复变函数全课件－金锄头文库

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1、复变函数全课件复变函数全课件联系方式闻国光理学院数学系电子邮件：*2联系方式闻国光*42013年9月3日第一章复数与复变函数*32013年9月3日第一章复数与复变函数*5对对象象复变函数（自变量为复数的函数）复变函数（自变量为复数的函数）主要任务主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分具体地就是复数域上的微积分主要内容主要内容复变函数的积分、级数、留数、复变函数的积分、级数、留数、共形映射、傅立叶变换和拉普共形映射、傅立叶变换和拉普拉斯变换等拉斯变换等复数与复变函数、解析函数、复数与复变函数、解析函数、*4对象复变函数（自变量为复数

2、的函数）主要任务研究学习方法复变函数中许多概念、理论、和复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似广和发展，它们之间有许多相似之处之处. 但又有不同之处，在学习但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的性质与结果意复数域上特有的性质与结果*5学习方法复变函数中许多概念、理论、和*7背景背景十六世十六世纪,在解代数方程在解代数方程时引引进复数复数为使使负数开方有意数开方有意义，需要，需要扩大数系，使大数系，使实数域数域扩大到复数域大到复数域在十八世在十八世纪以前，以前，对复数

3、的概念及性复数的概念及性质了解得不清了解得不清楚，用它楚，用它们进行行计算又得到一些矛盾算又得到一些矛盾.在在历史上史上长时期人期人们把复数看作不能接受的把复数看作不能接受的“虚数虚数”直到十八世直到十八世纪，J.DAlembert(1717-1783)与与L.Euler(1707-1783)等人逐步等人逐步阐明了复数的几何意明了复数的几何意义和物理意和物理意义，澄清了复数的概念，澄清了复数的概念应用复数和复用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些函数研究了流体力学等方面的一些问题.复数被广泛承复数被广泛承认接受，复接受，复变函数函数论顺利建立和利建立和发展展.*6背景十六世纪,在解代数方程

4、时引进复数*8十九世十九世纪奠定奠定复复变函数的理函数的理论基基础三位代表人物三位代表人物: A.L.Cauchy （1789-1866)K.Weierstrass(1815-1897)分分别应用用积分和分和级数研数研究复究复变函数函数G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复研究复变函数的映照函数的映照性性质通通过他他们的努力，复的努力，复变函数形成了非常系函数形成了非常系统的理的理论，且渗透到了数学的且渗透到了数学的许多分支，同多分支，同时，它在，它在热力学，流力学，流体力学和体力学和电学等方面也得到了很多的学等方面也得到了很多的应用用.*7十九世纪奠定复变函数的理论基础*9

5、& 1. 1. 1. 1. 复数的概念复数的概念复数的概念复数的概念& 2. 2. 2. 2. 代数运算代数运算代数运算代数运算& 3. 3. 3. 3. 共共共共轭轭复数复数复数复数11复数及其代数运算复数及其代数运算*8 1. 复数的概念1复数及其代数运算*10A 一般一般, , 任意两个复数不能比较大小任意两个复数不能比较大小. .1. 复数的概念复数的概念定义定义对任意两实数对任意两实数x、y ,称称 z=x+iy或或z=x+yi为为复数复数.复数复数z 的实部的实部 Re(z) = x ; 虚部虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)

6、复数的模复数的模判断复数相等判断复数相等*9 一般, 任意两个复数不能比较大小.1. 复数的概念定义定义定义 z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：的和、差、积和商为： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2. 代数运算代数运算四四四四则则运算运算运算运算*10定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z

7、3 .运算规律运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律复数的运算满足交换律、结合律、分配律.（与实数相同与实数相同）即，）即，*11z1+z2=z2+z1 ；运算规律复数的运算满足交换律、结合律共共轭复数的性复数的性质3.共共轭复数复数定义定义若若z=x+iy , 称称 z=x-iy 为为z 的共轭复数的共轭复数.(conjugate)*12共轭复数的性质3.共轭复数定义若z=x+iy , 称*13*15& 1. 1. 1. 1. 点的表示点的表示点的表示点的表示& 2. 2. 2. 2. 向量表示法向量表示法向量表示法向量表示法& 3. 3. 3. 3. 三角表示法三角表示法三角表示

8、法三角表示法& 4. 4. 4. 4. 指数表示法指数表示法指数表示法指数表示法2 2 复数的表示方法复数的表示方法*14 1. 点的表示2 复数的表示方法*161. 点的表示点的表示点的表示：点的表示：A 数数z z与点与点z z同义同义. .*151. 点的表示点的表示：数z与点z同义.*172. 向量表示法向量表示法A oxy(z)P(x,y)xy 称向量的长度为复数称向量的长度为复数z=x+iy的的模模或或绝对值绝对值；以正实轴以正实轴为始边为始边, 以以为终边的角的为终边的角的弧度数弧度数称为复数称为复数z=x+iy的的辐角辐角.(z0时时)*162. 向量表示法辐角无穷多

9、：辐角无穷多：Arg z=0+2k， kZ，把其中满足把其中满足的的0称为辐角称为辐角Argz的主值，的主值，记作记作0=argz.A z=0z=0时，辐角不确定时，辐角不确定. . 计算计算argz(z0) 的公式的公式*17辐角无穷多：Arg z=0+2k， kZ，把其中满A 当当z z落于一落于一, ,四象限时，不变四象限时，不变. . A 当当z z落于第二象限时，加落于第二象限时，加 . . A 当当z z落于第三象限时，减落于第三象限时，减 . . *18 当z落于一,四象限时，不变. 当z落于第二象限时*19*21*20*22*21*23oxy(z) z1z2 z1+z2z2-

10、 z1由向量表示法知由向量表示法知3. 三角表示法三角表示法4. 指数表示法指数表示法*22oxy(z) z1z2 z1+z2z2- z1由向量表示法知*23*25引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形程（或不等式）来确定它所表示的平面图形.例例1 用复数方程表示用复数方程表示:（1）过两点）过两点 zj=xj+iyj (j=1,2)的直线；的直线；（2）中心在点）中心在点(0, -1), 半径为半径为2的圆的圆.oxy(z)L

11、z1z2z解解（1） z=z1+t (z2-z1) （-t 0为半径的为半径的圆圆 | z -z 0|(或或 0 | z z 0| 0为开集开集若若G内的每一点都是内的每一点都是内点，则称内点，则称G是开集是开集.连通连通是指是指区域区域设设 D是一个开集，是一个开集，且且D是连通的，称是连通的，称 D是一个区域是一个区域.D-区域区域边界与边界点边界与边界点已知点已知点P不属于不属于D，若点，若点P的任何的任何邻域中都包含邻域中都包含D中的点及不属于中的点及不属于D的点，则称的点，则称P是是D的边界点；的边界点；内点内点外点外点D的所有边界点组成的所有边界点组成D的边界的边界.P

12、*44开集若G内的每一点都是连通是指区域设 D是一个有界区域与无界区域有界区域与无界区域若存在若存在 R 0, 对任意对任意 z D, 均有均有zG=z | |z|R，则，则D是有界是有界区域区域；否则无界；否则无界.闭区域闭区域区域区域D与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域,*45有界区域与无界区域闭区域区域D与它的边界一起构成闭区*46*482. 2. 简单曲曲线（或（或JardanJardan曲曲线) )令令z(t)=x(t)+iy(t) atb ;则曲线方程可记为：则曲线方程可记为：z=z(t)， atb有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线有限条光滑曲线相连接构

13、成一条分段光滑曲线.*472. 简单曲线（或Jardan曲线)令z(t)=x(t)+i重点重点设连续曲线设连续曲线C：z=z(t)，atb，对于对于t1(a，b), t2 a, b,当当t1t2时，若时，若z(t1)=z(t2)，称称z(t1)为曲线为曲线C的重点的重点. 定义定义称称没有重点没有重点的连续曲线的连续曲线C为简单曲线或为简单曲线或 Jardan曲线曲线;若简单曲线若简单曲线C 满足满足z(a)=z(b)时，则称时，则称此曲线此曲线C是简单是简单闭闭曲线或曲线或Jordan闭闭曲线曲线 . z(a)=z(b)简单闭曲线简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线不是简单闭曲

14、线*48重点设连续曲线C：z=z(t) ，atb，定义 3. 3. 单连通域与多通域与多连通域通域简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质任一条简单闭曲线任一条简单闭曲线 C：z=z(t)， ta，b，把复，把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界的外部；还有一个是它们的公共边界.z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)内部内部外部外部边界边界定义定义复平面上的一个区域复平面上的一个区域 B ，如果如果B内的任何简单闭曲线的内的任何简单

15、闭曲线的内部总在内部总在B内内，就称，就称 B为单连通为单连通域；非单连通域称为多连通域域；非单连通域称为多连通域.*493. 单连通域与多连通域简单闭曲线的性质任一条简单闭曲线例如例如 |z|0）是单连通的；）是单连通的； 0r|z|R是多连通的是多连通的.单连通域单连通域多连通域多连通域多连通域多连通域单连通域单连通域*50例如 |z|0）是单连通的；单连通域多连通域作业P31 1（）（），（）（）（），（）（），（）（）（）（）（）（）*51作业P31 1（）（），*53*52*54*53*55*54*56*55*57& 1. 复复变函数的定函数的定义& 2. 映射的概念映射的概念&

16、 3. 反函数或逆映射反函数或逆映射5 5 复复变函数函数* 1. 复变函数的定义5 复变函数*1. 复复变函数的定函数的定义与实变函数定义相类似与实变函数定义相类似定义定义A *1. 复变函数的定义与实变函数定义相类似定义 *例例1例例2*例1例2*oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，在几何上， w=f(z)可以看作：可以看作：定义域定义域函数值集合函数值集合 2. 映射的概念映射的概念复变函数的几何意义复变函数的几何意义zw=f(z)w*oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z) 在几何上， w=A 以下不再区分函数与映射（变换）以下不再区分函数与映射（变换）. .A

17、在复变函数中用两个复平面上点集之间的在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量对应关系来表达两对变量 u，v 与与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观函数问题时，可借助于几何直观. .复变函数的几何意义是一个映射（变换）复变函数的几何意义是一个映射（变换）* 以下不再区分函数与映射（变换）. 在复变函数中用两个复平例例3解解关于实轴对称的一个映射关于实轴对称的一个映射见图见图1-11-2旋转变换旋转变换(映射映射)见图见图2例例4解解*例3解关于实轴对称的一个映射见图1-11-2旋转变换(oxy(z

18、)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o图图1-1图图1-2图图2uv(w)o*oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、例例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4*例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R 3. 反函数或逆映射反函数或逆映射例例设设 z=w2 则称则称为为z=w2的反函数或逆映射的反函数或逆映射定义定义设设 w =f (z) 的定义集合为的定义集合为G,函数值集合为函数值集合为G*则称则称z=(w)为为w=f(z)的反函数（的反函数（逆映射逆映射）.* 3. 反函数或逆映射例设 z=w2

19、则称例例已知映射已知映射w= z3 ，求区域，求区域 0argz 在平面在平面w上的象上的象.例例*例已知映射w= z3 ，求区域 0argz 在2008.10.8(第三次课)*2008.10.8(第三次课)*& 1. 函数的极限函数的极限& 2. 运算性运算性质& 3.函数的函数的连续性性6 6 复复变函数的极限与函数的极限与连续性性* 1. 函数的极限6 复变函数的极限与连续性*1. 函数的极限函数的极限定义定义uv(w)oAxy(z)o几何意义几何意义: 当变点当变点z一旦进一旦进入入z0 的充分小去的充分小去心邻域时心邻域时,它的象它的象点点f(z)就落入就落入A的的一个预先给定

20、的一个预先给定的邻域中邻域中*1. 函数的极限定义uv(w)oAxy(z)o 几何意义: *A (1)(1) 意义中意义中的方式是任意的的方式是任意的. . 与一元实变函数相比较要求更高与一元实变函数相比较要求更高. .(2) A是复数是复数. . 2. 运算性运算性质复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：定理定理1(3) 若若f(z)在在处有极限处有极限,其极限其极限是唯一的是唯一的. .* (1) 意义中的方式是任意的.(2) A是定理定理2A 以上定理用极限定义证以上定理用极限定义证! !*定理2 以上定理用极限定义证!*例例1例例2例例3*例

21、1例2例3*3.函数的函数的连续性性定义定义定理定理3*3.函数的连续性定义定理3*例例4 证明证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续在原点及负实轴上不连续.证明证明xy(z)ozz*例4 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续. 定理定理4 连续函数的和、差、积、商连续函数的和、差、积、商 (分母不为分母不为0) 仍为连续函数仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数连续函数的复合函数仍为连续函数.有界性：有界性：* 定理4 连续函数的和、差、积、商 (分母不为0) 有界第二章第二章第二章第二章解析函数解析函数解析函数解析函数& 第一第一第一第一节节解析函数的概念解析

22、函数的概念解析函数的概念解析函数的概念& 第二第二第二第二节节函数解析的充要条件函数解析的充要条件函数解析的充要条件函数解析的充要条件& 第三第三第三第三节节初等函数初等函数初等函数初等函数*第二章解析函数第一节解析函数的概念*& 1. 1. 复复复复变变函数的函数的函数的函数的导导数定数定数定数定义义& 2. 2. 解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念2.1 2.1 解析函数的概念解析函数的概念* 1. 复变函数的导数定义2.1 解析函数的概念* 一一. 复复变函数的函数的导数数(1)导数定义导数定义定义定义设函数设函数w=f (z) zD, 且且z0、 z0

23、 +zD，如果极限如果极限存在，则称函数存在，则称函数f (z)在点在点z0处可导处可导.称此极限值为称此极限值为f (z)在在z0的导数，的导数，记作记作如果如果w=f(z)在区域在区域D内处处可导，则称内处处可导，则称f (z)在区域在区域D内可导内可导.* 一. 复变函数的导数(1)导数定义定义设函数w=fA (1) (1) z z00是在平面区域上以任意方式趋于零是在平面区域上以任意方式趋于零. .A (2) (2) z=z=x+iy,x+iy,z=z=x+iy, f=f(z+z)-f(z) x+iy, f=f(z+z)-f(z) 例例1* (1) z0是在平面区域上以任意方式趋

24、于零. (2(2)求导公式与法则求导公式与法则常数的导数常数的导数 c =(a+ib) =0. (zn) =nzn-1 (n是自然数是自然数).证明证明对于复平面上任意一点对于复平面上任意一点z0，有，有-实函数中求导法则的推广实函数中求导法则的推广*(2)求导公式与法则常数的导数 c=(a+ib) = 设函数设函数f (z), ,g (z) 均可导，则均可导，则 f (z)g (z) =f (z)g (z)， f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g (z)* 设函数f (z),g (z) 均可导，则*复合函数的导数复合函数的导数 ( f g(z) =f (w)g

25、(z)，其中其中w=g(z). 反函数的导数反函数的导数，其中，其中: w=f (z)与与z= (w)互为单值的反函数，且互为单值的反函数，且(w) 0.*复合函数的导数 ( f g(z) =f (w)g例例3 问：函数问：函数f (z)=x+2yi是否可导？是否可导？例例2解解解解*例3 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？例2解解*例例4 证明证明 f (z)=zRez只在只在z=0处才可导处才可导.证明证明*例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导.证*A (1) (1) 复变函数在一点处可导，要比实函数复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得

26、在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为多，这是因为z z00是在平面区域上是在平面区域上以任意方式趋于零的原故以任意方式趋于零的原故. . (2) (2) 在高等数学中要举出一个处处连续，在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的但处处不可导的例题是很困难的, , 但在复变函数中，却轻而易举但在复变函数中，却轻而易举.* (1) 复变函数在一点处可导，要比实函数(2) 在高等数(3)可导与连续可导与连续若若 w=f (z) 在点在点 z0 处可导处可导 w=f (z) 点点 z0 处连续处连续.?*(3)可导与连续若 w=f (z) 在点 z0 处可导 2.4 解

27、析函数解析函数1. 解析函数的概念解析函数的概念定义定义如果函数如果函数w=f (z)在在z0及及z0的某个邻域内处处的某个邻域内处处可导，则称可导，则称f (z)在在z0解析；解析；如果如果f (z)在区域在区域D内每一点都解析，则称内每一点都解析，则称 f (z)在在D内解析，或称内解析，或称f (z)是是D内的解析函数内的解析函数 (全纯函数或正则函数）全纯函数或正则函数）.如果如果f (z)在点在点z0不解析，就称不解析，就称z0是是f (z)的的奇点奇点.A (1) w=f (z) 在在 D 内解析内解析在在D内可导内可导. (2) 函数函数f (z)在在 z0 点可导，未必

28、在点可导，未必在z0解析解析.*2.4 解析函数定义如果函数w=f (z)在z0及z0的*例如例如(1) w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面在整个复平面处处可导，故是整个复平面上的解析函数；上的解析函数；(2) w=1/z，除去，除去z=0点外，是整个复平面上的解析点外，是整个复平面上的解析函数；函数；(3) w=zRez 在整个复平面上处处不解析在整个复平面上处处不解析(见例见例4).定理定理1 设设w=f (z)及及w=g(z)是区域是区域D内的解析函数，内的解析函数，则则 f (z)g(z)，f (z)g(z) 及及 f (z) g(z) (g (z)0时时)均是均是D

29、内的解析函数内的解析函数.*例如定理1 设w=f (z)及w=g(z) 是区域D内的解析定理定理 2 设设 w=f (h) 在在 h 平面上的区域平面上的区域 G 内解析内解析, h=g(z) 在在 z 平面上的区域平面上的区域 D 内解析内解析, h=g(z)的函数值的函数值集合集合 G，则复合函数，则复合函数w=f g(z)在在D内处处解析内处处解析.*定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解调和函数和函数*调和函数* 在在6我们证明了在我们证明了在D内的解析函数内的解析函数,其导数其导数仍为解析函数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数所以解析函数有任意阶导数.本节本

30、节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系的关系.内内容容简简介介7 7 解析函数与解析函数与调和函数的关系和函数的关系* 在6我们证明了在D内的解析函数,其导数内容简定义定义定理定理*定义定理*证明：证明：设设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域在区域D内解析，则内解析，则*证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内即即u及及v 在在D内满足拉普拉斯内满足拉普拉斯(Laplace)方程方程:定义定义*即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace) 方程:定义*上面定理说明：上面定理说明：由解析的概念得

31、：由解析的概念得：现在研究反过来的问题：现在研究反过来的问题：*上面定理说明：由解析的概念得：现在研究反过来的问题：*如如*如*定理定理*定理*A 公式不用强记！可如下推出：公式不用强记！可如下推出：类似地，类似地，然后两端积分得，然后两端积分得，* 公式不用强记！可如下推出：类似地，然后两端积分得，*A 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用问题中都有重要应用.本节介绍了调和函数与解本节介绍了调和函数与解析函数的关系析函数的关系.* 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际*例例1解解曲线积分法曲线积分法*例1解曲线积分法*故故A *故 *又

32、解又解凑凑全全微微分分法法*又解凑*又解又解偏偏积积分分法法*又解偏*又解又解不不定定积积分分法法*又解不定*& 1. 1. 解析函数的充要条件解析函数的充要条件& 2. 2. 举例例2 2 函数解析的充要条件函数解析的充要条件* 1. 解析函数的充要条件2 函数解析的充要条件* 如果复如果复变函数函数 w w = = f f ( (z z) = ) = u u( (x x, , y y) + ) + iv iv( (x x, , y y) )在定在定义域域 D D内内处处可可导，则函数函数 w w = = f f ( (z z) ) 在在 D D内解析内解析. . 本本节从函数从函数 u u

33、 ( (x x , , y y) ) 及及 v v ( (x x , , y y) ) 的可的可导性，探求性，探求函数函数w w= =f f ( (z z) ) 的可的可导性，从而性，从而给出判出判别函数解析的函数解析的一个充分必要条件，并一个充分必要条件，并给出解析函数的求出解析函数的求导方法方法. .问题如何判断函数的解析性呢？如何判断函数的解析性呢？* 如果复变函数 w = f (z) = u(x一一. . 解析函数的充要条件解析函数的充要条件*一. 解析函数的充要条件*A 记忆记忆定定义方程方程称称为Cauchy-RiemannCauchy-Riemann方程方程( (简称称C-R

34、C-R方程方程). ).* 记忆定义方程*2008.10.15第四次课*2008.10.15*定理定理1 1 设 f f ( (z z) = ) = u u ( (x x, , y y) + ) + iv iv( (x x, , y y) )在在 D D 内有定内有定义，则 f f ( (z z) )在点在点 z z= =x x+ +iy iy D D处可可导的充要条件是的充要条件是 u u( (x x, , y y) ) 和和 v v( (x x, , y y) ) 在点在点 ( (x x, , y y ) ) 可微，且可微，且满足足 Cauchy-RiemannCauchy-Riema

35、nn方程方程上述条件上述条件满足足时, ,有有*定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x证明明（由由f f ( (z z) )的可的可导 C-RC-R方程方程满足上面已足上面已证！只！只须证 f f ( (z z) )的可的可导函数函数 u u( (x x, , y y) )、v v( (x x, , y y) )可微可微）. . 函数函数 w w = =f f ( (z z) )点点 z z可可导，即，即则 f f ( (z+ z+ z z)- )-f f( (z z)= )=f f ( (z z)z z+ + (z z)z z (1)(1), , 且且*证明函数 w =

36、f (z)点 z可导，即则 f ( u u+ +iviv = ( = (a a+ +ib ib)()(x x+ +i i y y)+()+( 1 1+ +i i 2 2)()(x x+ +i i y y) )=( =(a a x x-b b y y+ + 1 1 x x- - 2 2 y y) )+ +i i( (b b x x+ +a a y y+ + 2 2 x x+ + 1 1 y y) )令：令：f f ( (z z+z z) ) - - f f ( (z z)=)=u u+ +i i v v，f f ( (z z)= )= a a+ +ib ib， (z z)= )= 1 1+ +i

37、 i 2 2 故（故（1 1）式可写）式可写为因此因此 u u= =a a x x- -b b y y+ + 1 1 x x- - 2 2 y y , , v=bv=b x x+ +a a y y+ + 2 2 x x+ + 1 1 y y*u+iv = (a+ib)(x+iy)+(1+i所以所以u u( (x x, , y y) )，v v( (x x, , y y) )在点在点( (x x, , y y) )处可微可微. . （由函数（由函数u u( (x,yx,y) ) ,v ,v ( (x,yx,y) )在点在点( (x,yx,y) )处可微及可微及满足足 C-RC-R方程方程 f f

38、 ( (z z) )在点在点z=x+iyz=x+iy处可可导） u u( (x x，y y) )，v(xv(x，y y) )在在( (x x，y y) )点可微，即：点可微，即：*所以u(x, y)，v(x, y)在点(x, y)处可微. *定理定理2 2 函数函数f f ( (z z)= )=u u( (x x, , y y)+ )+iv iv( (x x, , y y) )在在D D内解析充要内解析充要条件是条件是 u u( (x x, , y y) ) 和和 v v( (x x, , y y) )在在D D内内可微，且可微，且满足足Cauchy-RiemannCauchy-Riema

39、nn方程方程A 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系联系. .当一个函数可导时当一个函数可导时, ,仅由其实部或虚部就可以仅由其实部或虚部就可以求出导数来求出导数来. .A 利用该定理可以判断那些函数是不可导的利用该定理可以判断那些函数是不可导的. .*定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在使用使用时: i) : i) 判判别 u u( (x x, , y y) )，v v ( (x x, , y y) ) 偏偏导数的数的连续性，性， ii) ii) 验证C-RC-R条件条件. .iii) iii) 求求导数数：A 前面我们常

40、把复变函数看成是两个实函数拼成的前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, , 但是求复变函数的导数时要注意但是求复变函数的导数时要注意, , 并不是两个实函并不是两个实函数分别关于数分别关于x x, ,y y求导简单拼凑成的求导简单拼凑成的. .*使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导二二. . 举例例例例1 1 判定下列函数在何判定下列函数在何处可可导，在何，在何处解析：解析：解解 (1) (1) 设z z= =x x+ +iy iy w w= =x x- -iy iy u u= =x x, , v= -yv= -y 则*二. 举例例1 判定下列函数在何处可导，在何

41、处解析：解解解(2)(2) f f ( (z z)=e)=ex x(cos(cosy y + +i isinsiny y) ) 则 u u=e=ex xcoscosy y, , v= v= e ex xsinsiny y*解(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 仅在点在点z z = 0= 0处满足足C-RC-R条件，故条件，故解解 (3) (3) 设z z= =x x+ +iy iy w w= =x x2 2+ +y y2 2 u u= = x x2 2+ +y y2 2 , , v=v=0 0 则*仅在点z = 0处满足C-R条件，故解 (3) 设z=x+例例2 2 求求证函数

42、函数证明明由于在由于在z z00处，u u( (x x, ,y y) )及及v v( (x x, ,y y) )都是可微函数，都是可微函数，且且满足足C-RC-R条件：条件：故函数故函数w w= =f f ( (z z) )在在z z00处解析，其解析，其导数数为*例2 求证函数证明由于在z0处，u(x,y)及v例例3 3 证明明*例3 证明*例例4 4 如果如果f f ( (z z)= )=u u( (x x, , y y)+ )+i vi v( (x, yx, y) )是一解析函数，是一解析函数，且且f f ( (z z)0)0，那么曲，那么曲线族族u u( (x x, , y y)

43、=C)=C1 1， v v( (x x, , y y)=C)=C2 2必互相正交，必互相正交，这里里C C1 1 、 C C2 2常数常数. .那么在曲那么在曲线的交点的交点处，i) i)u uy y、 v vy y 均不均不为零零时，由由隐函数求函数求导法法则知曲知曲线族族 u u( (x x, , y y)=C)=C1 1，v v( (x x, , y y)=C)=C2 2中任一条曲中任一条曲线的斜率分的斜率分别为解解利用利用C-RC-R方程方程 u ux x=v=vy y, u, uy y=-v=-vx x 有有k k1 1k k2 2=(-=(-u ux x/ /u uy y)(-)

44、(-v vx x/ /v vy y)= -1)= -1，即：两族曲，即：两族曲线互相正交互相正交. .*例4 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, ii) ii) u uy y，v vy y中有一中有一为零零时，不妨，不妨设u uy y=0=0，则k k1 1=， k k2 2=0=0（由（由C-RC-R方程）方程）即：两族曲即：两族曲线在交点在交点处的切的切线一条是水平的，另一条是水平的，另一条是一条是铅直的直的, , 它它们仍互相正交仍互相正交. .练习: : a a=2 , =2 , b b=-1 , =-1 , c c=-1 , =-1 , d d=2=2*ii) uy，vy中

45、有一为零时，不妨设uy=0，则k1=，*& 1. 1. 指数函数指数函数& 2. 2. 三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数& 3. 3. 对数函数数函数& 4. 4. 乘乘幂与与幂函数函数& 5. 5. 反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数3 3 初等函数初等函数* 1. 指数函数3 初等函数* 本本节将将实变函数的一些常用的初等函数函数的一些常用的初等函数推广到复推广到复变函数情形，研究函数情形，研究这些初等函数的些初等函数的性性质，并，并说明它明它们的解析性的解析性. .内内容容简简介介* 本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复一一. . 指数函数指数函数它与它与实变指

46、数函数有指数函数有类似的性似的性质：定定义*一. 指数函数它与实变指数函数有类似的性质：定义*A 这个性质是实变指数函数所没有的这个性质是实变指数函数所没有的. .* 这个性质是实变指数函数所没有的.*A 例例1 1例例2 2* 例1例2*二二. . 三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数推广到复推广到复变数情形数情形定定义*二. 三角函数和双曲函数推广到复变数情形定义*q正弦与余弦函数的性正弦与余弦函数的性质*正弦与余弦函数的性质*思考题：*思考题：*由正弦和余弦函数的定由正弦和余弦函数的定义得得其它三角函数的定其它三角函数的定义( (详见P51)P51)*由正弦和余弦函数的定义得其它三角函数

47、的定义(详见P51)*定定义称称为双曲正弦和双曲余弦函数双曲正弦和双曲余弦函数q双曲正弦和双曲余弦函数的性双曲正弦和双曲余弦函数的性质*定义称为双曲正弦和双曲余弦函数双曲正弦和双曲余弦函数的性质*三三. . 对数函数数函数定定义指数函数的反函数称指数函数的反函数称为对数函数数函数. .即，即，(1) (1) 对数的定数的定义*三. 对数函数定义指数函数的反函数称为对数函数.即，(故故*故*特特别A *特别 *2008.10.22第五次课*2008.10.22*(2) (2) 对数函数的性数函数的性质见1-61-6例例1 1*(2) 对数函数的性质见1-6例1*例例4 4*例4*四四. .

48、乘乘幂与与幂函数函数 q 乘乘幂a ab b定定义A 多多值一般一般为多多值*四. 乘幂与幂函数乘幂ab定义 q q支支*q支* (2)(2)当当b b=1/=1/n n( (n n正整数正整数) )时时，乘幂乘幂a ab b与与a a 的的 n n次根意义一致次根意义一致. .A (1) (1)当当b b= =n n( (正整数正整数) )时时，乘幂乘幂a ab b与与a a 的的n n次幂次幂意义一致意义一致. .* (2)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a 的解解例例5 5*解例5*q 幂函数函数z zb b定定义当当b b = n n ( (正整数正整数) )w=z w

49、=z n n 在整个复平面上是在整个复平面上是单值解析函数解析函数* 幂函数zb定义当b = n (正整数)w=z n 在整个* 除去除去b b为正整数外，多正整数外，多值函数，函数，当当b b为无理数或复数无理数或复数时，无，无穷多多值. . 5. 5. 反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数详见P52P52A 重点：重点：指数函数、对数函数指数函数、对数函数、乘、乘幂* 作业P67 2, 8, 15, 18*作业P67 2,*第三章复复变函数的函数的积分分*第三章复变函数的积分*& 1. 有向曲有向曲线& 2. 积分的定分的定义& 3. 积分存在的条件及其分存在的条件及其计算法算

50、法& 4. 积分性分性质1 1 复复变函数函数积分的概念分的概念* 1. 有向曲线1 复变函数积分的概念*1. 有向曲有向曲线*1. 有向曲线*CA(起点起点)B(终点点)CC*CA(起点)B(终点)CC* 2. 积分的定分的定义定定义DBxyo* 2. 积分的定义定义DBxyo*A * *3. 积分存在的条件及其分存在的条件及其计算法算法定理定理A *3. 积分存在的条件及其计算法定理 *证明明*证明*A * *由曲由曲线积分的分的计算法得算法得*由曲线积分的计算法得* 4. 积分性分性质由由积分定分定义得：得：* 4. 积分性质由积分定义得：*例例1解解又解又解Aoxy*例1解又解Axy*

51、例例2解解oxyrC*例2解oxyrC* = = =- -= =- - = =- -+ + +0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCn A *=-=-=-+0002)()(01010n第六次课10月29日*第六次课*oxy例例3解解*oxy例3解*解解:例例4 4*解:例4*分析分析1的的积分例子分例子:2 Cauchy-Goursat2 Cauchy-Goursat基本定理基本定理*分析1的积分例子:2 Cauchy-Goursat基本定猜想猜想：积分的分的值与路径无关或沿与路径无关或沿闭路的路的积分分值0的条件可能与被的条件可能与被积函数的解析性及解函数的解析性及解析区

52、域的析区域的单连通有关通有关.先将条件加先将条件加强些，作初步的探些，作初步的探讨*猜想：积分的值与路径无关或沿闭路的先将条件加强些，作初步的探*Cauchy 定理定理*Cauchy 定理*Cauchy-Goursat基本定理：基本定理：A BC也称也称Cauchy定理定理*Cauchy-Goursat基本定理： BC也称Cauch(3)定理中曲线定理中曲线C不必是简单的！如下图不必是简单的！如下图.BBC推推论设f (z)在在单连通区域通区域B内解析，内解析，则对任意任意两点两点z0, z1B, 积分分c f (z)dz不依不依赖于于连接起点接起点z0与与终点点z1的曲的曲线，即即积分与路

53、径无关分与路径无关.Cz1z0C1C2C1C2z0z1*(3)定理中曲线C不必是简单的！如下图.BBC推论设复合复合闭路定理：路定理：3 3 基本定理推广基本定理推广复合复合闭路定理路定理*复合闭路定理：3 基本定理推广复合闭路定理*证明明DCc1c2BL1L2L3AAEEFFGH*证明DCc1c2BL1L2L3AAEEFFGH*说明明*说明*A 此式此式说明一个解析函明一个解析函数沿数沿闭曲曲线的的积分，分，不因不因闭曲曲线在区域内在区域内作作连续变形而改形而改变它它的的积分分值，只要在，只要在变形形过程中曲程中曲线不不经过f(z)的不解析点的不解析点.闭路路变形原理形原理D CC1C1C

54、1* 此式说明一个解析函D CC1C1C1*例例解解C1C21xyo*例解C1C21xyo*练习解解C1C21xyo*练习解C1C21xyo*& 1. 1. 原函数与不定原函数与不定积分的概念分的概念& 2. 2. 积分分计算公式算公式4 4 原函数与不定原函数与不定积分分* 1. 原函数与不定积分的概念4 原函数与不定积分* 1. 1. 原函数与不定原函数与不定积分的概念分的概念由由22基本定理的推基本定理的推论知：知：设f f ( (z z) )在在单连通区域通区域B B内解析，内解析，则对B B中任意曲中任意曲线C, C, 积分分c c fdzfdz与路径与路径无关，只与起点和无关，只

55、与起点和终点有关点有关. . 当起点固定在当起点固定在z z0 0, , 终点点z z在在B B内内变动, ,c c f f ( (z z) )dzdz在在B B内就定内就定义了一个了一个变上限的上限的单值函数，函数，记作作定理定理设f f ( (z z) )在在单连通区域通区域B B内解析，内解析，则F F( (z z) )在在B B内解析，且内解析，且* 1. 原函数与不定积分的概念由2基本定理的定定义若函数若函数 ( (z z) ) 在区域在区域B B内的内的导数等于数等于f f ( (z z) ) ，即，即 , ,称称 ( (z z) )为f f ( (z z) )在在B B内的

56、原函数内的原函数. . 上面定理表明上面定理表明是是f f ( (z z) )的一个的一个原函数原函数. .设H H ( (z z) )与与G G( (z z) )是是f f ( (z z) )的任何两个原函数，的任何两个原函数，这表明：表明：f f ( (z z) )的任何两个原函数相差一个常数的任何两个原函数相差一个常数. .( (见第二章见第二章22例例3)3)*定义若函数 (z) 在区域B内的导数等于f (z) ，2. 2. 积分分计算公式算公式定定义设F F( (z z) )是是f f ( (z z) )的一个原函数，称的一个原函数，称F F( (z z)+c(c)+c(c为任

57、意常数任意常数) )为f f ( (z z) )的不定的不定积分，分，记作作定理定理设f f ( (z z) )在在单连通区域通区域B B内解析，内解析， F F( (z z) )是是f f ( (z z) )的一个原函数，的一个原函数，则A 此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式. .A 但是要求函数是但是要求函数是解析解析的的, ,比以前的比以前的连续连续条件要强条件要强*2. 积分计算公式定义设F(z)是f (z)的一个原例例1 1 计算下列算下列积分：分：解解1)1) *例1 计算下列积分：解1) *解解) )*解)*例例3 3 计算下列算

58、下列积分：分：*例3 计算下列积分：*小结小结求积分的方法求积分的方法*小结求积分的方法*第七次课11月5日*第七次课*利用利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上的推基本定理在多连通域上的推广广,即复合闭路定理即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解析函导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析函数该公式不仅给出了解析函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭路积力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的方法分的方法.5 Cauchy5 Cauchy

59、积分公式分公式*利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上的推广,分析分析D DC Cz z0 0C C1 1*分析DCz0C1*D DC Cz z0 0C C1 1 猜想猜想积分分*DCz0C1猜想积分*定理定理( (Cauchy Cauchy 积分公式分公式) )证明明*定理(Cauchy 积分公式)证明*A * *A 一个解析函数在圆心处的值等于它在一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值圆周上的平均值. .* 一个解析函数在圆心处的值等于它在*例例1 1解解*例1解*例例2 2解解CC C1 1C C2 21 1x xy yo o*例2解CC1C21xyo*本本节研究解

60、析函数的无研究解析函数的无穷次可次可导性，并性，并导出高出高阶导数数计算公式算公式. . 研究表明：一个解析函数不研究表明：一个解析函数不仅有一有一阶导数，而且有各数，而且有各阶导数，它的数，它的值也可用也可用函数在函数在边界上的界上的值通通过积分来表示分来表示. . 这一点与一点与实变函数有本函数有本质区区别. .6 6 解析函数的高解析函数的高阶导数数*本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式. 研形式上，形式上，以下将以下将对这些公式的正确性加以些公式的正确性加以证明明. .*形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明.*定理定理证明明用数学用数学归纳法和法和导数定数定义.

61、 .*定理证明用数学归纳法和导数定义.*令令为I I*令为I*依次依次类推，用数学推，用数学归纳法可得法可得*依次类推，用数学归纳法可得*一个解析函数的一个解析函数的导数仍数仍为解析函数解析函数. .*一个解析函数的导数仍为解析函数.*例例1 1解解*例1解*作业P100 7(3)(5)(7)(9) 8(1)(2) 9(3)(5)*作业P100 7(3)(5)(7)(9) 8(1)(2解析函数与解析函数与调和函数的关系和函数的关系*解析函数与调和函数的关系* 在在6我我们证明了在明了在D D内的解析函数内的解析函数, ,其其导数数仍仍为解析函数解析函数, ,所以解析函数有任意所以解析函数有任

62、意阶导数数. .本本节利用利用这一重要一重要结论研究解析函数与研究解析函数与调和函数之和函数之间的关系的关系. .内内容容简简介介7 7 解析函数与解析函数与调和函数的关系和函数的关系* 在6我们证明了在D内的解析函数,其导数内容简定定义定理定理*定义定理*证明：明：设f f ( (z z)= )=u u( (x x, ,y y)+ )+i i v v( (x x, ,y y) )在区域在区域D D内解析，内解析，则*证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内即即u u及及v v 在在D D内内满足拉普拉斯足拉普拉斯( (LaplaceLaplace) )方程方程

63、: :定定义*即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace) 方程:定义*上面定理上面定理说明：明：由解析的概念得：由解析的概念得：现在研究反在研究反过来的来的问题：*上面定理说明：由解析的概念得：现在研究反过来的问题：*如如*如*定理定理*定理*A 公式不用强记！可如下推出：公式不用强记！可如下推出：类似地，类似地，然后两端然后两端积分得，分得，* 公式不用强记！可如下推出：类似地，然后两端积分得，*A 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用问题中都有重要应用. .本节介绍了调和函数与解本节介绍了调和函数与解析函数的关系析函数的关系. .*

64、调和函数在流体力学和电磁场理论等实际*例例1 1解解曲线积分法曲线积分法*例1解曲线积分法*故故A *故 *又解又解凑凑全全微微分分法法*又解凑*又解又解偏偏积积分分法法*又解偏*又解又解不不定定积积分分法法*又解不定*第八次课11月12日*第八次课*& 1. 1. 复数列的极限复数列的极限& 2. 2. 级数的概念数的概念第第四四章章级级数数1 1 复数复数项级数数* 1. 复数列的极限第四章级数1 复数项级数 1. 1. 复数列的极限复数列的极限定定义又又设复常数：复常数：定理定理1 1证明明* 1. 复数列的极限定义又设复常数：定理1证明*2. 2. 级数概念数概念级数

65、的前数的前n n项的和的和-级数的部分和数的部分和不收不收敛-无无穷级数数定定义设复数列：复数列：*2. 级数概念级数的前n项的和-级数的部分和不收敛-例例1 1解解定理定理2 2证明明*例1解定理2证明*A 由定理由定理2 2，复数项级数的收敛问题可归之为，复数项级数的收敛问题可归之为两个实数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题. .性性质定理定理3 3证明明* 由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为性质定理3证明*A ? ?定定义由定理由定理3 3的的证明明过程，及不等式程，及不等式定理定理4 4* ?定义由定理3的证明过程，及不等式定理4*解解例例2 2：P108P108*解例2：

66、P108*例例3 3解解练习(P108,(P108,例例1)1)：*例3解练习(P108,例1)：*& 1. 1. 幂级数概念数概念& 2. 2. 收收敛定理定理& 3. 3. 收收敛圆与收与收敛半径半径& 4. 4. 收收敛半径的求法半径的求法& 5. 5. 幂级数的运算和性数的运算和性质2 2 幂级数数* 1. 幂级数概念2 幂级数*1. 1. 幂级数的概念数的概念定定义设复复变函数列：函数列：称称为复复变函数函数项级数数级数的最前面数的最前面n n项的和的和级数的部分和数的部分和*1. 幂级数的概念定义设复变函数列：称为复变函数项级数级数的若若级数数(1)(1)在在D D内内处处收收敛，

67、其和，其和为z z的函数的函数-级数数(1)(1)的和函数的和函数特殊情况，在特殊情况，在级数数(1)(1)中中称称为幂级数数*若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数-级数(1)的2. 2. 收收敛定理定理同同实变函数一函数一样，复，复变幂级数也有所数也有所谓的收的收敛定理：定理：定理定理1 1 阿阿贝尔(Able)(Able)定理定理讨论P142：5*2. 收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理证明明*证明*(2)(2)用反用反证法，法，3. 3. 收收敛圆与收与收敛半径半径由由AbleAble定理，定理，幂级数的收数的收敛范范围不外乎下述不外乎下述三种情况：三种情况：(

68、(i i) ) 若若对所有正所有正实数都收数都收敛，级数数(3)(3)在复平面上在复平面上处处收收敛. .( (ii ii ) )除除z z=0=0外，外，对所有的正所有的正实数都是数都是发散的，散的，这时，级数数(3)(3)在复平面上除在复平面上除z z=0=0外外处处发散散. .*(2)用反证法，3. 收敛圆与收敛半径由Able定理，显然，然，否否则，级数数(3)(3)将在将在处发散散. .将收敛部分染成红色，发散将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，部分染成蓝色，逐渐变大，逐渐变大，在在c c 内部都是红色内部都是红色, , 逐渐变逐渐变小，在小，在c c 外部都是蓝色，外部都是

69、蓝色，红、蓝色不会交错红、蓝色不会交错. .故故播放播放*显然，否则，级数(3)将在处发散.将收敛部分染成红*A ( (i i) )幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析要具体分析. .定定义红蓝两色的分界两色的分界圆周周c cR R叫做叫做幂级数的数的收收敛圆；圆的半径的半径R R叫做叫做幂级数的收数的收敛半径半径. .( (ii ii) )幂级数幂级数(3)(3)的收敛范围是以的收敛范围是以0 0为中心，半径为为中心，半径为R R的圆域；幂级数的圆域；幂级数(2)(

70、2)的收敛范围是以的收敛范围是以z z0 0为中心为中心, ,半径半径为为R R的圆域的圆域. .* (i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外定义红蓝两色的4. 4. 收收敛半径的求法半径的求法定理定理2 2( (比比值法法) )证明明*4. 收敛半径的求法定理2证明* 定理定理3 3( (根根值法法) ) 定理定理2 2( (比比值法法) )* 定理3 定理2*第九次课11月19日*第九次课*例例1 1：P111P111解解综上上*例1：P111解综上*例例2 2 求下列求下列幂级数的收数的收敛半径并半径并讨论收收敛圆周上的情形周上的情形: :解解 (1)(1)该级数收数收敛该级数数

71、发散散p p=1=1p p=2=2该级数在收数在收敛圆上是上是处处收收敛的的. .*例2 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解综上上该级数数发散散. .该级数收数收敛，* 综上该级数发散.该级数收敛，*故故该级数在复平面上是数在复平面上是处处收收敛的的. .*故该级数在复平面上是处处收敛的.*5. 5. 幂级数的运算和性数的运算和性质q代数运算代数运算-幂级数的加、减运算数的加、减运算-幂级数的乘法运算数的乘法运算*5. 幂级数的运算和性质代数运算-幂级数的加、减运算-幂级数的代数的代换( (复合复合) )运算运算A 幂级幂级数的代换运数的代换运算在函数展算在函数展成幂级数中成幂

72、级数中很有用很有用. .例例3 3：P116P116解解代代换*-幂级数的代换(复合)运算幂级例3：P116解代解解代代换展开展开还原原*解代换展开还原*q分析运算分析运算定理定理4 4-幂级数的逐数的逐项求求导运算运算-幂级数的逐数的逐项积分运算分运算*分析运算定理4-幂级数的逐项求导运算-幂级数的逐作业P103 30(1)(2),31P141 1(2)(4),3(3)(4),6(2)(3)(4),11(1)(3)* 作业P103 30(1)(2),31*& 1. 1. 泰勒展开定理泰勒展开定理& 2. 2. 展开式的唯一性展开式的唯一性& 3. 3. 简单初等函数的泰勒展开式初等函数的

73、泰勒展开式3 3 泰勒泰勒( (TaylorTaylor) )级数数* 1. 泰勒展开定理3 泰勒(Taylor) 级数*1. 1. 泰勒泰勒( (TaylorTaylor) )展开定理展开定理现在研究与此相反的在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用一个解析函数能否用幂级数表达数表达? ?( (或者或者说, ,一个解析函数能否展开成一个解析函数能否展开成幂级数数? ? 解析函解析函数在解析点能否用数在解析点能否用幂级数表示？）数表示？）由由2幂级数的性数的性质知知: :一个一个幂级数的和函数在数的和函数在它的收它的收敛圆内部是一个解析函数内部是一个解析函数. .以下定理以下定理给出了肯定回答

74、：出了肯定回答：任何任何解析函数解析函数都一定都一定能用能用幂级数表示数表示. .*1. 泰勒(Taylor) 展开定理现在研究与此相反的问题：由定理（泰勒展开定理）定理（泰勒展开定理）D Dk k分析：分析：代入代入(1)(1)得得*定理（泰勒展开定理）Dk分析：代入(1)得*D Dk kz z*Dkz*-(*)-(*)得得证！*-(*) 得证！*证明明( (不不讲) )*证明*( (不不讲) )*(不讲)*证明明( (不不讲) )*证明*A * *2. 2. 展开式的唯一性展开式的唯一性结论解析函数展开成解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它数是唯一的，就是它的的TaylorTaylor级

75、数数. .利用泰勒利用泰勒级数可把解析函数展开成数可把解析函数展开成幂级数，数，这样的展开式是否唯一？的展开式是否唯一？事事实上上，设f f ( (z z) )用另外的方法展开用另外的方法展开为幂级数数: :*2. 展开式的唯一性结论解析函数展开成幂级数是唯一的由此可由此可见，任何解析函数展开成，任何解析函数展开成幂级数就是数就是TalorTalor级数，因而是唯一的数，因而是唯一的. .-直接法直接法-间接法接法代公式代公式由展开式的唯一性，运用由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分数的代数运算、分析运算和析运算和已知函数的展开式来展开已知函数的展开式来展开函数展开成函数展开成Tay

76、lorTaylor级数的方法：数的方法：*由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor- 直接法3. 3. 简单初等函数的泰勒展开式初等函数的泰勒展开式例例1 1 解解(P120)*3. 简单初等函数的泰勒展开式例1 解(P120)*A 上述求上述求sinsinz z, cos, cosz z展开式的方法即为间接法展开式的方法即为间接法. .例例2 2 把下列函数展开成把下列函数展开成 z z 的的幂级数数: :解解* 上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法.例2(2)(2)由由幂级数逐数逐项求求导性性质得：得：*(2)由幂级数逐项求导性质得：*A(1)(1)另一方面，因另一方面

77、，因ln(1+ln(1+z z) )在从在从z=-1z=-1向左沿负向左沿负实轴剪开的平面内解析，实轴剪开的平面内解析， ln(1+ln(1+z z) )离原点最近的一离原点最近的一个奇点是个奇点是-1,-1,它的展开式的收敛范围为它的展开式的收敛范围为z z1.1.*(1)另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负*定理定理*定理*第十次课11月26日*第十次课*?*?*& 1. 1. 预备知知识& 2. 2. 双双边幂级数数& 3. 3. 函数展开成双函数展开成双边幂级数数& 4. 4. 展开式的唯一性展开式的唯一性4 4 罗朗朗( (LaurentLaurent) )级数数* 1.

78、预备知识4 罗朗(Laurent) 级数* 由由3 知知, , f f ( (z z) ) 在在 z z0 0 解析解析，则 f f ( (z z) )总可以可以在在z z0 0 的某一个的某一个圆域域 z z - - z z0 0 R R 内内展开成展开成 z z - - z z0 0 的的幂级数数. .若若 f f ( (z z) ) 在在 z z0 0 点不解析点不解析，在在 z z0 0的的邻域中就不可能展开成域中就不可能展开成 z z - - z z0 0 的的幂级数，但如果在数，但如果在圆环域域 R R1 1 z z - - z z0 0RR2 2 内解析，内解析，那么，那么，f

79、f ( (z z) )能否用能否用级数表示呢？数表示呢？例如，例如，P127P127* 由3 知, f (z) 在 z0 解析由此推想，若由此推想，若f f ( (z z) ) 在在R R 1 1 z z - - z z0 0 RR2 2 内解析内解析, , f f ( (z z) ) 可可以展开成以展开成级数，只是数，只是这个个级数含有数含有负幂次次项, ,即即*由此推想，若f (z) 在R 1z - z0R2 内本本节将将讨论在以在以z z 0 0为中心的中心的圆环域内解析域内解析的函数的的函数的级数表示法数表示法. .它是后面将要研究的解它是后面将要研究的解析函数在析函数在孤立奇点孤立

80、奇点邻域内的性域内的性质以及定以及定义留数留数和和计算留数的基算留数的基础. .* 本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析*1. 1. 预备知知识Cauchy Cauchy 积分公式的推广到复分公式的推广到复连通域通域-见第三章第第三章第1818题P101P101D Dz z0 0R R1 1R R2 2r rR Rk k1 1k k2 2D D1 1z z*1. 预备知识Cauchy 积分公式的推广到复连通域-见2. 2. 双双边幂级数数-含有正含有正负幂项的的级数数定定义形如形如-双双边幂级数数正正幂项( (包括常数包括常数项) )部分部分：负幂项部分部分：*2. 双边幂级数-含有正负

81、幂项的级数定义形如-双级数数(2)(2)是一是一幂级数，数，设收收敛半径半径为R R2 2 ，则级数数在在z z - - z z0 0= =R R2 2 内收内收敛，且和，且和为s s( (z z) )+ +; ; 在在 z z - - z z0 0 =R=R 2 2外外发散散. . *级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2 ，则级数在*z z0 0R R1 1R R2 2z z0 0R R2 2R R1 1*z0R1R2z0R2R1*A (2)(2)在圆环域的边界在圆环域的边界 z z - - z z0 0 =R=R1 1, , z z - - z z0 0= =R R2 2上上, ,

82、* (2)在圆环域的边界z - z0=R1, z - 3. 3. 函数展开成双函数展开成双边幂级数数定理定理*3. 函数展开成双边幂级数定理*证明明由复由复连通域上的通域上的CauchyCauchy 积分公式：分公式：D Dz z0 0R R1 1R R2 2r rR Rk k1 1k k2 2D D1 1z z记为I I1 1记为I I2 2*证明由复连通域上的CauchyDz0R1R2rRk1k2*式式(*1),(*2)(*1),(*2)中系数中系数c cn n的的积分分分分别是在是在k k2 2， k k1 1上上进行的，在行的，在D D内取内取绕z z0 0的的简单闭曲曲线c c，

83、由复合，由复合闭路路定理可将定理可将c cn n写成写成统一式子：一式子：证毕！级数中正整次数中正整次幂部分和部分和负整次整次幂部分分部分分别称称为洛朗洛朗级数的解析部分和主要部分数的解析部分和主要部分. .*式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进A (2) (2)在许多实际应用中，经常遇到在许多实际应用中，经常遇到f f ( (z z) )在奇点在奇点 z z0 0的邻域内解析，需要把的邻域内解析，需要把f f ( (z z) )展成级数，那么展成级数，那么就利用洛朗（就利用洛朗（ Laurent Laurent ）级数来展开）级数来展开. .* (2)在许多实际应用

84、中，经常遇到f (z)在奇点4. 4. 展开式的唯一性展开式的唯一性结论一个在某一一个在某一圆环域内解析域内解析的函数展开的函数展开为含含有正、有正、负幂项的的级数是唯一的，数是唯一的，这个个级数就是数就是f f ( (z z) )的洛朗的洛朗级数数. .事事实上上，D Dz z0 0R R1 1R R2 2c c*4. 展开式的唯一性结论一个在某一圆环域内解析的函数D Dz z0 0R R1 1R R2 2c c*Dz0R1R2c*A 由唯一性，将函数展开成由唯一性，将函数展开成LaurentLaurent级数，可级数，可用间接法用间接法. .在大多数情况，均采用这一简便的方在大多数情况

85、，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的法求函数在指定圆环域内的LaurentLaurent展开式，只有展开式，只有在个别情况下，才直接采用公式在个别情况下，才直接采用公式(5(5) )求求LaurentLaurent系系数的方法数的方法. .例例1 1解解* 由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可例1解*例例2 2解解例例3 3解解*例2解例3解*例例4 4x xy yo o1 12 2x xy yo o1 12 2x xy yo o1 12 2P132*例4xyo12xyo12xyo12P132*解解: :没没有有奇奇点点*解:没*注意首注意首项*注意首项*(2)(2)对于对于有

86、理函数有理函数的的洛朗展开式，首先把有理洛朗展开式，首先把有理函数分解成多项式与若干个最简分式之和，函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式形式. .小结：把小结：把f f ( (z z) )展成洛朗展成洛朗( ( Laurent Laurent ) )级数的方法：级数的方法：*(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理小结：把f (z)解解 (1) (1) 在在( (最大的最大的) )去心去心邻域域例例5 5y yx xo o1 12 2*解 (1) 在(最大的)去心邻域例5yxo12* (2) (2) 在在

87、( (最大的最大的) )去心去心邻域域x xo o1 12 2练习：* (2) 在(最大的)去心邻域xo12练习：*A (2)(2)根据区域判别级数方式：根据区域判别级数方式：在圆域内需要把在圆域内需要把 f f ( (z z) ) 展成泰勒展成泰勒(Taylor)(Taylor)级数，级数，在环域内需要把在环域内需要把f f ( (z z) )展成洛朗展成洛朗( ( Laurent Laurent ) )级数级数. .* (2)根据区域判别级数方式：*A (3) (3) LaurentLaurent级数与级数与Taylor Taylor 级数的不同点：级数的不同点： TaylorTaylor

88、级数先展开求级数先展开求R, R, 找出收敛域找出收敛域. . LaurentLaurent级数先求级数先求 f(z) f(z) 的奇点，然后以的奇点，然后以 z z0 0 为中心，奇点为分隔点，找出为中心，奇点为分隔点，找出z z0 0到无穷远到无穷远点的所有使点的所有使 f(z) f(z) 解析的环，在环域上展成解析的环，在环域上展成级数级数. .* (3) Laurent级数与Taylor 级数的不同点：*计算沿封闭路线积分中的应用P135*计算沿封闭路线积分中的应用P135*作业P143 12(1)(3),16(2)(3)*作业P143 12(1)(3),16(2)(3)*第五章

89、留数留数*第五章留数*第十一次课12月3日*第十一次课*& 1. 1. 定定义& 2. 2. 分分类& 3. 3. 性性质& 4. 4. 零点与极点的关系零点与极点的关系1 1 孤立奇点孤立奇点* 1. 定义1 孤立奇点* 1. 1. 定定义例如例如-z-z=0=0为孤立奇点孤立奇点-z-z=0=0及及z z=1/=1/n n ( (n = n = 1 , 1 , 2 ,2 , ) )都是它的都是它的奇点奇点-z-z=1=1为孤立奇点孤立奇点定定义* 1. 定义例如-z=0 为孤立奇点-z=0 及z=*x xy yo o这说明奇点未明奇点未必是孤立的必是孤立的. .除此之外，其它奇点除此之外

90、，其它奇点不是孤立的不是孤立的*xyo这说明奇点未除此之外，其它奇点*2. 2. 分分类以下将以下将f f ( (z z) )在孤立奇点的在孤立奇点的邻域内展成洛朗域内展成洛朗级数，根数，根据展开式的不同情况，将孤立点据展开式的不同情况，将孤立点进行分行分类. .考察：考察：特点：特点：没有没有负幂次次项特点：特点：只有有限多个只有有限多个负幂次次项特点：特点：有无有无穷多个多个负幂次次项*2. 分类以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根定定义设z z0 0是是f f ( (z z) )的一个孤立奇点，在的一个孤立奇点，在z z0 0 的去心的去心邻域内，域内，若若f f (

91、(z z) )的洛朗的洛朗级数数没有没有负幂次次项，称，称z z= =z z0 0为可去奇点可去奇点; ;只有有限多个只有有限多个负幂次次项，称，称z z= =z z0 0为m m 级（阶）极点）极点; ;有无有无穷多个多个负幂次次项，称，称z z= =z z0 0为本性奇点本性奇点. .*定义设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻3. 3. 性性质q若若z z0 0为f f ( (z z) )的可去奇点的可去奇点q若若z z0 0为f f ( (z z) )的的m (m m (m 1 1) ) 级极点极点*3. 性质若z0为f (z)的可去奇点若z0为f (z)例如：例如：z

92、z=1=1为f f ( (z z) )的一个三的一个三级极点，极点， z z= = i i为f f ( (z z) )的一的一级极点极点. .q若若z z0 0为f f ( (z z) )的本性奇点的本性奇点*例如：z=1为f (z)的一个三级极点， z=i为f (z4. 4. 零点与极点的关系零点与极点的关系定定义不恒等于不恒等于0 0的解析函数的解析函数f f ( (z z) )如果能表示成如果能表示成则称称z z= =z z0 0为f f ( (z z) ) 的的m m 级零点零点. .例如：例如：*4. 零点与极点的关系定义不恒等于0的解析函数f (z)定理定理事事实上上，必要性得

93、必要性得证！充分性略！充分性略！*定理事实上，必要性得证！充分性略！*例如例如*例如*定理定理: :证明明“ “” ”若若z z0 0为f f ( (z z) )的的m m 级极点极点*定理:证明“”若z0为f (z)的m 级极点*例例解解显然，然，z z= = i i 是是(1+(1+z z2 2) )的一的一级零点零点*例解显然，z=i 是(1+z2) 的一级零点*综合合*综合*& 1. 1. 留数的定留数的定义& 2. 2. 留数定理留数定理& 3. 3. 留数的留数的计算算规则2 2 留数留数(Residue)(Residue)* 1. 留数的定义2 留数(Residue)*1. 1.

94、留数的定留数的定义*1. 留数的定义*定定义设 z z0 0 为 f f ( (z z) ) 的孤立奇点，的孤立奇点， f f ( (z z) ) 在在 z z0 0 邻域内域内的洛朗的洛朗级数中数中负幂次次项 ( (z z- - z z0 0) )1 1 的系数的系数 c c11 称称为f f ( (z z) )在在 z z0 0 的的留数留数，记作作 Res Res f f ( (z z), ), z z0 0 或或 Res Res f f ( (z z0 0) ). .由留数定由留数定义, , Res Res f f ( (z z), ), z z0 0= = c c11 (1)(1)

95、*定义设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在2. 2. 留数定理留数定理定理定理证明明*2. 留数定理定理证明*D Dc cz zn nz z1 1z z3 3z z2 2由复合由复合闭路定理得：路定理得：用用2 2 i i 除上式两除上式两边得得: :得得证！*Dcznz1z3z2 由复合闭路定理得：用2i 除上式两边得A 求沿闭曲线求沿闭曲线c c的积分，归之为求在的积分，归之为求在c c中各孤立中各孤立奇点的留数奇点的留数. . 一般求一般求 Res Res f f ( (z z), ), z z0 0 是采用将是采用将 f f ( (z z) ) 在在 z z0 0 邻

96、域内域内展开成洛朗展开成洛朗级数求系数数求系数 c c1 1 的方法的方法, , 但如果能先知道但如果能先知道奇点的奇点的类型，型，对求留数更求留数更为有利有利. .以下就三以下就三类孤立奇点孤立奇点进行行讨论：3. 3. 留数的留数的计算算规则* 求沿闭曲线c的积分，归之为求在c中各孤立一规则I I规则II II*规则I规则II*事事实上上，由条件，由条件（可以乘比（可以乘比m m阶大的因式）大的因式）*事实上，由条件（可以乘比m阶大的因式）*A当当m m=1=1时，式时，式(5)(5)即为式即为式(4).(4).规则III III事事实上上，*当m=1时，式(5)即为式(4).规则III

97、事实上，*例例1 1解解*例1解*例例2 2解解*例2解*例例3 3解解*例3解*例例4 4解解*例4解*故由留数定理得：故由留数定理得：A(1)(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数，不要死套规则数，不要死套规则. .如如是是f f ( (z z) )的三的三级极点极点. .*故由留数定理得：(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留-该方法方法较规则II II更更简单！*-该方法较规则II更简单！*A(2) (2) 由规则由规则II II 的推导过程知，在使用规则的推导过程知，在使用规则II II时，可将时，可将 m m 取得比实际级数高，这可使计算更取

99、的定理二定理二如果 f (z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末 f (z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.证：除点外, 设f (z)的有限个奇点为zk(k=1,2,.,n). 且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,.,n)包含在它内部的正向简单闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有*定理二如果 f (z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,*所以规则4 成立.*所以规则4 成立.*定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法, 在很多情况下, 它比利用上一段中的方法更简便.例 6*定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法*作

100、作业业P147 P147 1 1（1 1）（）（4 4）（）（7 7） 8 8（2 2）（）（4 4）（）（6 6）（）（8 8） 9 9（1 1）（）（2 2）（）（5 5） *作业P147 1（1）（4）（7）* 留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数.这就要利用解析延拓的概念.留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分.3 留数在定积分计算上的应用如图，对于实积分，变量 x 定义在闭区间 a,b (线段 )，此区间应是回路的一部分.实积分要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个

101、区域中,而实积分成为回路积分的一部分：* 留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分1. 形如的积分, 其中R(cosq,sinq )为 cosq与sinq 的有理函数. 令 z = eiq , 则 dz = ieiq dq , 而*1. 形如其中f (z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零, 根据留数定理有其中zk (k=1,2,.,n)为单位圆 |z|=1内的 f (z)的孤立奇点.例1 计算的值.解由于0p1, 被积函数的分母在0q 2内不为零, 因而积分是有意义的. 由于cos2q = (e2iq + e-2iq ) /2= (z2 + z-2) /

102、2, 因此*其中f (z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1 上分母* 在被积函数的三个极点z=0, p, 1/p中只有前两个在圆周|z|=1内, 其中z=0为二级极点, z=p为一级极点.* 在被积函数的三个极点z=0, p, 1/p中只例2 计算的值.解：令*例2 计算例 3解：*例 3解：*取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半径的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.z1z2z3yCR-RROx不失一般性, 设为一已约分式.*取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半径的在此等式不因CR的半径

103、R不断增大而有所改变.*此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.*例 4*例 4*例 5 解：*例 5 解：*第十三次课12月17日*第十三次课*也可写为例6 计算的值.解这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的. 在上半平面内有一级极点ai,*也可写为例6 计算例4 计算积分的值.解因为是偶函数, 所以*例4 计算积分的值.解因此, 要算出所求积分的值, 只需求出极限下面将证明由于所以*因此, 要算出所求积分的值, 只需求出极限下面将证明由于所以j (z)在z=0处解析, 且j (0)=i, 当|z|充分小时可使|j (z)|2, 而

104、由于在r充分小时,*j (z)在z=0处解析, 且j (0)=i, 当|z|充分*第六章共形映射共形映射*第六章共形映射*& 1. 曲曲线的切的切线& 2. 导数的几何意数的几何意义& 3. 共形映射的概念共形映射的概念1 1 共形映射的概念共形映射的概念* 1. 曲线的切线1 共形映射的概念*1. 曲曲线的切的切线设连续曲线设连续曲线(z)*1. 曲线的切线设连续曲线(z)*(z)*(z)A 定义定义切线随切点的移动而连续转动的有向曲线切线随切点的移动而连续转动的有向曲线称为有向光滑曲线称为有向光滑曲线.(z)* 定义切线随切点的移动而连续转动的有向曲线(z)2. 解析函数解析函数导数的几何

105、意数的几何意义(辐角和模角和模)则则*2. 解析函数导数的几何意义(辐角和模)则即即(1)即即(z)(w)*即(1)即(z)(w)*x*x*(z)(w)保角性保角性*(z)(w) 保角性*由上述讨论我们有由上述讨论我们有*由上述讨论我们有*(z)(w)*(z)(w)*3. 共形映射的概念共形映射的概念定义定义*3. 共形映射的概念定理定理A若上述共形映射定义中，仅保持角度绝对若上述共形映射定义中，仅保持角度绝对值不变，而旋转方向相反，此时称第二类共形映值不变，而旋转方向相反，此时称第二类共形映射。从而，定义中的共形映射称为第一类共形映射。从而，定义中的共形映射称为第一类共形映射。射。*定理若上

106、述共形映射定义中，仅保持角度绝对A * *在D内作以z0为其一个顶点的小三角形, 在映射下, 得到一个以w0为其一个顶点的小曲边三角形, 这两个三角形对应边长之比近似为|f (z0)|, 有一个角相等, 则这两个三角形近似相似.OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2定理一的几何意义定理一的几何意义.*在D内作以z0为其一个顶点的小三角形, 在映射下, 得到一个OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2*OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2*x*x*(z)(w)*(z)(w)*3. 共形映射的概念共形映射的概念定义定义*3. 共形映射的概念定理定理A若上述

107、共形映射定义中，仅保持角度绝对若上述共形映射定义中，仅保持角度绝对值不变，而旋转方向相反，此时称第二类共形映值不变，而旋转方向相反，此时称第二类共形映射。从而，定义中的共形映射称为第一类共形映射。从而，定义中的共形映射称为第一类共形映射。射。*定理若上述共形映射定义中，仅保持角度绝对& 1. 分式分式线性映射的定性映射的定义& 2. 分式分式线性映射的性性映射的性质2 2 分式分式线性映射性映射* 1. 分式线性映射的定义2 分式线性映射*1. 分式分式线性映射的定性映射的定义定义定义A *1. 分式线性映射的定义定义 *分式线性映射分式线性映射(1)总可以分解成下述三种特殊总可以分解成下述三

108、种特殊映射的复合：映射的复合：称为：称为：平移整线性反演平移整线性反演*分式线性映射(1)总可以分解成下述三事实上事实上，*事实上，*定义定义roxyPA 规定无穷远点的对称点为圆心规定无穷远点的对称点为圆心ooTP*定义roxyP 规定无穷远点的对称点为1ox,uy,vzw*1ox,uy,vzw*2. 分式分式线性映射的性性映射的性质*2. 分式线性映射的性质*（详见（详见P195）*（详见P195）*定理定理1*定理1*定理定理2定理定理3A 在分式线性映射下，圆周或直线上没有点在分式线性映射下，圆周或直线上没有点趋于无穷点，则它映射成半径为有限的圆周；若趋于无穷点，则它映射成半径为有限的

109、圆周；若有一点映射成无穷远点，它映射成直线有一点映射成无穷远点，它映射成直线。 *定理2定理3 在分式线性映射下，圆周或直线上没有点*作业P245 1,7,8(1)(5)P246 15(1)(2),16(1)(2)*作业P245 1,7,8(1)(5)*& 1. 1. 分式分式线性映射的存在唯一性性映射的存在唯一性& 2. 2. 举例例3 3 唯一决定分式唯一决定分式线性映射的条件性映射的条件* 1. 分式线性映射的存在唯一性3 唯一决定分式线性映射定理定理1. 1. 分式分式线性映射的存在唯一性性映射的存在唯一性*定理1. 分式线性映射的存在唯一性*证明明*证明*A 式式(1)(1)是三对点

110、所确定的唯一的一个映射。是三对点所确定的唯一的一个映射。所求分式所求分式线性映射性映射因此，式因此，式(1)(1)说明分式明分式线性映射具有保交比不性映射具有保交比不变性。性。* 式(1)是三对点所确定的唯一的一个映射。由分式由分式线性映射的存在唯一性定理知：性映射的存在唯一性定理知：以下以下讨论这个映射个映射会把会把C C的内部映射成什么？的内部映射成什么？( (不可能把不可能把d d1 1的部分映的部分映入入D D1 1，d d1 1的另一部分映入的另一部分映入D D2 2). ).*由分式线性映射的存在唯一性定理知：以下讨论这个映射会把C的内事事实上，上，*事实上，*由以上由以上讨论

111、给出出确定确定对应区域区域的两个方法：的两个方法：*由以上讨论给出确定对应区域的两个方法：*事事实上上*事实上*由上一由上一节和本和本节的的讨论，还有以下有以下结论：*由上一节和本节的讨论，还有以下结论：*A * *例例1 1解解2. 2. 举例例*例1解2. 举例*u uv v( (w w) )x xy y( (z z) )*uv(w)xy(z)*第十五次课12月31日*第十五次课*例例2 2解解*例2解*u uv vo o( (w w) )x xy y( (z z) )o o*uvo(w)xy(z)o*A * *例例3 3解解u uv v( (w w) )x xy y( (z z) )1

112、11 1*例3解uv(w)xy(z)11*例例4 4解解u uv vo o( (w w) )x xy y( (z z) )o oR R*例4解uvo(w)xy(z)oR*例例5 5解解*例5解*x xy y( (z z) )1-1-1i i-i -io ou uv v( (w w) )o o*xy(z)1-1i-iouv(w)o*作业P246 15(1)(2),16(1)(2)*作业P246 15(1)(2),16(1)(2)*& 1. 1. 幂函数函数& 2. 2. 指数函数指数函数4 4 几个初等函数所构成的映射几个初等函数所构成的映射* 1. 幂函数4 几个初等函数所构成的映射*1. 1

113、.幂函数函数幂函数：函数：*1.幂函数幂函数：*x xy y( (z z) )u uv v( (w w) )*xy(z)uv(w)*x xy y( (z z) )上岸上岸下岸下岸u uv v( (w w) )*xy(z)上岸下岸uv(w)*幂函数所构成的映射特点：把以原点函数所构成的映射特点：把以原点为顶点的角点的角形域映射成以原点形域映射成以原点为顶点的角形域，但点的角形域，但张角角变成成了原来的了原来的n n倍，因此，倍，因此，*幂函数所构成的映射特点：把以原点为顶点的角x xy y( (z z) )u uv v( (w w) )i i例例1 1解解: :*xy(z)uv(w)i 例1解:

114、*-i -ix xy y( (z z) )i i1 11 1u uv v( (w w) )例例2 2*-ixy(z)i11uv(w) 例2*2. 2. 指数函数指数函数*2. 指数函数*带形区域角形区域形区域角形区域x xy y( (z z) )ia iau uv v( (w w) )*带形区域角形区域xy(z)iauv(w)*x x y y ( (z z) )上岸上岸下岸下岸u uv v( (w w) )*x y (z)上岸下岸uv(w)*x xy y( (z z) )u u v v ( (w w) )i i例例3 3解解*xy(z)u v (w)i例3解*x xy y( (z z) )a

115、ab b1 1例例4 4解解u uv v( (w w) )*xy(z)ab1例4解uv(w)*x xy y( (z z) )u uv v( (w w) )E EA AB BD DC C例例5 5解解*xy(z)uv(w)EABDC 例5解*答：答：x xy y(z)(z)u uv v(w)(w)*答：xy(z)uv(w)*x xy y(z)(z)-1-11 1例例6 6u uv v( (w w) )*xy(z)-11 例6uv(w)*解解见P244P244例例7 7*解见P244例7*作业P246 19(1)(3)(8)(9)*作业P246 19(1)(3)(8)(9)*复习提纲*复习提纲*感谢聆听

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