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1、第六章 定积分的应用 第六章第六章 （ Applications of Definite Integral）二、定积分在几何学上的应用二、定积分在几何学上的应用 一、定积分的元素法一、定积分的元素法三、思考与练习三、思考与练习7/26/20241一、定积分的元素法1. 什么问题可以用定积分解决什么问题可以用定积分解决 ?表示为1) 所求量 U 是与区间a , b上的某分布 f (x) 有关的2) U 关于区间 a , b 具有可加性可加性 ,即可通过“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极取极限限”定积分定义一个整体量 ;7/26/20242第一步第一步 利用“化整为零 , 以常
2、代变” 求出局部量的微分表达式第二步第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的积分表达式这种分析方法成为元素法元素法 (或微元分析法微元分析法)元素的几何形状常取为: 条、带、段、条、带、段、 环、扇、片、壳环、扇、片、壳 等近似值精确值2. 如何应用定积分解决问题 ?7/26/202436.2 定积分在几何学上的应用 1. 平面图形的面积平面图形的面积7/26/202447/26/202457/26/20246解解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当 a = b 时得圆面积公式例3 求椭圆求椭圆7/26/20247求由曲线及围成的曲边
3、扇形的面积 .在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为7/26/202487/26/20249设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,2. 平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积7/26/202410轴旋转一周围成的立体体积时,特别地, 当考虑连续曲线段有当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有7/26/202411所围图形绕 x 轴轴旋转而转而成的椭球体的体积.解解: （方法（方法1） 利用直角坐标方程利用直角坐标方程则(利用对称性利用对称性)例5 计算由椭圆7/
4、26/202412则特别地，当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积（方法2） 利用椭圆参数方程7/26/202413并与底面交成 角,解解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为垂直于x 轴轴 的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .例6 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,7/26/202414此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?提示提示:思考: 可否选择可否选择 y 作积分变量作积分变量 ?7/26/202415垂直 x 轴的截面是椭圆所围立体(椭球体)解解:它的面积为因此椭球体体积为特别当 a = b = c 时就是球体体积 .的
5、体积.例7 计算由曲面7/26/202416定义定义 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧曲线弧 AB 的弧长的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的曲线弧为可求长的.定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.( (证明略证明略) )则称3. 平面曲线的弧长平面曲线的弧长7/26/202417弧长元素(弧微分) :因此所求弧长(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:7/26/202418弧长元素(弧微分) :因此所求弧长(2) 曲线弧由参数方程给出:7/26/202419因此所求弧长则得弧长元素(弧微分) :(3) 曲线弧由极坐标
6、方程给出:7/26/202420解解:的弧长.例8 求连续曲线段7/26/202421一拱的弧长 .解解:例9 计算摆线7/26/20242202 一段的弧长 . 解解:例10 求阿基米德螺线相应于7/26/202423内容小结1. 掌握定积分的掌握定积分的元素法元素法，并会应用，并会应用 元素法元素法来解决一来解决一些几何和物理方面的问题。些几何和物理方面的问题。2. 定积分几何学上的应用定积分几何学上的应用（1）平面图形面积（）平面图形面积（直角坐标系、极坐标和参数方程直角坐标系、极坐标和参数方程）（2）平行截面面积为已知的立体的体积（含）平行截面面积为已知的立体的体积（含旋转体旋转体） （3）平面曲线的弧长）平面曲线的弧长（三种形式）（三种形式） 7/26/202424思考与练习1. 用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .提示提示: 交点为弧线段部分弧线段部分直线段部分直线段部分以 x 为积分变量 , 则要分两段积分, 故以 y 为积分变量. 7/26/202425与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.解解: 利用对称性 ,故旋转体体积为在第一象限 2. 求曲线7/26/202426
