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1、弯曲变形弯曲变形主讲教师主讲教师 ： 邹翠荣邹翠荣26 26 七月七月七月七月 2024 20242021/6/71第六章第六章 弯曲变形弯曲变形2021/6/72第六章第六章 弯曲变形弯曲变形重点掌握内容：重点掌握内容：1 1、计算梁在荷载作用下的变形问题、计算梁在荷载作用下的变形问题2 2、建立刚度条件、建立刚度条件3 3、利用梁的变形解决超静定问题、利用梁的变形解决超静定问题2021/6/73第一节第一节 梁的变形和位移梁的变形和位移1、挠曲线：、挠曲线：在平面弯曲情况，梁变形后在平面弯曲情况，梁变形后的轴线将成为的轴线将成为xoy平面内的平面内的一条曲线。这条连续、光滑一条曲线。这条连
2、续、光滑的曲线的曲线梁的挠曲线。梁的挠曲线。 （弹性曲线）（弹性曲线）P2021/6/742、截面转角和挠度、截面转角和挠度（梁弯曲变形的两个基本量）（梁弯曲变形的两个基本量）（梁弯曲变形的两个基本量）（梁弯曲变形的两个基本量）（1）挠度：）挠度：梁变形后，横截面的形心在垂直梁变形后，横截面的形心在垂直 于梁轴线（于梁轴线（x 轴）方向上所产生轴）方向上所产生 的线位移，称为梁在截面的挠度。的线位移，称为梁在截面的挠度。 一般情况下，不同一般情况下，不同横截面的挠度值不同。横截面的挠度值不同。 横截面挠度随截面位置（横截面挠度随截面位置（x 轴）而改变轴）而改变的规律用挠曲线方程表示。即：的规
3、律用挠曲线方程表示。即：符号：挠度向下为正，符号：挠度向下为正，符号：挠度向下为正，符号：挠度向下为正， 向上为负。向上为负。向上为负。向上为负。 单位：单位：单位：单位：mmmmyAP2021/6/75（2）转角）转角：横截面绕中性轴所转过的角度。：横截面绕中性轴所转过的角度。 由梁弯曲的平面假设可知：梁的横截面由梁弯曲的平面假设可知：梁的横截面变形前垂直于轴线，变形后仍垂直于挠曲线。变形前垂直于轴线，变形后仍垂直于挠曲线。 A：曲线曲线OAB在在A点的切线与点的切线与X轴间的夹角。轴间的夹角。符号符号：转角从转角从转角从转角从X X轴逆时针转至切线方向为正，轴逆时针转至切线方向为正，轴逆时
4、针转至切线方向为正，轴逆时针转至切线方向为正， 反之为负。反之为负。反之为负。反之为负。 单位：弧度单位：弧度单位：弧度单位：弧度 APyAA A2021/6/76（3）截面挠度与转角的关系）截面挠度与转角的关系挠曲线的斜率：挠曲线的斜率：挠曲线的斜率：挠曲线的斜率：工程中由于是小变形，工程中由于是小变形，工程中由于是小变形，工程中由于是小变形， 极小。可用：极小。可用：极小。可用：极小。可用： 注：注： 挠曲线上任意点处切线的斜率挠曲线上任意点处切线的斜率等于该点处横截面的转角。等于该点处横截面的转角。 APyAA A2021/6/77弹性曲线的小挠度微分方程力学公式数学公式此即弹性曲线的小
5、挠度微分方程2021/6/78挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程yyy yy yyy2021/6/79积分一次：积分一次：积分一次：积分一次：再次积分：再次积分：再次积分：再次积分：积分常数：需要利用边界条件和连续光滑条件来确定。积分常数：需要利用边界条件和连续光滑条件来确定。积分常数：需要利用边界条件和连续光滑条件来确定。积分常数：需要利用边界条件和连续光滑条件来确定。边界条件和连续光滑条件：梁上某些横截面处边界条件和连续光滑条件：梁上某些横截面处 位移为已知的条件。位移为已知的条件。挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程2021/6/710例题例题1：求该悬臂梁的最大挠度和转角：求该悬臂梁
6、的最大挠度和转角解：解：建立坐标、写弯矩方程建立坐标、写弯矩方程建立坐标、写弯矩方程建立坐标、写弯矩方程积分一次：积分一次：积分一次：积分一次：再次积分：再次积分：再次积分：再次积分：第三节第三节 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形PABxL-xLB/yB B2021/6/711利用边界条件确定积分常数：利用边界条件确定积分常数：利用边界条件确定积分常数：利用边界条件确定积分常数：ABxL-xLB/yB B2021/6/712例题例题2：求该简支梁的最大挠度和转角：求该简支梁的最大挠度和转角解：解：建立坐标、建立坐标、写弯矩方程写弯矩方程积分一次：积分一次：积分一次：积分一次：再次积分：再次
7、积分：再次积分：再次积分：2021/6/713利用边界条件确定积分常数：利用边界条件确定积分常数：利用边界条件确定积分常数：利用边界条件确定积分常数：2021/6/714例题例题3：求该简支梁的最大挠度和转角：求该简支梁的最大挠度和转角解：解：建立坐标、建立坐标、写弯矩方程写弯矩方程A AB BC CpL/2L/2L/2L/2xx2021/6/715积分积分积分积分一次：一次：一次：一次：再次再次再次再次积分：积分：积分：积分：利用边界条件确定积分常数：利用边界条件确定积分常数：利用边界条件确定积分常数：利用边界条件确定积分常数：2021/6/7162021/6/717挠挠 度度转转 角角20
8、21/6/718第四节第四节 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形* 叠加法：当梁上同时作用几个荷载时，叠加法：当梁上同时作用几个荷载时， 在小变形情况下，且梁内应力不超过比例极在小变形情况下，且梁内应力不超过比例极限，则每个荷载所引起的变形（挠度和转角）限，则每个荷载所引起的变形（挠度和转角）将不受其它荷载的影响。将不受其它荷载的影响。 即：梁上任意横截面的总位移即：梁上任意横截面的总位移等于各荷载单独作用时，在该等于各荷载单独作用时，在该截面所引起的位移的代数和。截面所引起的位移的代数和。2021/6/719* 荷载叠加：将作用在梁上的荷载分解成单个荷载叠加：将作用在梁上的荷载分解成单个荷
9、载，利用单个荷载作用下梁的挠度和转角的荷载，利用单个荷载作用下梁的挠度和转角的结果进行叠加，就可求得梁在多个荷载作用下结果进行叠加，就可求得梁在多个荷载作用下的总变形。的总变形。B BP1 1P2=+P1P2B BB ByByB1yB22021/6/720y * * 逐段刚化法：将梁分成几段，分别计算各段梁逐段刚化法：将梁分成几段，分别计算各段梁逐段刚化法：将梁分成几段，分别计算各段梁逐段刚化法：将梁分成几段，分别计算各段梁的变形在需求位移处引起的位移，然后计算其总和。的变形在需求位移处引起的位移，然后计算其总和。的变形在需求位移处引起的位移，然后计算其总和。的变形在需求位移处引起的位移，然后
10、计算其总和。即：考虑某段梁的变形时，将其它梁段即：考虑某段梁的变形时，将其它梁段视为刚体，在利用外力平移计算其它梁视为刚体，在利用外力平移计算其它梁段的变形，最后叠加。段的变形，最后叠加。例题例题4：求最大挠度和转角：求最大挠度和转角y1 1L1L2PABCPL1+=PL2L1L2L1PABCA BC2021/6/721PL1L2L1A BCy L1L2PABCPL1+=PL2L1L2L1PABCA BC=+L2L1L2L1PPL1y/3y/3 3y/2 2y/22021/6/722y L1L2PABC2021/6/723例题例题例题例题5 5：求：梁跨中点处的挠度。已知：抗弯刚度：求：梁跨中
11、点处的挠度。已知：抗弯刚度：求：梁跨中点处的挠度。已知：抗弯刚度：求：梁跨中点处的挠度。已知：抗弯刚度EIEI解：解：2021/6/724例题例题例题例题6 6：已知简支外伸梁抗弯刚度：已知简支外伸梁抗弯刚度：已知简支外伸梁抗弯刚度：已知简支外伸梁抗弯刚度EIEI。试求：试求：试求：试求：A A点挠度点挠度点挠度点挠度解：解：PABCLaPABaPPaABCLay1y22021/6/725第五节第五节 提高梁刚度的一些措施提高梁刚度的一些措施1、刚度条件：、刚度条件：2021/6/726例题例题例题例题7 7：已知：已知：已知：已知：P P1 1=2KN=2KN，P P2 2=1KN=1KN。
12、L=400mmL=400mm，a=100mma=100mm，外径外径外径外径D=80mmD=80mm，内径内径内径内径d=40mmd=40mm，E=200GPaE=200GPa，截面截面截面截面C C处挠处挠处挠处挠度不超过两轴承间距离的度不超过两轴承间距离的度不超过两轴承间距离的度不超过两轴承间距离的1010-4-4，轴承，轴承，轴承，轴承B B处转角不超过处转角不超过处转角不超过处转角不超过1010-3-3弧弧弧弧度。试校核该主轴的刚度。度。试校核该主轴的刚度。度。试校核该主轴的刚度。度。试校核该主轴的刚度。P2P1ABCL/2L/2L/2L/2aP2ABy1y2P1ABC2021/6/7
13、27满足刚度条件满足刚度条件P2P1ABCL/2L/2L/2L/2aP2ABy1y2P1ABC2021/6/7282、提高梁刚度的措施、提高梁刚度的措施 注：注： 梁的变形不仅与荷载、支承有关，梁的变形不仅与荷载、支承有关，而且与材料、跨度等也有关。而且与材料、跨度等也有关。（1） 提高梁的抗弯刚度提高梁的抗弯刚度 EI 对弹性模量来说，即使采用高强合金钢也对弹性模量来说，即使采用高强合金钢也只是增加了许用应力，但只是增加了许用应力，但 E 值比较接近，（提值比较接近，（提高梁的抗弯强度的措施）。要增加梁的抗弯刚高梁的抗弯强度的措施）。要增加梁的抗弯刚度还是需要考虑横截面的惯性矩。度还是需要考
14、虑横截面的惯性矩。2021/6/729 梁的变形与横截面的惯性矩成反比，增加梁的变形与横截面的惯性矩成反比，增加惯性矩可以提高梁的抗弯刚度。（与提高梁的惯性矩可以提高梁的抗弯刚度。（与提高梁的抗弯强度的办法相类似）抗弯强度的办法相类似） 为提高梁的强度可以将梁的局部截面为提高梁的强度可以将梁的局部截面惯性矩增加，即采用变截面梁。但对提高惯性矩增加，即采用变截面梁。但对提高梁的刚度收效不大。梁的刚度收效不大。 梁的最大正应力只与最大弯矩所在截面梁的最大正应力只与最大弯矩所在截面有关，而梁在任意指定截面处的位移则与全有关，而梁在任意指定截面处的位移则与全梁的变形有关。要提高梁的刚度，必须使全梁的变
15、形有关。要提高梁的刚度，必须使全梁的变形减小，因此应增大全梁或大部分梁梁的变形减小，因此应增大全梁或大部分梁的截面惯性矩的截面惯性矩2021/6/730（2）调整跨度）调整跨度提高抗弯刚度方法：提高抗弯刚度方法：* * 调整支承调整支承调整支承调整支承外伸梁外伸梁外伸梁外伸梁* * 增加支承增加支承增加支承增加支承超静定超静定超静定超静定2021/6/731挠挠 度度转转 角角2021/6/732超静定梁：可减小变形，降低梁内最大弯矩。超静定梁：可减小变形，降低梁内最大弯矩。第六节第六节 简单超静定梁简单超静定梁例题例题例题例题8 8：试求：图示梁的约束反力：试求：图示梁的约束反力：试求：图示
16、梁的约束反力：试求：图示梁的约束反力 EI EI 为已知。为已知。为已知。为已知。解：解：（1）选取静定基：）选取静定基： 去掉荷载及多去掉荷载及多余约束使原超静定余约束使原超静定结构变为静定的结构变为静定的基基本系统本系统静定基。静定基。2021/6/733（2）得相当系统）得相当系统 将荷载及代替支坐将荷载及代替支坐的多余约束反力重新作的多余约束反力重新作用在静定基上而得到的用在静定基上而得到的系统系统相当系统相当系统（3）列变形协调方程）列变形协调方程 将相当系统的变形将相当系统的变形与原系统的变形相比较，与原系统的变形相比较，列变形协调方程。列变形协调方程。变形协调方程变形协调方程20
17、21/6/734（4）列补充方程）列补充方程列出力与变形间物理方程列出力与变形间物理方程列出力与变形间物理方程列出力与变形间物理方程补充方程补充方程（5）列静平衡方程）列静平衡方程变形协调方程变形协调方程变形协调方程变形协调方程2021/6/735例题例题9：已知：荷载：已知：荷载q，梁梁AB的抗弯刚度为的抗弯刚度为EI、杆杆BC的抗拉压刚度为的抗拉压刚度为EA。试求：试求：BC 杆内力杆内力解解： （1）选取静定基）选取静定基（2）得相当系统）得相当系统 （3 3）将相当系统变形与）将相当系统变形与）将相当系统变形与）将相当系统变形与原系统比较，得变形协调方程：原系统比较，得变形协调方程：原
18、系统比较，得变形协调方程：原系统比较，得变形协调方程：B/BACL LL/2L/2qRBq2021/6/736B/BACL LL/2L/2qRBq2021/6/737例题例题10：悬臂梁受力如图。试用叠加法计算：悬臂梁受力如图。试用叠加法计算ymax解：采用逐段刚化法解：采用逐段刚化法 首先将首先将AB段视为段视为刚体，研究刚体，研究BC段变形：段变形： 再将再将BCBC段视为刚段视为刚体，通过外力平移，体，通过外力平移，研究研究ABAB段变形：段变形：ABCqL/2L/2L/2L/2qy1ABCql2/8ql/2y2= yp + yMy3=( P + M)L/22021/6/738ABCqL
19、/2L/2L/2L/2qy1ABCql2/8ql/2y2= yp + yMy3=( P + M)L/22021/6/739ABCqL/2L/2L/2L/2ABCqL/2L/2L/2L/2ABCqL/2L/2L/2L/22021/6/740叠加法应用于弹性支承与简单刚架 用叠加法求AB梁上E处的挠度 wEwE 1wE 2BwB=?wE = wE 1+ wE 2= wE 1+ wB/ 22021/6/741wB= wB1+ wB2+ wB32021/6/742叠加法斜弯曲梁的位移=? ?2021/6/743习题习题习题习题1 1：已知：已知：已知：已知：P P 、a a、EI EI 。试求试求试求
20、试求（1 1）C C截面的挠度，截面的挠度，截面的挠度，截面的挠度，（2 2）若）若）若）若a=3ma=3m，梁的梁的梁的梁的 =160=160MPaMPa，矩形截面为：矩形截面为：矩形截面为：矩形截面为：5050 120120mmmm。求：求：求：求： P=P=？解：一次超静定解：一次超静定选取静定基选取静定基选取静定基选取静定基 得相当系统得相当系统得相当系统得相当系统得变形协调方程：得变形协调方程：得变形协调方程：得变形协调方程：补充方程补充方程荷载叠加：求荷载叠加：求B点挠度点挠度ABCP2aaABCRBPBCPACBPaPRB2021/6/744强度条件：强度条件：梁上荷载已全部已知
21、，下面求梁上荷载已全部已知，下面求C截面的挠度截面的挠度（2）求许可荷载）求许可荷载ABCP2aaACBPaPRBPaM-+2021/6/745习题习题2：已知：已知：EI为常数，受力如图所示。为常数，受力如图所示。试求：梁的支反力，并画试求：梁的支反力，并画Q、M图。图。解：二次超静定解：二次超静定选取静定基选取静定基选取静定基选取静定基得相当系统得相当系统得相当系统得相当系统得变形协调方程：得变形协调方程：得变形协调方程：得变形协调方程：ABCaaqABCRBRB/q1313qa/16qa/163 3qa/16qa/165qa5qa2 2/16/163qa3qa2 2/16/16+-+20
22、21/6/746习题习题习题习题3 3：图示结构，悬臂梁：图示结构，悬臂梁：图示结构，悬臂梁：图示结构，悬臂梁ABAB和简支梁和简支梁和简支梁和简支梁GDGD均由均由均由均由N N0 01818工字钢工字钢工字钢工字钢制成，制成，制成，制成，BCBC为圆截面钢杆，直径为圆截面钢杆，直径为圆截面钢杆，直径为圆截面钢杆，直径d=20mmd=20mm，梁和杆的弹性梁和杆的弹性梁和杆的弹性梁和杆的弹性模量均为：模量均为：模量均为：模量均为：E=200GPaE=200GPa，若若若若P=30KNP=30KN。试求试求试求试求（1 1）梁和杆内梁和杆内梁和杆内梁和杆内 max max ，（，（，（，（2
23、2）横截面横截面横截面横截面C C的垂直位移。的垂直位移。的垂直位移。的垂直位移。解：一次超静定解：一次超静定得相当系统得相当系统得相当系统得相当系统得变形协调方程：得变形协调方程：得变形协调方程：得变形协调方程：选取静定基选取静定基选取静定基选取静定基由于很小，为方便计算可略去由于很小，为方便计算可略去由于很小，为方便计算可略去由于很小，为方便计算可略去ABGCDP2 2mm2 2mmABRBRB/PGCD2021/6/747ABGCDP2 2mm2 2mmABRBRB/PGCD2021/6/748习题习题习题习题4 4：两悬臂梁间有一滚柱以实现弹性加固，受力情况：两悬臂梁间有一滚柱以实现弹
24、性加固，受力情况：两悬臂梁间有一滚柱以实现弹性加固，受力情况：两悬臂梁间有一滚柱以实现弹性加固，受力情况如图。如图。如图。如图。ABAB梁抗弯刚度为梁抗弯刚度为梁抗弯刚度为梁抗弯刚度为EIEI，DCDC梁抗弯刚度为梁抗弯刚度为梁抗弯刚度为梁抗弯刚度为2 2EIEI。试求：经过滚柱所传递的压力。试求：经过滚柱所传递的压力。试求：经过滚柱所传递的压力。试求：经过滚柱所传递的压力。得相当系统得相当系统得相当系统得相当系统得变形协调方程：得变形协调方程：得变形协调方程：得变形协调方程：选取静定基选取静定基选取静定基选取静定基解：一次超静定解：一次超静定ABDCL/2L/2L/2L/2PPPPL/2RC
25、RC2021/6/749习题习题5：悬臂梁受力如图。已知：悬臂梁受力如图。已知：M、EI、L为为常数。求：使常数。求：使 C=0时，时，P=？，并求此时的，并求此时的yC解：解：ACMPL/2L/2L/2L/22021/6/750习题习题6：试用叠加法计算刚架由于弯曲在：试用叠加法计算刚架由于弯曲在A截面截面 引起的垂直位移及水平位移引起的垂直位移及水平位移xyPAabEI1EI2APy1PMAy2x2021/6/751 梁的连续光滑挠曲线 由M 的方向确定轴线的凹凸性; 由约束性质及连续光滑性确定挠曲线 的大致形状及位置。2021/6/752 梁的连续光滑挠曲线 (1)2021/6/753
26、梁的连续光滑挠曲线 (2)2021/6/754 梁的连续光滑挠曲线 (3)2021/6/7552021/6/756 定义 图形 微分和积分 弯矩方程的奇异函数表示 梁的挠度方程的奇异函数形式 奇异函数的应用2021/6/757 奇异函数定义 奇异函数图形2021/6/758 奇异函数的微分和积分2021/6/759集中力偶作用的情形弯矩方程的奇异函数表示j集中力作用的情形均布力作用的情形2021/6/760 弯矩方程的奇异函数表示MM1 1MM2 2一般情形2021/6/761例题1（1）弯矩方程（只需考虑左端约束力3FP/4 和载荷FP)（2）挠度微分方程用奇异函数确定加力点的挠度和支承处的转角用奇异函数确定加力点的挠度和支承处的转角已知：已知：FP、EI、l（3）微分方程的积分（4）利用约束条件确定积分常数2021/6/762（5）挠度与转角方程2021/6/763部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
