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1、3.8时域抽样定理北京航空航天大学电子信息学院2024/7/26信号与系统信号与系统X一、抽样对于连续时间信号抽取其中的部分信号，这是否会造对于连续时间信号抽取其中的部分信号，这是否会造成原有信息的丢失？成原有信息的丢失？ 信号与其频谱的对应关系信号与其频谱的对应关系 从信号时域波形来看，两者确实是不相等的从信号时域波形来看，两者确实是不相等的在一定的时域抽样条件下，抽样信号频谱包含了被抽样在一定的时域抽样条件下，抽样信号频谱包含了被抽样信号频谱，可以从中恢复被抽样信号信号频谱，可以从中恢复被抽样信号X二、抽样信号及其频谱图示X二、抽样信号及其频谱数学分析从频域角度来看，由傅里叶变换频域卷积特
2、性可知从频域角度来看，由傅里叶变换频域卷积特性可知 假设抽样脉冲假设抽样脉冲p(t)单个周期的信号单个周期的信号p0(t)的傅里叶变换为的傅里叶变换为 则则我们得到我们得到fs(t)和和f(t)、p(t)的时域关系的时域关系 （3.8.4） （3.8.3） X二、抽样信号及其频谱其中其中 ，称为，称为抽样频率抽样频率。 （3.8.4） 将式（将式（3.8.4）代入式（）代入式（3.8.3）得到）得到 频域关系：频域关系： 抽样信号频谱抽样信号频谱 是连续信号频谱是连续信号频谱 以抽样频率以抽样频率 为周期的周期性延拓，并受到抽样脉冲频谱为周期的周期性延拓，并受到抽样脉冲频谱 及及其抽样周期其抽
3、样周期 乘积的加权。乘积的加权。 （3.8.5） X三、三、P(t)：矩形脉冲抽样：矩形脉冲抽样当当P0(t)为脉宽等于为脉宽等于 的矩形脉冲时，的矩形脉冲时， 则由式（则由式（3.8.5）可得）可得 X三、三、P(t)：矩形脉冲抽样：矩形脉冲抽样连续信号连续信号及其频谱及其频谱 抽样脉冲抽样脉冲及其频谱及其频谱抽样信号抽样信号及其频谱及其频谱X三、三、P(t)：理想冲激抽样：理想冲激抽样抽样信号为周期为抽样信号为周期为Ts的周期单位冲激信号，即的周期单位冲激信号，即则由式（则由式（3.8.5）可得）可得 X三、三、P(t)：理想冲激抽样：理想冲激抽样连续信号连续信号及其频谱及其频谱抽样脉冲抽
4、样脉冲及其频谱及其频谱抽样信号抽样信号及其频谱及其频谱X四、四、信号带宽信号带宽1.1.有限带宽有限带宽有限带宽是指信号的频谱分布在一个有限带宽是指信号的频谱分布在一个有限区间有限区间 2. 32. 3分贝分贝/3dB/3dB带宽带宽3分贝带宽一词源于关系分贝带宽一词源于关系 3分贝带宽也称半功率点带宽，分贝带宽也称半功率点带宽，表示幅值下降到表示幅值下降到 ,信号的功信号的功率就会减半。率就会减半。 X四、四、信号带宽信号带宽3.3.零点带宽零点带宽对于原始信号而言为第一过零点对于原始信号而言为第一过零点带宽，表示幅度为零的最靠近原带宽，表示幅度为零的最靠近原点的频率点的频率点的频率点的频率
5、4.4.等效带宽等效带宽由傅里叶变换定义可知由傅里叶变换定义可知 表示信号的时域面积。如果表示信号的时域面积。如果 ，可以根据，可以根据 得到信号时域的等效脉冲宽度得到信号时域的等效脉冲宽度 ，即，即 X四、四、信号带宽信号带宽由傅里叶逆变换可知 表示信号的时域面积。如果表示信号的时域面积。如果 ，可以根据，可以根据 得到信号时域的等效脉冲宽度得到信号时域的等效脉冲宽度 ，即，即 表示信号频谱的频域面积。如果表示信号频谱的频域面积。如果 ，可以，可以 根据得到信号频域的等效频带宽度根据得到信号频域的等效频带宽度B，即，即 X四、四、信号带宽信号带宽 等效脉冲宽度与等效频带宽度等效脉冲宽度与等效
6、频带宽度 一般来说，信号的带宽和持续时间成反比关系。任何在时域急一般来说，信号的带宽和持续时间成反比关系。任何在时域急剧变化的信号，都会具有一个较宽的带宽；相反，若信号在时剧变化的信号，都会具有一个较宽的带宽；相反，若信号在时域变化缓慢，其带宽也较窄。冲激函数和正弦余弦信号作为一域变化缓慢，其带宽也较窄。冲激函数和正弦余弦信号作为一种极端例子最好的阐释了这种规律。冲激函数的脉冲宽度等于种极端例子最好的阐释了这种规律。冲激函数的脉冲宽度等于零，频带宽度无穷大；正弦余弦信号频带宽度等于零，脉冲宽零，频带宽度无穷大；正弦余弦信号频带宽度等于零，脉冲宽度无穷大。度无穷大。对于不同的应用要求，实际应用中
7、截止频率选取是不同的。对于不同的应用要求，实际应用中截止频率选取是不同的。X五、五、抽样定理抽样定理如何抽样：使得可以从抽样信号中恢复被抽样信号如何抽样：使得可以从抽样信号中恢复被抽样信号信号与频谱的对应关系信号与频谱的对应关系机理分析抽样信号包含完整的抽样信号包含完整的被抽样信号频谱被抽样信号频谱抽样信号频谱是被抽抽样信号频谱是被抽样信号频谱的周期延样信号频谱的周期延拓拓被抽样信号频谱不能被抽样信号频谱不能混叠混叠抽样频率抽样频率 不小于不小于 抽样信号频谱频带抽样信号频谱频带 有限，且抽样且抽样有限，且抽样且抽样频率频率 足够大足够大X五、五、抽样定理抽样定理图示分析X五、五、抽样定理抽样
8、定理抽样定理一个频带受限的信号一个频带受限的信号 f(t)，若其频谱存在于频域区间，若其频谱存在于频域区间 则可用抽样值唯一表示则可用抽样值唯一表示f(t)，抽样值的间隔不能大于抽样值的间隔不能大于 其中其中 X六、六、抽样信号的恢复抽样信号的恢复恢复从从fs(t) 中恢复中恢复/取得取得f(t)从时域角度来说是指，恢复信号从时域角度来说是指，恢复信号 =f(t)从频域角度来说是指，恢复信号的频谱从频域角度来说是指，恢复信号的频谱频谱图示X六、六、抽样信号的恢复抽样信号的恢复解析表达低通滤波器的频域表达式为低通滤波器的频域表达式为 则系统的单位冲激响应为则系统的单位冲激响应为 X六、六、抽样信
9、号的恢复抽样信号的恢复利用卷积特性，得到利用卷积特性，得到 这就是说，恢复信号是由无数多个周期为这就是说，恢复信号是由无数多个周期为 Ts，幅度受到，幅度受到加权的加权的 Sa信号叠加构成的。信号叠加构成的。 也可以说，连续信号也可以说，连续信号f(t)可以展开成函数的无穷级数，级可以展开成函数的无穷级数，级数的系数等于抽样值数的系数等于抽样值 ，因此信号也称为抽样信号。，因此信号也称为抽样信号。 X六、六、抽样信号的恢复抽样信号的恢复此时，理想抽样信号各冲激的响应零点恰好落在抽样时刻此时，理想抽样信号各冲激的响应零点恰好落在抽样时刻上，就抽样点迭加的数值而言，各个冲激响应互相不产生上，就抽样点迭加的数值而言，各个冲激响应互相不产生“串扰串扰”，如，如下下图所示。图所示。当当 则有则有 ，此时，此时X习题3.313.343.363.393.41
