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1、4.1 导数概念的经济学应用导数概念的经济学应用4.2 微分中值定理简介微分中值定理简介4.3 洛必达法则洛必达法则4.4 函数的单调性及曲线的凹凸性函数的单调性及曲线的凹凸性4.5 函数的极值与最大最小值函数的极值与最大最小值4.6* 函数图形的描绘函数图形的描绘第四章第四章 微分中值定理及导数应用微分中值定理及导数应用 P1014. 1 导数概念的经济学应用导数概念的经济学应用1 1 导数概念导数概念的经济学解释的经济学解释 2P1013P1014P1015P1016P1022 2 边际分析边际分析 7P1028P1029P10310P103解解所得到的所得到的结结果表明果表明销销售第售第
2、2001套套扩扩音器音器系系统统所增加的收入大所增加的收入大约为约为 320 美元美元11P104解解所得到的结果表明销售第所得到的结果表明销售第2001套扩音器系统所套扩音器系统所增加的利润大约为增加的利润大约为 220 美元美元3 3 弹性分析弹性分析 12P10413P10414P104即弹性刻画了函数值对自变量即弹性刻画了函数值对自变量 相对变化的强烈程度相对变化的强烈程度(灵敏度或幅度灵敏度或幅度)15P10516P10617P106例例8 某种商品一周的需求量某种商品一周的需求量QQ件与其价格件与其价格P P（元）（元）具有如下的具有如下的函数关系函数关系一周内制造件一周内制造件该
3、该商品的商品的总总成本成本为为(1) 求求出出收收入入函函数数R R、利利润润函函 数数L L解解（3 3）求）求边际边际平均成本函数平均成本函数（2 2）求出求出边际边际成本函数、成本函数、边际边际收入函数、收入函数、边际边际利利润润函数函数18P106（3 3）求）求边际边际平均成本函数平均成本函数（2 2）求出求出边际边际成本函数、成本函数、边际边际收入函数、收入函数、边际边际利利润润函数函数19P10620P10721P107P107 ,4. 1习题习题123224.1复习复习234. 2 微分中值定理简介微分中值定理简介1 1 罗尔罗尔(Rolle)定理定理 24P109 若不满足罗
4、尔定理中的三个条件，则罗尔定理的若不满足罗尔定理中的三个条件，则罗尔定理的结论就不一定成立结论就不一定成立 25P109 罗尔定理中的条件是充分条件不是必要条件罗尔定理中的条件是充分条件不是必要条件 26例例1.验证函数验证函数 在闭区间在闭区间-3,3应用罗尔定理的正确性应用罗尔定理的正确性 解解 所以所以f(x)在闭区间在闭区间0,4应用罗尔定理正确。应用罗尔定理正确。27P11028P110 解解 2 拉格朗日拉格朗日(Langrange)中值定理中值定理29P11130P11131P111例例6 6证证32P112例例5 5* *证证3334P112* 3 * 3 柯西柯西(Cauch
5、y)中值定理中值定理35P112P113 ,4. 2习题习题1（1） （3）4 （1）36P11237Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；（2）利用中值定理证明不等式主要是建立函数）利用中值定理证明不等式主要是建立函数f(x)复习复习未定式未定式 如果在某一过程中如果在某一过程中 函数函数f(x)与与F(x)同是无穷大量或同是同是无穷大量或同是 其他类型的未定式其他类型的未定式 例如例如 下列极限都是未定式下列极限都是未定式 P113384. 3 洛
6、必达法则洛必达法则:利用导数求极限的一种方法利用导数求极限的一种方法39P11340P11341P114解解解解解解42P115解解解解解解43P115解解44P115解解45P115解解解解46P116解解47P116解解解解48直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则P116*例例13另解另解49P116解解50P11751P117不存在不存在此此时时洛必达法洛必达法则则不能用不能用52三、小结三、小结洛必达法则洛必达法则P117 ,4. 3习题习题(1) (2) (9) (10) (21)4. 4 函数的单调性及曲线的凹凸性函数的单调性及曲线的凹凸性1
7、 1 函数的单调性函数的单调性 53P11854P118 y yx( , -2)-2(-2, 4)4(4, )60极大值极大值48极小值极小值+0-0+列表判断列表判断 55P11856P119 y yx( , 0)00, 1/4)1/4(1/4, )60极小值极小值-不存在不存在-0+列表判断列表判断 57P119证证导数应用：导数应用：利用函数单调性利用函数单调性先构造函数先构造函数58P1192 2 曲线的凹凸性曲线的凹凸性凸凹凹59P120凸凹凹60P12061P12162列表判断列表判断 解解二阶导数确定凹凸向和拐点二阶导数确定凹凸向和拐点P12163P121P121 ,4. 4习题
8、习题3（1）6（1）4. 5 函数的极值与最大最小值函数的极值与最大最小值1 1极值极值的概念的概念 64P122 函数函数图图形上有些点比其周形上有些点比其周围围点高，点高，有些点比比其周有些点比比其周围围点低点低.极大值点、极小值点统称为极大值点、极小值点统称为极值点极值点，极大值、极小值统称为，极大值、极小值统称为极值极值.2 2 极值的求法极值的求法 65P122极值点为驻点或导数不存在的点极值点为驻点或导数不存在的点P12366P118 y yx( , -2)-2(-2, 4)4(4, )60极大值极大值-48极小值极小值+0-0+列表判断列表判断 P12367 y yx( , 0)
9、0(0, 8)8(8, )0极小值极小值4极大值极大值-不存在不存在+0-列表判断列表判断 P12368P12469P12470P124所以函数有极小值所以函数有极小值,3 3 函数的最大最小值函数的最大最小值71P12572P12573P12674P12675P126是是函数函数的的极小值极小值,76P126 设圆柱形易拉罐高为设圆柱形易拉罐高为h ，底面半径为，底面半径为 r， 并假定侧面厚度为并假定侧面厚度为m ，则顶部和底面，则顶部和底面的厚度分别为的厚度分别为2m ，所需材料为，所需材料为解解易拉罐易拉罐取上述取上述的高和底面直径，易拉罐所用材料最省的高和底面直径，易拉罐所用材料最省
10、。4 4 经济应用中的最大、最小值的例经济应用中的最大、最小值的例77P127是是函数函数的的极小值极小值,例例1212某房地产公司有某房地产公司有100套公寓要出租，当租金定为每月套公寓要出租，当租金定为每月5000元时，公寓会全部租出去当租金每月增加元时，公寓会全部租出去当租金每月增加100元元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费费300元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？收入？解解 设房租为每月设房租为每月 x 元，元，租出去的房子有租出去的房子有 套，套，每月总收入为每月总收
11、入为租不出去租不出去套数套数78P127唯一驻点唯一驻点故每月每套租金为故每月每套租金为7650元时收入最高。元时收入最高。最大收入为最大收入为P127 ,4. 5习题习题1（1）2（1）6(1)一阶导数确定单调性和极值一阶导数确定单调性和极值 (2)二阶导数确定凹向和拐点二阶导数确定凹向和拐点(3)求最大值与最小值求最大值与最小值凸凸凹凹凹凸分界点凹凸分界点4-5小结小结*4. 6 函数图形的描绘函数图形的描绘1 1 曲线的渐近线曲线的渐近线80P128渐渐近近线线分水平分水平渐渐近近线线、铅铅直直渐渐近近线线、斜、斜渐渐近近线线三种三种1. 水平渐近线水平渐近线 如果曲线如果曲线y f(x
12、)的定义域是无限区间的定义域是无限区间 且且则直线则直线y b为曲线为曲线y f(x)的渐近线的渐近线 称为水平渐近线称为水平渐近线 解解 因为因为 2. 铅垂渐近线铅垂渐近线 如果曲线如果曲线y f(x)有有则直线则直线x c为曲线为曲线y f(x)的一条渐近线的一条渐近线 称为铅垂渐近线称为铅垂渐近线 解解 因为因为 81 解解 因为因为 所以所以x1是曲线的铅垂渐近线是曲线的铅垂渐近线 因为因为 所以所以y x 1是曲线的斜渐近线是曲线的斜渐近线 823. 斜渐近线斜渐近线 如果如果则则y ax b是曲线是曲线y f(x)的一条渐近线的一条渐近线 称为斜渐近线称为斜渐近线 其其中中 2.
13、 函数图形的作法函数图形的作法 描绘函数的图形时需要考察的项目描绘函数的图形时需要考察的项目 (1)确定函数的定义域确定函数的定义域 (2)确定曲线的对称性确定曲线的对称性 (3)讨论函数的单调性和极值讨论函数的单调性和极值 (4)讨论曲线的凹向与拐点讨论曲线的凹向与拐点 (5)确定曲线的渐近线确定曲线的渐近线 (6)由由曲曲线线的的方方程程计计算算出出一一些些点点的的坐坐标标 特特别别是是曲曲线线与与坐坐标轴的交点坐标标轴的交点坐标 83P129C(1, 2) E(2, 1) D(1, 6) (6)作出函数的图形 F(3 2/9) B(2, 3) ABCEF (4)曲线有水平渐近 y2 和铅
14、垂渐近线x0 84P129(1)定义域为定义域为(, 0) (0, + ) 解解 (4)曲线有水平渐近线y0 (5)先作出区间(0, )内的图形 然后利用对称性作出区间(, 0)内的图形 解解 (3)列表列表 (1)函数是偶函数函数是偶函数 定义域为定义域为(, ), 图形关于图形关于y轴对称轴对称 P131P131 ,4. 6习题习题1（1）*3（1） 某化工厂的生产总成本某化工厂的生产总成本C（单位：元）是产量（单位：元）是产量Q（单位：（单位：件）的函数。件）的函数。解解86P107 ,4. 1习题习题1；2; 3习题解习题解元元/件件当生产量为当生产量为50件时，再多生产一件产品，成本
15、大约为件时，再多生产一件产品，成本大约为17.5元。元。87解解 解解 8889解解显然显然f(x)满足罗尔定理的三个条件满足罗尔定理的三个条件 解解所以由拉格朗日中值公式得所以由拉格朗日中值公式得 由拉格朗日中值公式由拉格朗日中值公式P113 ,4. 2习题习题1（1）(3)4(1)解解解解解解P117 ,4. 3习题习题(1）(2)(9)(10)(21)解解解解 当当x (, 1)时时 f (x)0 函数函数f(x)在在(, 1)内单调增加内单调增加 解解确定函数的单调增减区间确定函数的单调增减区间函数函数f(x)在在(2, )内单调增加内单调增加 当当x (2, )时时 f (x) 0
16、P121 ,4. 4习题习题3（1）6（1） y yx( , 1)1(1, 2)2(2, )-0+0列表判断列表判断 +函数函数f(x)在在(1, 2)内单调少内单调少 当当x (1, 2)时时 f (x)0 一阶导数确定单调性和极值一阶导数确定单调性和极值所以函数所以函数f(x)在在x=1取得极大值取得极大值2 函数函数f(x)在在x=2取得极小值取得极小值1 解解 求曲线求曲线y 3x4 4x3 1的凹向与拐点的凹向与拐点 y 12x3 12x2 y36x2 24x 12x(3x 2) 令令y0 列表判断列表判断 曲线在区间曲线在区间( 0) ( 2/3 )内凹内凹 在区间在区间(0 2/
17、3 )内凸内凸 曲线上点曲线上点(0 1)和和(1 0)是拐点是拐点 92二阶导数确定凹向和拐点二阶导数确定凹向和拐点解解 列表判断列表判断 f(x) f (x) 00 x( 0) 02(2 )(0 2) 931（2）求函数的极值求函数的极值所以函数所以函数f(x)在在x=0取得极大值取得极大值4 函数函数f(x)在在x=2取得极小值取得极小值0 P127 ,4. 5习题习题1（2）4，794设设某某产产品日品日产产量量为为Q Q件件时时, 需要付出的需要付出的总总成本成本为为求求 (1)平均成本函数平均成本函数（2 2）平均成本最小）平均成本最小时时的生的生产产量；量；（3 3）平均成本等于
18、）平均成本等于边际边际成本成本时时的生的生产产量；量；解解 95解解 总总成本函数成本函数为为需求函数需求函数为为96P131 ,4. 6习题习题1（1）3（1）所以曲线所以曲线水平渐近线水平渐近线所以曲线所以曲线铅直渐近线铅直渐近线所以曲线所以曲线没有斜渐近线没有斜渐近线求曲线的求曲线的渐近线渐近线9798三、解答以下各题（每小题三、解答以下各题（每小题4分）分）解解解解二阶导数确定凹向和拐点二阶导数确定凹向和拐点练习题练习题099六、综合应用题（本题六、综合应用题（本题10分）分）设函数设函数 求函数的单调区间、极值点极值求函数的单调区间、极值点极值 解解 y yx( , 0)00, 8)
19、8(8, )0极小值极小值4极大值极大值-不可导不可导+0-一阶导数确定单调性和极值一阶导数确定单调性和极值100 解解 (1) 所以所以Q 200时时 平均成本最小平均成本最小 Q2 40000 Q 200(取正值取正值) 令令 C 0 得得求最大值与最小值求最大值与最小值七（七（10分）已知某厂生产分）已知某厂生产Q件产品的成本为件产品的成本为 求：（求：（1） 若使平均成本最小，应生产多少件产品若使平均成本最小，应生产多少件产品？ （2） 若产品以每件若产品以每件60元售出，要使利润最大，应生产多少元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？件产品？(2) 令令L (Q) 0，Q 1500
20、所以当所以当 Q 1500时总利润时总利润L最大最大 101 洛必达法则洛必达法则通通分分再用洛必达法则再用洛必达法则附加题（附加题（6分）分）102 解解 理论证法理论证法实际证法实际证法结束结束1031. 函数函数 在闭区间在闭区间0,3满足罗尔定理的条件，满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的由罗尔定理确定的练习题练习题1 2. 设某商品的成本函数为设某商品的成本函数为 ，其中，其中Q为生产量，其单为生产量，其单位为件，为总成本位为件，为总成本C，单位为元。边际成本，单位为元。边际成本 的的经济学含义是（经济学含义是（ ）4. 设函数设函数 求函数的单调区间、极值点、求函数的单调区间、极值
21、点、极值，以及函数图象的凹凸区间、拐点坐标。极值，以及函数图象的凹凸区间、拐点坐标。 5、已知某厂生产、已知某厂生产x件产品的成本为件产品的成本为 （元）（元），求：，求：（1） 若使平均成本最小，应生产多少件产品若使平均成本最小，应生产多少件产品？ （2） 若产品以每件若产品以每件110元售出，要使利润最大，应生产多少元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？件产品？1041. 函数函数 在闭区间在闭区间0,3满足罗尔定理的条件，满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的由罗尔定理确定的练习题练习题1 2. 设某商品的成本函数为设某商品的成本函数为 ，其中，其中Q为生产量，其单为生产量，其单位为件，
22、为总成本位为件，为总成本C，单位为元。边际成本，单位为元。边际成本 的的经济学含义是（经济学含义是（ ）当生产量为当生产量为100件时，再多生产一件产品，成本大约为件时，再多生产一件产品，成本大约为20元。元。洛必达法则洛必达法则1054. 设函数设函数 求函数的单调区间、极值点、求函数的单调区间、极值点、极值，以及函数图象的凹凸区间、拐点坐标。极值，以及函数图象的凹凸区间、拐点坐标。 解解 y yx( , 0)0(0, 2)2(2, )0极小值极小值4极大值极大值-0+0-一阶导数确定单调性和极值一阶导数确定单调性和极值二阶导数确定凹向和拐点二阶导数确定凹向和拐点列表判断列表判断 列表判断列
23、表判断 曲线在区间曲线在区间( 1) 凹凹 (1 )凸凸 点点(1 2)是拐点是拐点 xy y1(- , 1)(1, + ) 0 2,拐点拐点说明略说明略1065、已知某厂生产、已知某厂生产x件产品的成本为件产品的成本为 （元）（元），求：，求：（1） 若使平均成本最小，应生产多少件产品若使平均成本最小，应生产多少件产品？ （2） 若产品以每件若产品以每件110元售出，要使利润最大，应生产多少元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？件产品？解解 (1) 所以所以x 400时时 平均成本最小平均成本最小 x2 160000 x 400(只取正值只取正值) 令令 C 0 得得求最大值与最小值求最大
24、值与最小值(2) 令令L (x) 0 得得 x 4000 所以当所以当x 4000时总利润时总利润L最大最大 107证证导数应用：导数应用：利用函数单调性利用函数单调性先构造函数先构造函数1081.确定函数确定函数f(x）的单调增区间）的单调增区间 练习题练习题24. 设函数设函数 求函数的单调区间、极值点、求函数的单调区间、极值点、极值，以及函数图象的凹凸区间、拐点坐标。极值，以及函数图象的凹凸区间、拐点坐标。 5、已知某厂生产、已知某厂生产x件产品的成本为件产品的成本为 求：（求：（1） 若使平均成本最小，应生产多少件产品若使平均成本最小，应生产多少件产品？ （2） 若产品以每件若产品以每
25、件60元售出，要使利润最大，应生产多元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？少件产品？6.验证函数验证函数 在闭区间在闭区间0,4应用罗尔定理的正确性应用罗尔定理的正确性1091.确定函数确定函数f(x）的单调增区间）的单调增区间 求导数错求导数错练习题练习题2洛必达法则洛必达法则通通分分再用洛必达法则再用洛必达法则1104. 设函数设函数 求函数的单调区间、极值点、求函数的单调区间、极值点、极值，以及函数图象的凹凸区间、拐点坐标。极值，以及函数图象的凹凸区间、拐点坐标。 解解 y yx( , -1)-1(-1, 1)1(1, )-4极小值极小值4极大值极大值-0+0-一阶导数确定单调性和极值
26、一阶导数确定单调性和极值二阶导数确定凹向和拐点二阶导数确定凹向和拐点列表判断列表判断 列表判断列表判断 曲线在区间曲线在区间( 0) 凹凹 (0 )凸凸 点点(0 0)是拐点是拐点 xy y0(- , 0)(0, + ) 0 0,拐点拐点说明略说明略111 解解 (1) 所以所以 x 200时时 平均成本最小平均成本最小 x2 40000 x 200(取正值取正值) 求最大值与最小值求最大值与最小值5、已知某厂生产、已知某厂生产x件产品的成本为件产品的成本为 求：（求：（1） 若使平均成本最小，应生产多少件产品若使平均成本最小，应生产多少件产品？ （2） 若产品以每件若产品以每件60元售出，要
27、使利润最大，应生产多元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？少件产品？(2) 令令L (x) 0，x 1500 所以当所以当 x 1500时总利润时总利润L最大最大 1126.验证函数验证函数 在闭区间在闭区间0,4应用罗尔定理的正确性应用罗尔定理的正确性 解解 所以在闭区间所以在闭区间0,4罗尔定理正确。罗尔定理正确。求导数错求导数错1134.1经济学应用经济学应用复习第四章复习第四章微分中值定理及导数应用微分中值定理及导数应用114115(1)罗尔定理罗尔定理如果函数如果函数y f(x)满足条件满足条件 (1)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 (2)在开区间在开区间(a b)内可导内可导
28、 (3)f(a) f(b) 则至少存在一点则至少存在一点 (a b) 使得使得f ( ) 0 解解: 因为因为f(x)在闭区间在闭区间1,2上满足罗尔定理三条件上满足罗尔定理三条件:连续连续,可导和可导和f(1)=0，f(2)=0,所以存在所以存在1(1 12)满足满足f(1)=0, 同理存在同理存在2,(2 2 3) 满足满足 f(2)=0例例 设设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3),求满足罗尔定理的求满足罗尔定理的值值.4.2116(2)中值定理中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如如果果函函数数f(x)满满足足条条件件 (1)在在闭闭区区间间a b上上连连续续 (2)在开区间在开区间(a b)内可导内可导 则至少存在一点则至少存在一点 (a b)内内 使得使得或或 f(b) f(a) f ( )(b a) 例例 设设f(x) ln x 1 x 2 求求 的值使拉格朗日中值公式的值使拉格朗日中值公式成立成立 这里这里a 1 b 2 所以由拉格朗日中值公式得所以由拉格朗日中值公式得 117例例证证1184.3洛必达法则洛必达法则解解解解(1)一阶导数确定单调性和极值一阶导数确定单调性和极值 (2)二阶导数确定凹向和拐点二阶导数确定凹向和拐点(3)求最大值与最小值求最大值与最小值凸凸凹凹凹凸分界点凹凸分界点4-5小结小结
