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1、第三章第三章 随机性决策问题与随机性决策问题与效用函数效用函数王仁超 天津大学2021/9/211本章内容本章内容n n1 先验信息与主观概率n n2 效用函数n n3 贝叶斯分析n n*4 随机优势法2021/9/2121 先验信息与主观概率先验信息与主观概率n n先验信息：随机性决策问题特点：自然状态的不确定随机性决策问题特点：自然状态的不确定性引起后果的不确定性。为了进行科学决策，决策人性引起后果的不确定性。为了进行科学决策，决策人在通在通过试验收集自然状态有关信息之前，根据自己的经验、主过试验收集自然状态有关信息之前，根据自己的经验、主观估计自然状态的信息观估计自然状态的信息，称为先验
2、信息，它是贝叶斯决策称为先验信息，它是贝叶斯决策分析的基础。分析的基础。n n主观概率与客观概率n n决策人根据自己的经验所设定的自然状态发生的概率决策人根据自己的经验所设定的自然状态发生的概率称为主观概率；通过随机试验所确定的自然状态发生称为主观概率；通过随机试验所确定的自然状态发生概率称为客观概率。概率称为客观概率。n n先验分布：借助先验信息确定的主观概率分布，先验分布：借助先验信息确定的主观概率分布，称为先验分布称为先验分布2021/9/213主观设定先验分布的方法基础主观设定先验分布的方法基础n n二元关系：比较两个对象某一方面属性的关系。主观比较两个对象某一方面属性的关系。主观概率
3、估计中，比较两个事件发生的可能性概率估计中，比较两个事件发生的可能性n n二元关系假设：二元关系假设：n n连通性：连通性：A A、B B两个事件发生的似然性是可以比较的，且只有以下两个事件发生的似然性是可以比较的，且只有以下一种关系成立，即等可能一种关系成立，即等可能ABAB；A A比比B B更可能更可能A A B B， B B比比A A更可能更可能A A B B。n n传递性：传递性： A A、B B、C C三个事件，若三个事件，若A A B B、BB CC，则，则AA CCn n部分小于全体：设事件部分小于全体：设事件A A B B，则事件，则事件B B的发生似然性的发生似然性AA B
4、B，如，如A A为物价上涨为物价上涨8 81010，B B为物价上涨为物价上涨8 81212，则事件，则事件B B发生的可发生的可能性至少与能性至少与A A一样大。一样大。2021/9/214主观设定先验分布的方法主观设定先验分布的方法n n概率盘最为常用n n区间法n n相对似然法n n直方图法2021/9/215概率盘概率盘正面正面反面反面对应对应对应对应抽奖抽奖适用于对概率有了解的专家适用于对概率有了解的专家2021/9/216区间法区间法n n1 1）把事件不确定量的区间划分为两部分，询问决）把事件不确定量的区间划分为两部分，询问决策人事件发生在哪个区间可能性更大策人事件发生在哪个区间
5、可能性更大n n2 2）然后减少可能性大的区间，直至两个区间等可）然后减少可能性大的区间，直至两个区间等可能；能；n n3 3）同样还可以对两个区间记一步划分，得到）同样还可以对两个区间记一步划分，得到1/41/4和和3/43/4的点对应的区间的点对应的区间n n*由于该方法误差积累，一般不再进一步划分由于该方法误差积累，一般不再进一步划分2021/9/217相对似然法相对似然法n n在事件的不确定量区间中，要求决策者首先确定在事件的不确定量区间中，要求决策者首先确定“ “最可能最可能” ”和和“ “最不可能最不可能” ”的量，然后询问的量，然后询问“ “最可能最可能” ”量的可能性量的可能性
6、是是“ “最不可能最不可能” ”量的可能性的几倍相对似然性，再对其量的可能性的几倍相对似然性，再对其他量进行相对似然性估计，由此得到非正常先验密度曲线他量进行相对似然性估计，由此得到非正常先验密度曲线（密度积分不等于（密度积分不等于1 1，故非正常）。，故非正常）。n n例如，关于某产品明年的销售量，在例如，关于某产品明年的销售量，在100010001000010000件之间，件之间，最可能是最可能是50005000件，最不可能是件，最不可能是90009000件，最可能发生件，最可能发生50005000件件的可能性是最不可能的可能性是最不可能90009000件的件的4 4倍，于是得到倍，于是得
7、到50005000对对90009000的相对似然。继续问的相对似然。继续问40004000件与件与80008000件的相对似然性。件的相对似然性。2021/9/218直方图法直方图法n n将某一事件的不确定将某一事件的不确定量划分为若干区间，量划分为若干区间，询问决策人各个区间询问决策人各个区间发生的概率，发生的概率，2021/9/2192 效用函数效用函数n n价值与效用：在经济学以及随机决策问题中，很多研究表明，决策人对后果的判定不完全取决于后果价值，而是价值的一个对应值，这个对应值反映决策的偏好(preference)，即效用是决策人对后果值的偏好的量化。n n效用函数：当决策人的偏好满
8、足一定的公理时，所有决策后果与效用的对应函数关系。2021/9/2110展望、抽奖与抽奖的确定当量展望、抽奖与抽奖的确定当量n n展望（prospect）或预期：决策的可能前景，它是各种后果与后果出现概率的组合，记为：Pp1 1,c1 1;p2 2,c2 2;p3 3,c3 3;pr r,cr rn n抽奖：决策树中由机会点和该机会点发出的若干机会枝的概率及其后果构成的图形，称为抽奖，若决策人认为某个后果C与抽奖L p1 1,c1 1;p2 2,c2 2;p3 3,c3 3;pr r,cr r无差异，则称C为抽奖L的确定当量，抽奖和确定当量是确定效用函数的常用方法2021/9/2111效用的存
9、在性公理效用的存在性公理n n由由Von NeumannVon Neumann和和Morgenstern Morgenstern 上世纪上世纪4040年代提出。年代提出。n n连通性：连通性：P P上的优先关系是连通的；上的优先关系是连通的；n n传递性传递性n n替代性：若替代性：若P1P1、P2P2、P3P3 P P，P1P1 P2P2且且0 0 1 1， P1P1（1 1 )P3 )P3 P2P2（1 1 )P3, )P3,或或 0 0 1 1， P1P1（1 1 )P3 )P3 P2P2（1 1 )P3)P3n n连续性（偏好的有界性）连续性（偏好的有界性）若若P1P1、P2P2、P3
10、P3 P P，P1P1 P2 P2 P3P3，则存在，则存在0 0 1 1使使P1P1（1 1 )P3 )P3 P2P2（1 1 )P3)P32021/9/2112效用函数的数学定义效用函数的数学定义n n集合P上的实值函数u，若它和P上的优先关系一致，即：若P1P1，P2P2P且P1P1 P2P2，当且仅当u(P1P1) u(P2P2)。n n定理：若P上的优先关系满足公理14，则一定存在上述定义的效用函数。2021/9/2113基数效用与序数效用基数效用与序数效用n n基数是2、3.5、100.0等，定义在展望上的效用是基数效用，以上介绍的效用函数，为基数效用函数，基数效用的特点：既反映偏
11、好的次序，也反映偏好强度。通常基数效用值在01之间n n序数，第一、第二、第三等，定义在后果集上，只反映偏好的次序，而不反映偏好强度，不涉及随机性。2021/9/2114效用函数的构造方法偏好诱导效用函数的构造方法偏好诱导n n确定当量法：给定两个后果c1、c2，通常是最差和最好的结果，假定其均以50概率出现，问决策人确定当量c为多少，cc10.5c20.5；设U（c1）0， U（c2）1，则得到C对应效用为0.5,在c1和c之间和c和c2之间继续询问决策人，则可以得到若干效用值，拟和成曲线即为该决策人的效用函数。2021/9/2115后果后果效用效用效用函数效用函数2021/9/2116效用
12、与风险效用与风险n n效用函数反映决策者对风险的态度，通常分为三种类型，风险中立、风险追求和风险厌恶。n n例如，如果u(0)=0,u(2500)=1，如果决策人在50概率抽奖中，认为1250的效用为0.5,则该决策人是风险中立，如果认为900（或1250的效用值大于0.5）与抽奖相当，则该决策人是风险厌恶的，效用函数上凸，否则为风险追求，效用函数下凸。2021/9/2117利用效用函数和先验信息进行决策利用效用函数和先验信息进行决策n n决策准则期望效用最大n n利用效用进行决策的案例：例：某农场要决定一块地中选择什么作物，各种作物的例：某农场要决定一块地中选择什么作物，各种作物的收益如表收
13、益如表1，若该人的收益与效用对应关系如表，若该人的收益与效用对应关系如表2，如何，如何决策？决策？200020006000600030003000棉花棉花棉花棉花300030005000500020002000小麦小麦小麦小麦700070004000400010001000蔬菜蔬菜蔬菜蔬菜多雨多雨多雨多雨0.10.1正常正常正常正常0.70.7旱旱旱旱0.20.2 天气天气天气天气 利润利润利润利润方案方案方案方案2021/9/2118效用决策案例效用决策案例收益收益10001000200020003000300040004000500050006000600070007000效用效用0.15
14、0.150.250.250.350.350.450.450.550.550.650.650.850.852021/9/21190.550.470.43x2, 0.7x1, 0.2x3, 0.10.150.450.85x1, 0.2x2, 0.7x3, 0.10.250.550.35x1, 0.2x2, 0.7x3, 0.10.350.650.25a3a2a1决策点决策点方案枝方案枝状态点状态点概率枝概率枝后果后果期望效用期望效用2021/9/21203贝叶斯分析贝叶斯分析n n前言：前面我们介绍了依据先验信息进行决策的前言：前面我们介绍了依据先验信息进行决策的方法。这些方法可能存在以下问题：方
15、法。这些方法可能存在以下问题：n n先验信息难以获得；先验信息难以获得；n n决策非常重要，要求提高决策质量决策非常重要，要求提高决策质量n n对于随机决策问题要提高决策质量：最好通过试对于随机决策问题要提高决策质量：最好通过试验或经验等获得新的信息，它们是对先验信息得验或经验等获得新的信息，它们是对先验信息得到的主观概率的一个随机估计，由此得到关于自到的主观概率的一个随机估计，由此得到关于自然状态的后验概率；决策者根据这个估计和决策然状态的后验概率；决策者根据这个估计和决策规则采取行动贝叶斯分析。规则采取行动贝叶斯分析。2021/9/2121贝叶斯定理贝叶斯定理n n条件概率：条件概率：A
16、A、B B为随机试验的两个事件，为随机试验的两个事件，在事件在事件B B发生条件下发生条件下A A发生的概率称为发生的概率称为A A关关于于B B的条件概率，记为：的条件概率，记为：P(A|B)P(A|B)，且，且P(A|B)=P(AB)/P(B)P(A|B)=P(AB)/P(B)n n全概率公式：若全概率公式：若AjAj，j j1 1，2 2，。，。n n是是样本的一个划分，则样本的一个划分，则n n贝叶斯定理贝叶斯定理2021/9/2122贝叶斯定理解释贝叶斯定理解释n nP（Aj）称为先验概率，P（Aj|B）称为后验（或验后）概率。n n在随机决策中，决策者对于自然状态x的出现概率主观估
17、计是先验概率，通过试验等进一步获得自然状态估计是后验概率。2021/9/2123损失函数损失函数n n统计决策理论习惯于用损失函数而非效用函数做决策分析，损失函数L（，a）表示出现自然状态情况下决策者采取行动a的损失。可以用负效用函数来表示损失函数。与期望效用最大作为决策规则，损失函数为期望损失最小也可以作为决策规则2021/9/2124风险函数风险函数n n在贝叶斯分析中，决策者通过试验获得自然状态在贝叶斯分析中，决策者通过试验获得自然状态 的的一组观测值一组观测值X X，由于试验仍可能存在其他随机因素影响，由于试验仍可能存在其他随机因素影响，因此，因此，X X和和均为随机变量。均为随机变量
18、。n n决策人当获得决策人当获得X X后，他根据后，他根据X X选择行动，因此，决策人的选择行动，因此，决策人的行动应为行动应为X X的一个函数，记为的一个函数，记为(X(X）。）。n n当自然状态为当自然状态为 ，观察为，观察为x x X X，根据根据x x选择行动选择行动a a时记为时记为(x(x），相应损失为），相应损失为L L（，(x(x）) )。n n由于由于X X和和均为随机变量，因此均为随机变量，因此L L（，(X(X）) )也是随也是随机变量，当给定机变量，当给定，定义，定义L L（，(X(X）) )对对X X的期望值的期望值为风险函数记为为风险函数记为R R（，)2021/9
19、/2125风险函数的具体型式风险函数的具体型式n n当当X X为连续的随机变量时为连续的随机变量时n n当当X X为离散的随机变量时为离散的随机变量时n n其中，其中， 为条件概率密度函数或条件概率为条件概率密度函数或条件概率2021/9/2126贝叶斯风险贝叶斯风险n n其实决策人决策时，并不知道真实的状态其实决策人决策时，并不知道真实的状态 中中 哪哪一个一个会出现，他只能对会出现，他只能对出现的先验密度（概出现的先验密度（概率）率） （）做主观估计，决策分析中还需要把风）做主观估计，决策分析中还需要把风险函数险函数R R（，)对对 取期望，记为取期望，记为r( r(,)=E R)=E R
20、（，)n n当当连续随机变量连续随机变量n n当当离散随机变量离散随机变量2021/9/2127贝叶斯决策规则贝叶斯决策规则n n贝叶斯风险最小的策略（损失最小）贝叶斯风险最小的策略（损失最小）n n正规型，正规型，n n扩展型扩展型2021/9/2128扩展型贝叶斯决策问题分析步骤扩展型贝叶斯决策问题分析步骤n n获得原始自然状态信息的主观概率估计n n获得关于原始自然状态的试验估计n n自然状态与行动方案的损失函数确定n n计算后验概率或密度n n确定最优行动：即预测自然状态不同时的行动规则显然它是一种随机应变的。2021/9/2129一个贝叶斯分析案例一个贝叶斯分析案例n n某油井公司拥
21、有一块油田，当前该公司可以采取某油井公司拥有一块油田，当前该公司可以采取的措施为：的措施为：a1a1：自己钻采；：自己钻采； a2 a2：无条件出租，租：无条件出租，租金金4545万；万；a3a3：有条件出租，租金依照产量而定，：有条件出租，租金依照产量而定，产油在产油在2020万桶或以上，每桶提成万桶或以上，每桶提成5 5元，产量不足元，产量不足2020万桶不受租金。万桶不受租金。n n另外，自己开采钻井费用另外，自己开采钻井费用7575万元，有油需要增加万元，有油需要增加采用设备费采用设备费2525万元。油价每桶万元。油价每桶1515元。油田产量分元。油田产量分为无油、为无油、5 5万桶、
22、万桶、2020万桶和万桶和5050万桶万桶4 4种状态，主观种状态，主观概率为概率为0.50.5、0.250.25、0.150.15、0.10.1。问决策人风险中立，。问决策人风险中立，决策人应采取什么行动。决策人应采取什么行动。2021/9/2130分析分析n n决策人风险中立，收益与效用成线性关系，可以认为收益就是效用n n损失函数可以取效益的负n n现在问题没有涉及后验信息，但仍可以用贝叶斯决策分析方法求解2021/9/2131决策树决策树2021/9/2132贝叶斯公式计算贝叶斯公式计算2021/9/2133有后验信息的决策有后验信息的决策n n决策人如果通过地震决策人如果通过地震试验
23、可以获得该地区试验可以获得该地区石油含量石油含量0 0，5 5，2020，5050万桶的相关信息，万桶的相关信息，需要经费需要经费1212万元，问万元，问进行该项试验后，决进行该项试验后，决策人如何动？策人如何动？,p(xk|,p(xk|j)j)如表所示。如表所示。X1X1=50=50X2X2=20=20X3X3=5=5X4X4=0=050507/127/121/31/31/121/120 020209/169/163/163/161/81/81/81/85 511/2411/241/61/61/41/41/81/80 03/163/1611/4811/4813/4813/485/165/16
24、2021/9/2134求全概率或预测密度与后验概率公求全概率或预测密度与后验概率公式式2021/9/2135全概率全概率2021/9/2136后验概率后验概率X1=50X1=50 X2=20X2=20 X3=5X3=5X4=0X4=050500.1660.1660.1290.1290.0390.0390 020200.2400.2400.1080.1080.0870.0870.1070.1075 50.3270.3270.2410.2410.1460.1460.2380.2380 00.2670.2670.5220.5220.7280.7280.6550.6552021/9/2137贝叶斯分析
25、扩展型贝叶斯分析扩展型n n给定给定x1=50x1=50万桶，利用扩展型万桶，利用扩展型求得对应方案求得对应方案a1a1的期望损失的期望损失同样求得对应同样求得对应 a2 a2和和a3a3的期望损失为的期望损失为3333和和5 5，于，于是预测为是预测为x1 x1 取取a1a1方案。方案。同样对同样对x2x2、x3x3、x4x4可以达到行动方案为可以达到行动方案为a1a1、a2a2、a2a2考虑考虑12万元的万元的试验费试验费2021/9/2138课堂指导作业课堂指导作业n n绘制贝叶斯分析扩展型的决策树。绘制贝叶斯分析扩展型的决策树。n n提示首先是决策是否进行试验，如果进行提示首先是决策是
26、否进行试验，如果进行试验则可能以预测密度出现试验则可能以预测密度出现 x1 x1、x2x2、x3x3、x4x4四种预测状态，然后对每一种状态，做四种预测状态，然后对每一种状态，做决策采取那种方案。决策采取那种方案。2021/9/2139信息的价值信息的价值n n进行贝叶斯决策分析需要后验信息，它通过试验获得，需要一定的费用，那么，就存在花费这笔费用值不值的问题？n n获得的信息可能存在两种情况：全信息和采样（随机）信息，所谓全信息是指通过试验完全确定未来状态，所谓采样信息是指试验有一定的准确性，但仍有助于提高决策的准确性2021/9/2140完全信息的价值完全信息的价值n n试验可以完全确定自
27、然状态，例如，假若地震试试验可以完全确定自然状态，例如，假若地震试验后可以确定该地块有验后可以确定该地块有5050万桶石油或万桶石油或2020万桶或万桶或5 5万万桶或无油，那么决策人就可以使随机应变，使损桶或无油，那么决策人就可以使随机应变，使损失最小化，这时的损失为期望最小损失：失最小化，这时的损失为期望最小损失：n n相反则为最小期望损失：相反则为最小期望损失：n n完全信息的价值完全信息的价值EVPIEVPI最小期望损失期望最小最小期望损失期望最小损失损失 2021/9/2141采样信息的价值采样信息的价值n n有采样信息时，我们是按照贝叶斯分析，利有采样信息时，我们是按照贝叶斯分析，
28、利用后验信息进行决策，期望损失是贝叶斯期用后验信息进行决策，期望损失是贝叶斯期望损失最小望损失最小n n没有先验信息决策同上没有先验信息决策同上n nEVSIEVSI 2021/9/2142完全信息价值算例完全信息价值算例n n对于石油开采，在试验前，估计出油50、20、5、0万桶的概率为0.1、0.15、0.25、0.5，当试验确定为出油50、20、5、0万桶时的损失为650、200、45、45，故期望损失为：6500.1-2000.15-450.25-450.5128.5n n无试验时，最小期望损失为-51.25n n完全信息价值EVPI51.25-(-128.5)=77.52021/9/
29、2143采样信息的价值算例采样信息的价值算例n n按照贝叶斯分析后，当试验确定为出油50、20、5、0万桶时的损失为115.5、48.275、33、33，按照各个状态全概率0.351、0.259、 0.215、 0.175，故贝叶斯期望损失为-65.91，另外由于计算损失中扣除12万元，计算信息价值时补充进来，期望损失为77.91n n无试验时，最小期望损失为-51.25n n采样信息的价值EVSI-51.25-(-77.91)=26.662021/9/21444 随机优势法随机优势法n n随机优势概念的产生：前面我们介绍的方法需要决策人的效用函数（偏好信息），实际决策问题中，我们往往很难获得
30、效用函数的准确完全信息，往往只能获得部分信息，如这个决策人的效用函数类型。那么，在获得效用函数的类型后能否辅助决策者对一定的决策方案排序，确定优劣呢？这是随机优势决策产生的原因。2021/9/2145随机优势产生与概念随机优势产生与概念n n随机优势决策准则是基于投资决策问题研究产生的，代表人物是Markowitz，他在研究有价证券组合投资时提出。n n随机优势的概念：设在随机决策问题中存在两个方案a1和a2，如果在一定的条件下，记为条件C（通常是决策人的效用函数属于某一个类）a1a2，则称方案a1在条件C下优势于a2，或方案a1比 a2 具有随机优势，记为a1C Ca2 。2021/9/21
31、46两类强随机优势两类强随机优势n n按状态优于按状态优于n n如右表，若为损失函数，如右表，若为损失函数，a1a1 a2a2n n实际决策中很少实际决策中很少n n按照按照E EV Vn n如果一个方案如果一个方案a1a1收益的收益的期望（均值）大于另一期望（均值）大于另一个方案个方案a2a2，而且方差小，而且方差小于方案于方案a2a2，则，则a1a1 a2a2n n现实中这样的决策问题现实中这样的决策问题也很少也很少a1a1a2a2a3a31 14 47 72 22 26 66 68 83 33 34 47 7不满足以上两条的不满足以上两条的能不能确定方案的能不能确定方案的随机优势呢？回答
32、是在随机优势呢？回答是在知道决策人效用函数知道决策人效用函数类型后可以做到！类型后可以做到！2021/9/2147第一类效用函数与随机优势第一类效用函数与随机优势n n第一类效用函数U1n n定义：定义：u u（x x）是连续有界递增的，即）是连续有界递增的，即u u的定义域的定义域为为Ia,bIa,b，将（，将（a a，b b）定义为）定义为I I0 0，u u和和uu在在I I上连续上连续有界，在有界，在I I0 0上上u 0u 0。n n这是第一类效用函数是对效用函数的最基本要这是第一类效用函数是对效用函数的最基本要求，这样的效用函数还不能分辨决策人的风险求，这样的效用函数还不能分辨决策
33、人的风险态度。态度。n n如果两个方案关于第一类效用函数具有随机优如果两个方案关于第一类效用函数具有随机优势，那么，不论决策人的风险态度，两个方案势，那么，不论决策人的风险态度，两个方案之间的优势是存在的。之间的优势是存在的。2021/9/2148第二类效用函数与随机优势第二类效用函数与随机优势n nU2 2u|uU1 1，u在Ia,b连续有界，在I0 0上u 0n n第二类效用函数可以通过第二类效用函数可以通过r=r=u/uu/u的比值判断的比值判断该类决策人是厌恶风险的，即该类决策人是厌恶风险的，即r0r0。n n现实中很多证据表明，决策人即使不是全部也现实中很多证据表明，决策人即使不是全
34、部也是大多数是厌恶风险的。是大多数是厌恶风险的。n n如果两个方案关于第二类效用函数具有随机优如果两个方案关于第二类效用函数具有随机优势，那么，决策人的风险态度为厌恶时，两个势，那么，决策人的风险态度为厌恶时，两个方案之间的优势是存在的。方案之间的优势是存在的。2021/9/2149第三类效用函数与随机优势第三类效用函数与随机优势n nU3 3u|uU2 2，u在Ia,b连续有界，在I0 0上u 0n nU U3 3描述的是：多数人对小额盈亏的态度是随着描述的是：多数人对小额盈亏的态度是随着财富的积累而变化的，财富越多，他们对小额财富的积累而变化的，财富越多，他们对小额盈亏的风险厌恶程度越低，
35、即盈亏的风险厌恶程度越低，即U U3 3为递减的厌恶为递减的厌恶风险效用函数。风险效用函数。n n如果两个方案关于第三类效用函数具有随机优如果两个方案关于第三类效用函数具有随机优势，那么，决策人的风险态度为递减厌恶时，势，那么，决策人的风险态度为递减厌恶时，两个方案之间的优势是存在的。两个方案之间的优势是存在的。2021/9/2150随机优势判定方法收益的概率分布随机优势判定方法收益的概率分布定义定义设方案关于收益设方案关于收益x x的概率分布为的概率分布为F F（x x）2021/9/2151随机优势的判定方法随机优势的判定方法n n设方案设方案ai ai和和aj aj关于收益关于收益x x
36、的概率分布为的概率分布为FiFi（x x）和和FjFj（x x），），x x的取值范围为的取值范围为a,ba,b。n n若对任意的若对任意的x x I I，存在（，存在（x x） Fi Fi（n n对对k k1 1、2 2，则方案，则方案ai ai存在存在k k等随机优势于等随机优势于aj ajn n对对k k3, 3,当当Fi(x) Fi(x) 的均值大于等于的均值大于等于Fj(x)Fj(x)的均值的均值时，方案时，方案ai ai存在存在k k等随机优势于等随机优势于aj aj2021/9/2152随机优势法应用例随机优势法应用例1/61/61/61/61/61/61/61/61/61/61
37、/61/6a1a11 14 41 14 44 44 4a2a23 34 43 31 11 14 4例例1均值均值 a1a1=3 =3 a2a2=8/3 =8/3 a1a1a2a2方差方差 a1:2 a2:14/9 a1 a1:2 a2:14/9 a1的也大于的也大于a2a2利用均值方差准则无法判断利用均值方差准则无法判断 2021/9/2153例例1的第一等随机优势判定的第一等随机优势判定x xbb0 01 12 23 34 4a1a10 01/31/31/31/31/31/31 1a2a20 01/31/31/31/32/32/31 1后果的概率分布曲线梯形线后果的概率分布曲线梯形线a1比比
38、a2具有第一等随机优势，具有第一等随机优势，同样意味着具有第二、三等随机优势同样意味着具有第二、三等随机优势2021/9/21541/61/61/61/61/61/61/61/61/61/61/61/6A1A11 11 14 44 44 44 4A2A20 02 23 33 34 44 4例例2后果的概率分布曲线后果的概率分布曲线x xbb0 01 12 23 34 4a1a10 01/31/31/31/31/31/31 1a2a21/61/61/61/61/31/32/32/31 1不具备第一等随机优势不具备第一等随机优势2021/9/2155例例2 判断是否有第二等随机优势判断是否有第二等随机优势x xbb0 01 12 23 34 4a1a10 00 01/31/32/32/31 1a2a20 01/61/61/31/32/32/34/34/3后果的概率分布曲线积分一次后果的概率分布曲线积分一次,即上表区间长度即上表区间长度密度之和密度之和-折线折线=（10)*1/6(2-1)*1/6+(3-2)*1/3+(4-3)*2/3 a1 比比a2具有第二等具有第二等随机优势随机优势2021/9/2156
