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1、TONGJI University平平 板板 理理 论论第五章第五章 薄板的大挠度理论薄板的大挠度理论平平平平板板板板理理理理论论论论大挠度大挠度(也称为几何非线性也称为几何非线性?)问题的理论描述；问题的理论描述；经典求解方法。经典求解方法。仍为小应变问题仍为小应变问题(Large deformation, deflection, displacement)Mar.20121TONGJI University5.1 基本假定基本假定 平平平平板板板板理理理理论论论论1) 板单元的荷载与内力板单元的荷载与内力Mar.20122TONGJI University2) 基本假定基本假定 (1) 板
2、的板的挠度挠度 w 与板厚与板厚 t 为同一数量级为同一数量级，但与板的平面，但与板的平面 尺寸相比较，仍为小量；尺寸相比较，仍为小量； (2) 与挠度与挠度 w 相比较，相比较，中面位移中面位移 u、v 是很小的量；是很小的量； (3) 变形前垂直于中面的直线，变形前垂直于中面的直线，变形后仍为直线变形后仍为直线，且垂，且垂 直于变形后的中面，并直于变形后的中面，并保持原长保持原长； 保持原长保持原长：意味着：意味着 z=0，板厚度不变板厚度不变； 变形后仍为直线变形后仍为直线：意味着：意味着 yz= zx=0，直法线假定直法线假定； 由于由于u、v 引起的引起的面内伸缩一致面内伸缩一致。
3、(4) 正应力正应力 z 与与 x 、 y 、 xy 相比，属于小量。相比，属于小量。平平平平板板板板理理理理论论论论Mar.20123TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论与小挠度理论的不同点与小挠度理论的不同点： 中面内中面内各点各点, 由于挠度由于挠度 w 将产生面内将产生面内(纵向纵向)位移位移u、v; 由于中面位移由于中面位移 u、v, 将产生中面应变和应力；将产生中面应变和应力； 板内各层由于板内各层由于u、v 产生伸缩变形一致。产生伸缩变形一致。小挠度理论小挠度理论大挠度理论大挠度理论Mar.20124TONGJI University5.2 薄板大挠
4、度弯曲的基本方程薄板大挠度弯曲的基本方程5.2.1 中面应变分量与应变协调方程中面应变分量与应变协调方程 设坐标系设坐标系 oxy 与板中面重合，与板中面重合， z 轴向下为正。轴向下为正。 当平板弯曲时，当平板弯曲时，中面上点中面上点 P(x,y,z) 的位移为的位移为 u、v、w，在在x, y方向的正应变为方向的正应变为 x、 y, 剪应变为剪应变为 xy, 中面的曲率及中面的曲率及扭率为扭率为Kx、Ky 。平平平平板板板板理理理理论论论论Mar.20125TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论1) 中面的曲率及扭率中面的曲率及扭率 根据直法线假定根据直法线假定
5、; 且薄板各层由于且薄板各层由于u、v 产生的伸缩产生的伸缩变形是均匀的变形是均匀的; u、v 对挠曲变形对挠曲变形 w 没有影响。因而，没有影响。因而，大变形条件下，挠曲变形模式与小挠度理论中相同，大变形条件下，挠曲变形模式与小挠度理论中相同，故此，两种理论下，故此，两种理论下，中面曲率中面曲率和和扭率扭率表达式相同。表达式相同。 即即Mar.20126TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论2) 中面应变中面应变 中面应变中面应变 x、 y 、 xy，仅由，仅由 u、v、w 产生。产生。 Mar.20127TONGJI University平平平平板板板板理理理理
6、论论论论(1) 由由u、v产生的应变产生的应变 微元的微元的 AB 线变形线变形 变形前长度为变形前长度为dx，变形后长度为，变形后长度为ds1由此长度变化产生的应变为由此长度变化产生的应变为Mar.20128TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论 微元的微元的 AC 线变形线变形 变形前长度为变形前长度为dy，变形后长度为，变形后长度为ds2。由此，同理可得由此，同理可得 dy 长度变化产生的应变长度变化产生的应变Mar.20129TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论 微元的微元的 AB、AC 线角变形线角变形AB线角变形线角变形BC
7、线角变形线角变形则，剪应变为则，剪应变为Mar.201210TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论(2) 由由w 产生的应变产生的应变 微元的微元的AB线因线因w 产生的长度变化，变形后长度为产生的长度变化，变形后长度为ds3； AC线因线因w 产生的长度变化，变形后长度为产生的长度变化，变形后长度为ds4。Mar.201211TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论 微元微元AB线因线因w产生的长度变化，变形后长度为产生的长度变化，变形后长度为ds3由此长度变化产生的应变为由此长度变化产生的应变为Mar.201212TONGJI Univ
8、ersity平平平平板板板板理理理理论论论论 微元微元AC线因线因w产生的长度变化，变形后长度为产生的长度变化，变形后长度为ds4由此长度变化产生的应变为由此长度变化产生的应变为Mar.201213TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论 微元微元AB、 AC线因线因w产生的角变形产生的角变形 xy 由上节几何关系可求得由上节几何关系可求得则则(A)Mar.201214TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论 BAC变形前为直角变形前为直角( /2), 变形后为变形后为 /2- xy , 则则由余弦由余弦定理可求得定理可求得(C)因为因为 x
9、y 为小变形，即有为小变形，即有则式则式(B)简化为简化为(B)Mar.201215TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论由式由式(A)=式式(C)可得到可得到经过简化可得因经过简化可得因 w 产生的剪应变产生的剪应变Mar.201216TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论(3) 总应变总应变 大变形条件下，薄板大变形条件下，薄板中面上的应变中面上的应变几何非线性项几何非线性项Mar.201217TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论大变形条件下，薄板上距中面为大变形条件下，薄板上距中面为z 的点的变形的点的
10、变形Mar.201218TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论 由直法线假定由直法线假定, 得到大变形条件下得到大变形条件下, 薄板上距中面为薄板上距中面为 z的点的应变的点的应变Mar.201219TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论大变形条件下，薄板的应变模式大变形条件下，薄板的应变模式Mar.201220TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论大变形条件下，薄板上距中面为大变形条件下，薄板上距中面为 z 的点的应变的点的应变m=membrane 薄膜薄膜 (合力作用在面内合力作用在面内)；b=bendin
11、g 弯曲弯曲 (合力作用在面外合力作用在面外) 。Mar.201221TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论3) 应变协调方程应变协调方程相容方程相容方程(中面连续条件中面连续条件) x、 y 、 xy 是是 u、v、w 的函数的函数, u、v、w 是坐标是坐标 x、y的函数，则的函数，则 x、 y 、 xy 相互关联。对相互关联。对 x 关于关于 y 求导两次，求导两次，对对 y 关于关于 x 求导两次，对求导两次，对 xy 关于关于x、y各求导一次，得到各求导一次，得到 上式为薄板大挠度弯曲上式为薄板大挠度弯曲中面应变协调方程中面应变协调方程，或称为，或称为中面
12、连续条件中面连续条件。 满足连续条件，中面不发生撕裂，也不发生皱褶。满足连续条件，中面不发生撕裂，也不发生皱褶。Mar.201222TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论5.2.2 应力分量、内力、内力矩应力分量、内力、内力矩 1) 应力分量应力分量 由虎克定律及小挠度理论的前两个假定可得由虎克定律及小挠度理论的前两个假定可得, 距中面距中面为为 z 的点的应力为的点的应力为Mar.201223TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论其中，其中， x、 y 、 xy 为中面应力，称为为中面应力，称为薄膜应力薄膜应力。Mar.201224TO
13、NGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论大变形条件下，薄板的应力模式大变形条件下，薄板的应力模式Mar.201225TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论大变形条件下，薄板上距中面为大变形条件下，薄板上距中面为 z 的点的应力的点的应力Mar.201226TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论2) 内力与内力矩内力与内力矩 (1) 内力矩、横向力与内力矩、横向力与薄膜力薄膜力无关无关, 因而因而, 与小挠度理论与小挠度理论 表达式相同表达式相同内力矩内力矩为为(面内应力沿板厚积分面内应力沿板厚积分)：Mar.2012
14、27TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论横向剪力横向剪力(通过与弯矩的关系式得到通过与弯矩的关系式得到)为：为：Mar.201228TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论 根据直法线假定根据直法线假定, 薄膜应力薄膜应力 x、 y、 xy 沿板厚均匀分布沿板厚均匀分布,则中面力则中面力薄膜力薄膜力可表示为可表示为(沿板厚积分沿板厚积分)：(2) 中面内力中面内力薄膜力薄膜力 m b单位宽度的中面力单位宽度的中面力?Mar.201229TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论中面应变与内力的关系中面应变与内力的关
15、系Mar.201230TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论将内力代入应力表达式，得到用内力表示的应力将内力代入应力表达式，得到用内力表示的应力上式中，第一项为上式中，第一项为薄膜应力薄膜应力，第二项为，第二项为弯曲应力弯曲应力。在小挠度理论中，薄膜应力为在小挠度理论中，薄膜应力为0。Mar.201231TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论 5.2.3 基本微分方程基本微分方程 与小挠度理论与小挠度理论不同不同: 板单元的内力增加了薄膜内力板单元的内力增加了薄膜内力; 建立平衡方程的条件建立平衡方程的条件：板的状态：板的状态?Mar.2
16、01232TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论1) 基本方程基本方程 根据板微元的平衡方程，确定力与变形间的关系。根据板微元的平衡方程，确定力与变形间的关系。(1) 由由 Fx=0(2) 由由 Fy=0(1)(2)Mar.201233TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论(3) 由由 Fz=0 横向内力及荷载产生的分量横向内力及荷载产生的分量 薄膜力产生的分量薄膜力产生的分量Nx 因板挠曲变形在因板挠曲变形在 z 向产生的分量为向产生的分量为Mar.201234TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论略去高阶项
17、，变为略去高阶项，变为Mar.201235TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论同理，同理，Ny 因板挠曲变形在因板挠曲变形在 z 向产生的分量为向产生的分量为Nxy、Nyx因板挠曲变形在因板挠曲变形在 z 向产生的分量向产生的分量Mar.201236TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论Nxy、Nyx 因板挠曲变形在因板挠曲变形在 z 向产生的分量为向产生的分量为Mar.201237TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论 z 向内力平衡方程向内力平衡方程将将 Fx=0、 Fy=0的平衡条件代入的平衡条件代入
18、Fz=0，简化可得，简化可得(3)Mar.201238TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论 (4) 由力矩平衡由力矩平衡 M=0条件条件 Mz=0 得到得到(剪力互等剪力互等) Mx=0 得到得到 My=0 得到得到Mar.201239TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论 将将Qx、Qy代入式代入式(3)得到得到挠曲方程挠曲方程或或控制微分方程控制微分方程说明：上式中的说明：上式中的中面内力中面内力Nx、Ny、Nxy是由横向剪力是由横向剪力q 引起引起的，而不是由面内纵向荷载引起，所以，的，而不是由面内纵向荷载引起，所以， Nx、Ny
19、、 Nxy 是是未知的。未知的。 因而，方程式因而，方程式(4)有有4个未知量个未知量w和和Nx、Ny、 Nxy，也即，也即方程组方程组 (1)、(2)、(4)有有4个未知数，不能求得唯一解，需要个未知数，不能求得唯一解，需要考虑变形协调关系。考虑变形协调关系。(4)Mar.201240TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论将应变将应变 x、 y 、 xy与与中面内力中面内力Nx、Ny、 Nxy的关系代入应变的关系代入应变协调方程，可得到协调方程，可得到(5)为了简化方程，引入应力函数为了简化方程，引入应力函数F(x,y)，且令，且令Mar.201241TONGJI
20、 University 平平平平板板板板理理理理论论论论 (6b)应力函数应力函数F(x,y)与中面内力的关系显然满足式与中面内力的关系显然满足式(1)、(2)；将应力函数将应力函数F(x,y)与中面内力的关系引入式与中面内力的关系引入式(4)、(5)，可得，可得 式式(6)为为平板大挠度弯曲平衡方程平板大挠度弯曲平衡方程, 由由Von Karman 1910年导出。年导出。 根据边界条件求解上式，可得到挠度根据边界条件求解上式，可得到挠度w、应力函数、应力函数F，进而求得板的内力。，进而求得板的内力。(6a)Mar.201242TONGJI University 平平平平板板板板理理理理论论
21、论论 上式为平板小挠度弯曲平衡方程上式为平板小挠度弯曲平衡方程, 即中面不发生面内即中面不发生面内变形时，大挠度弯曲问题退化为小挠度弯曲问题。变形时，大挠度弯曲问题退化为小挠度弯曲问题。 高层建筑结构设计中的刚性楼板问题高层建筑结构设计中的刚性楼板问题，如何解释：，如何解释：面内为刚性；面外为弹性。面内为刚性；面外为弹性。板的实际变形板的实际变形(与厚度之比与厚度之比)? 工程上的精度要求工程上的精度要求?2) 特殊情形特殊情形 (1) 刚性板刚性板 板中面为中性面，即中面薄膜力为板中面为中性面，即中面薄膜力为0，式，式(6)中可取中可取 F(x,y)=0，基本平衡方程变为，基本平衡方程变为M
22、ar.201243TONGJI University 平平平平板板板板理理理理论论论论 上式为上式为膜的平衡方程膜的平衡方程, 横向荷载由中面内力平衡。横向荷载由中面内力平衡。(2) 柔性板柔性板 薄板弯曲刚度很小薄板弯曲刚度很小, 与中面薄膜力相比与中面薄膜力相比, 弯曲应力可以弯曲应力可以忽略，令忽略，令D=0，薄板弯曲刚度为，薄板弯曲刚度为0，称为绝对柔性板。，称为绝对柔性板。基本平衡方程变为基本平衡方程变为Mar.201244TONGJI University 平平平平板板板板理理理理论论论论 大挠度弯曲方程求解大挠度弯曲方程求解w、F，需给出相应的边界条件。，需给出相应的边界条件。关
23、于关于 w 的边界条件与小挠度理论相同的边界条件与小挠度理论相同；关于；关于 F 的边界条的边界条件需要增加。件需要增加。5.2.4 边界条件边界条件1) 边界上有已知力边界上有已知力Nx、Ny 、Nxy 边界条件为边界条件为x=ay=bMar.201245TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论 上列边界条件不能直接应用上列边界条件不能直接应用, 需进行变换，将位移需进行变换，将位移与应力函数联系起来。与应力函数联系起来。2) 边界上有已知位移边界上有已知位移 u、v 边界条件为边界条件为y=b 中面正应变中面正应变 x(a)Mar.201246TONGJI Uni
24、versity平平平平板板板板理理理理论论论论 上式中的上式中的 未知，不能直接采用，需要进一步转换。未知，不能直接采用，需要进一步转换。上式对上式对 y 积分得到积分得到中面剪应变中面剪应变 xyMar.201247TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论 令上式令上式=(a)式式, 简化后得到简化后得到在关于在关于 x 求导得到求导得到上式关于上式关于y求导，得到求导，得到(b)式式(a)、(b)为所得到的为所得到的y=b的边界条件。的边界条件。Mar.201248TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论 特殊情形：当特殊情形：当y=b处
25、，处，u=v=0，则边界条件变为，则边界条件变为(a)(b)Mar.201249TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论相应的边界条件为相应的边界条件为3) 边界纵向边界纵向(面内面内)无约束，即无约束，即 x=0时，时，x、y 方向中面力为方向中面力为0y=0Mar.201250TONGJI University5.3 无限长薄板的大挠度弯曲无限长薄板的大挠度弯曲 平平平平板板板板理理理理论论论论1) 几何形式与荷载几何形式与荷载 荷载为：荷载为： q=q(x) 道路道路? 因板为无限长，如图所示因板为无限长，如图所示, 丄丄y 的轴均为对称轴的轴均为对称轴, 则内
26、力则内力与变形的特征为与变形的特征为 Mar.201251TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论2) 平衡方程平衡方程由由 Fx=0 得得 或或由由 Fz=0 得得令令方程变为方程变为(a)Mar.201252TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论由几何方程可得由几何方程可得3) 求解求解 因因x轴为对称轴，轴为对称轴，w=w(x)，则，则 v=0， y=0由物理方程可得由物理方程可得(b)由由(a)、(b)组成的方程组，利用组成的方程组，利用u 的边界条件，可求得的边界条件，可求得Nx、w 的表达式。的表达式。Mar.201253TON
27、GJI University5.4 变分法求解技术变分法求解技术 平平平平板板板板理理理理论论论论1) 变形能表达式变形能表达式 薄板的变形能包括：弯曲变形能薄板的变形能包括：弯曲变形能Ub 和薄膜应变能和薄膜应变能Um。 弯曲变形能弯曲变形能Ub：Mar.201254TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论 将关系式将关系式薄膜应变能薄膜应变能Um：代入上式得到代入上式得到Mar.201255TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论用应力表示用应力表示用应变表示用应变表示用应力函数表示用应力函数表示Mar.201256TONGJI Univ
28、ersity平平平平板板板板理理理理论论论论用位移表示用位移表示Mar.201257TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论2) 外力功外力功3) 总势能总势能Mar.201258TONGJI University2) 李兹李兹(Ritz)法法 设位移函数设位移函数 u、v、w 分别为：分别为：平平平平板板板板理理理理论论论论其中，函数其中，函数 um、vm、wm (m=1,2,) 均满足边界条件，均满足边界条件， Am、Bm、Cm 为互不相关的独立待定参数为互不相关的独立待定参数试函数试函数Mar.201259TONGJI University平平平平板板板板理理理
29、理论论论论 将函数将函数 u、v、w 代入总势能方程代入总势能方程, 可得到关于可得到关于 Am、Bm、Cm 的代数方程的代数方程根据最小势能原理根据最小势能原理, 对对 分别关于分别关于 Am、Bm、Cm 求导求导, 且令且令相应的导数等于相应的导数等于0，则得到关于，则得到关于Am、Bm、Cm的方程组的方程组 由以上方程可求得由以上方程可求得 Am、Bm、Cm，进而即可得到位移，进而即可得到位移函数函数u、v、w。Mar.201260TONGJI University5.5 圆形薄板大挠度弯曲的基本方程圆形薄板大挠度弯曲的基本方程 平平平平板板板板理理理理论论论论1) 平衡方程平衡方程 利
30、用直角坐标系与柱面坐标系间的变换关系，有利用直角坐标系与柱面坐标系间的变换关系，有若取若取 r 轴与轴与 x 轴重合，又有轴重合，又有Mar.201261TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论极坐标系下的平衡方程极坐标系下的平衡方程 其中其中 Mar.201262TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论2) 内力表达式内力表达式 中面内力：中面内力：Mar.201263TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论 弯矩：弯矩：剪力：剪力：Mar.201264TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论
31、论论3) 轴对称弯曲轴对称弯曲 对称条件对称条件：几何形状、边界条件、荷载均为轴对称。：几何形状、边界条件、荷载均为轴对称。(1) 平衡方程平衡方程Mar.201265TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论上式乘上式乘 r 并积分，得到并积分，得到由于轴对称，则在由于轴对称，则在r=0处，处， =0，上式进一步简化为，上式进一步简化为Mar.201266TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论(2) 内力表达式内力表达式 薄膜力：薄膜力：Mar.201267TONGJI University平平平平板板板板理理理理论论论论弯矩：弯矩：剪力：剪力：Mar.201268TONGJI University应变分量：应变分量：平平平平板板板板理理理理论论论论Mar.201269TONGJI University谢谢 谢谢 ！ Mar.201270
