称yx
9、ox-x注意：注意：(1) 若若f(x)的定义域关于原点不对称，则的定义域关于原点不对称，则f(x)一定不是奇函数或偶函数一定不是奇函数或偶函数.即即f(x)可表示为一个偶函数与一个奇函数之和可表示为一个偶函数与一个奇函数之和. (3) 奇偶函数的性质奇偶函数的性质 偶函数的和与差仍是偶函数，偶函数的和与差仍是偶函数，奇函数的和与差仍是奇函数；奇函数的和与差仍是奇函数；两个奇（或偶）函数的商是偶函数；两个奇（或偶）函数的商是偶函数；奇函数与偶函数的积（或商）是奇函数；奇函数与偶函数的积（或商）是奇函数；有限个偶函数的积仍是偶函数；有限个偶函数的积仍是偶函数；偶数个奇函数的积是偶函数偶数个奇函数
10、的积是偶函数. 4. 函数的周期性函数的周期性任一任一周期函数都有无穷多个周期周期函数都有无穷多个周期. 若在无穷多个周期若在无穷多个周期中，存在一个最小的正数，则这个正数称为最小正周中，存在一个最小的正数，则这个正数称为最小正周期，简称周期期，简称周期.并非所有周期函数都有最小正周期并非所有周期函数都有最小正周期, 如如Dirichlet函数函数 容易容易验证这验证这是一个周期函数是一个周期函数, 任何正有理数任何正有理数都是它的周都是它的周期期, 因为不存在最小的正有理数因为不存在最小的正有理数, 所以所以Dirichlet函数没函数没有最小正周期有最小正周期. 三、函数的运算三、函数的运
11、算1. 反函数反函数 定义：定义：注意：注意：(1)反函数的定义域和值域恰好是原来函数的值域和定义域反函数的定义域和值域恰好是原来函数的值域和定义域.DWWD设函数设函数 是单射，则它存在逆映射是单射，则它存在逆映射 , 称此映称此映射射 为函数为函数 的反函数的反函数. 亦即亦即(2)直接函数与反函数的直接函数与反函数的图形关于图形关于y=x对称对称.反函数的求法：反函数的求法：(1)一般先从方程一般先从方程y=f(x)中解出中解出x, 然后再将所得结果中的然后再将所得结果中的 x与与y互换位置即可互换位置即可;(2)对分段函数对分段函数,只要分段求出反函数便得只要分段求出反函数便得. (3
12、) 反函数的反函数的对应法则是对应法则是完全由原函数的对应法完全由原函数的对应法则所确定则所确定 .2. 复合函数复合函数 定义：定义：注意：注意：(2)复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.即不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的即不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的. 复合函数的求法：复合函数的求法：(1)对于非分段函数常用直接代入的方法；对于非分段函数常用直接代入的方法；(2)对于分段函数常用讨论的方法对于分段函数常用讨论的方法. 四、函数的四则运算四、函数的四则运算 函数的四则运算函数的四则运算 这四种运算称为函数的四则运算这四种运
13、算称为函数的四则运算.设函数设函数 的定义域分别为的定义域分别为 ，则可以定义这两个函数的下列运算则可以定义这两个函数的下列运算:和和差差积积商商五、初等函数五、初等函数1.基本初等函数基本初等函数(1)常数函数常数函数(2)幂函数幂函数(3)指数函数指数函数(4)对数函数对数函数(5)三角函数三角函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数余切函数余切函数正割函数正割函数余割函数余割函数(6)反三角函数反三角函数 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.基本初等函数基本初等函数2. 初等函数初等函
14、数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.并非所有的函数都是初等函数并非所有的函数都是初等函数,分段函数一般不是初等函数分段函数一般不是初等函数. 但也有例外但也有例外!3. 双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数-都是初等函数都是初等函数.六、函数及其性质六、函数及其性质举例举例 解：解：解：解：由此可求得由此可求得x的取值范围，即为定义域的取值范围，即为定义域.解：解： 易知该易知该函数的定义域为：函数的定义域为：解：解：解：解：因为因为所以所以证明：证明：两式联立可两式联立可求得，求得，证明：证明：由由单调性及已知不等式有，单调性及已知不等式有，解：解：故所求故所求反函数为反函数为解：解：附：双曲函数与反双曲函数附：双曲函数与反双曲函数奇函数奇函数.偶函数偶函数.(1)双曲函数双曲函数双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数奇函数奇函数,有界函数有界函数,双曲函数常用公式双曲函数常用公式双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数(2)反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数奇函数奇函数,双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数
